Sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng quy tắc đếm để giải bài toán tính tổng trong đại số tổ hợp

 Mục lục
Mục Trang
1. Phần mở đầu 2
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3
2.1 Ap dụng quy tắc đếm chứng minh 
 công thức Van- Đec- Mon 3
2.2 Ap dụng quy tắc đếm để tính tổng 3
2.3 Kết hợp cấp số cộng và công thức Van-Đec-Mon
 để tính tổng 14
2.4 Các bài tập đề nghị 15
3. Kết luận 16
4. Tài liệu tham khảo 18
 1 
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NHIỆM
2.1 ÁP DỤNG QUY TẮC ĐẾM ĐỂ
 CHỨNG MINH CễNG THỨC VAN-ĐEC-MON
Bài toỏn : Một lớp học cú n nam và m nữ. Cú bao nhiờu cỏch chọn k học 
sinh vào đội cờ đỏ (k n;k m)
Giải bài toỏn này bằng hai cỏch.
 k
Cỏch 1: Ta cú Cm n cỏch chọn
Cỏch 2: 
 0 k
TH1 : Chọn 0 bạn nam và k ban nữ ta cú Cn Cm cỏch chọn
 1 k 1
TH2 : Chọn 1 bạn nam và k-1 ban nữ ta cú CnCm cỏch chọn
 2 k 2
 TH3: Chọn 2 bạn nam và k-2 ban nữ ta cú Cn Cm cỏch chọn
..
 k 0
THk: Chọn k bạn nam và 0 ban nữ ta cú Cn Cm cỏch chọn
 0 k 1 k 1 2 k 2 k 0
Theo quy tắc cộng ta cú C n C m C n C m C n C m ... C n C m cỏch chọn
Từ hai cỏch giải trờn ta cú cụng thức Van Độc Mon sau
 0 k 1 k 1 2 k 2 k 0 k
 C n C m C n C m C n C m ... C n C m C m n
Áp dụng cụng thức Van- Đec-Mon cho trường hợp n = m = k ta cú:
 0 2 1 2 2 2 n 2 n
 Cn Cn Cn ... Cn C2n
2.2 ÁP DỤNG QUY TẮC ĐẾM ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN 
 TÍNH TỔNG
 3 Cỏch 2: 
 i
TH1 : Chọn i bạn nam và cú Ci cỏch chọn i nam để làm quản lý và k-i bạn nữ 
 i i k i
trong m bạn nữ , vậy ta cú Ci CnCm cỏch chọn 
 i
 TH2: Chọn i+1 bạn nam và cú Ci 1 cỏch chọn i nam để làm quản lý và k-i-1 
 i i 1 k i 1
bạn nữ trong m bạn nữ , vậy ta cú Ci 1Cn Cm cỏch chọn
..
 i
THk-i-1: Chọn k bạn nam và cú Ck cỏch chọn i nam để làm quản lý vậy ta cú 
 i k 0
 Ck Cn Cm cỏch chọn
Theo quy tắc cộng ta cú 
 i i k i i i 1 k i 1 i i 2 k i 2 i k 0
 C i C n C m C i 1C n C m C i 2C n C m ... C k C n C m ; (i k ) cỏch 
chọn
 i k i
 Từ hai cỏch giải trờn ta cú S 2 CnCm n i
Tớnh tổng sau
 i j i k i i j i 1 k i 1 i j i k i 2 i j k j j
 S3 Ci Ck iCnCm Ci 1Ck i 1Cn Cm Ci 2Ck i 2CnCm ... Ck jC j Cn Cm ;(i j k)
Ta tớnh tổng trờn thụng qua giải bài toỏn sau bằng 2 cỏch
Bài toỏn 3: Một lớp học cú n nam và m nữ. Cú bao nhiờu cỏch chọn k học 
sinh vào đội cờ đỏ (k n;k m) sao cho trong đú cú i bạn nam và j bạn nữ 
làm quản lý. (i j k)
 i j k i j
Cỏch 1: Ta cú CnCmCm n i j cỏch chọn
Cỏch 2: 
 i i
TH1: Cú C n cỏch chọn i bạn nam trong n bạn nam và cú C i cỏch chọn i bạn 
 k i
nam làm nhiệm vụ quản lý và cú C m cỏch chọn ban nữ trong m bạn nữ và cú 
 j
 C k i cỏch chọn j bạn nữ làm nhiệm 
 i 1 i
TH2: Cú C n cỏch chọn i+1 bạn nam trong n bạn nam và cú C i 1 cỏch chọn i 
 5 2 3 k 3
vậy ta cú A3 Cn Cm cỏch chọn
..
 k 2
TH k-1: Cú C n cỏch chọn k bạn nam trong n bạn nam và cú Ak cỏch chọn một 
 2 k 0
nam để làm tổ trưởng và một nam để làm tổ phú vậy ta cú Ak Cn Cm cỏch chọn
 2 2 k 2 2 3 k 3 2 k 0
Theo quy tắc cộng ta cú A2 C n C m A3 C n C m ... Ak C n C m cỏch chọn
 2 k 2
 Từ hai cỏch giải trờn ta cú : S 4 An C m n 2
Tớnh tổng sau 
 i i k i i i 1 k i 1 i i 2 k i 2 i k 0
 S 5 Ai C n C m Ai 1C n C m Ai 2C n C m ... Ak C n C m
Ta tớnh tổng trờn thụng qua giải bài toỏn sau bằng 2 cỏch:
Bài toỏn 5: Một lớp học cú n nam và m nữ. Cú bao nhiờu cỏch chọn n học 
sinh vào đội cờ đỏ (k n;k m) sao cho trong đú cú i bạn nam mỗi bạn nhận 
một nhiệm vụ trong i nhiệm vụ khỏc nhau quản lý đội ( i k )
 i k i
Cỏch 1: Ta cú AnC m n i cỏch chọn
Cỏch 2: 
 i i
TH1: Cú C n cỏch chọn i bạn nam trong n bạn nam và cú Ai cỏch chọn mỗi 
bạn nam để làm 1 nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ quản lý khỏc nhau và cú
 k i
 C m cỏch chọn ban nữ trong m bạn nữ
 i i k i
Vậy ta cú Ai CnCm
 i 1 i
 TH2: Cú C n cỏch chọn i+1 bạn nam trong n bạn nam và cú Ai 1 cỏch chọn 
mỗi bạn nam để làm 1 nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ quản lý khỏc nhau 
 k i 1 i i 1 k i 1
và cú C m cỏch chọn ban nữ trong m bạn nữ vậy ta cú Ai 1Cn Cm cỏch chọn
..
 k i
TH k-j+1: Cú C n cỏch chọn k bạn nam trong n bạn nam và cú Ak cỏch chọn 
mỗi bạn nam để làm 1 nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ quản lý khỏc nhau 
 7 cỏch chọn mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ khỏc 
 j
nhau để quản lý cỏc bạn nam và cú C m cỏch chọn ban nữ trong m bạn nữ và cú 
 j
 A j cỏch chọn mỗi bạn nữ để làm một nhiệm vụ quản lý trong j nhiệm vụ khỏc 
 i j k j j
nhau để quản lý cỏc bạn nữ .Vậy ta cú Ak j Aj Cn Cm cỏch chọn
 Theo quy tắc cộng ta cú 
 i j i k i i j i 1 k i 1 i j i 2 k i 2 i j k j j
 Ai Ak i C n C m Ai 1 Ak i 1C n C m Ai 2 Ak i 2C n C m ... Ak j A j C n C m
 cỏch chọn
 i j k i j
 Từ hai cỏch giải trờn ta cú : S 6 An Am C m n i j
 1 2 2 2 n 2
Tớnh tổng sau: S7 Cn 2 Cn ... n Cn 
Ta tớnh tổng trờn thụng qua giải bài toỏn sau bằng 2 cỏch:
Bài toỏn 7: Một lớp học cú n nam và n nữ. Cú bao nhiờu cỏch chọn n học 
sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đú cú 1 bạn nam làm đội trưởng
 n 1
Cỏch 1: Ta cú nC2n 1 cỏch chọn
Cỏch 2: 
 n 1
TH 1 : Chọn 1 bạn nam và cú 1 cỏch chọn 1 nam để làm tổ trưởng vàCn cỏch 
 1 n 1 1 2
chọn n-1 ban nữ, vậy ta cú CnCn Cn cỏch chọn
 TH 2: Chọn 2 bạn nam và cú 2 cỏch chọn 1 trong 2 nam để làm tổ trưởng và cú
 n 1 2 n 2 2 2
 Cn cỏch chọn k-2 ban nữ , vậy ta cú 2Cn Cn 2 Cn cỏch chọn
..
TH n: Chọn n bạn nam và cú n cỏch chọn 1 trong n nam để làm tổ trưởng và 0 
 n 0 n 2
ban nữ ta cú nCn Cn n Cn cỏch chọn
 1 2 2 2 n 2
Theo quy tắc cộng ta cú Cn 2 Cn ... n Cn cỏch chọn 
 n 1
 Từ hai cỏch giải trờn ta cú: S7 nC2n 1
 k k 2 k k 1 2 k n 2
Tớnh tổng sau S8 Ck Cn Ck 1 Cn ... Cn Cn 
 9 i n i 1
 TH 2 : Chọn i+1bạn nam và cúCi 1 cỏch chọn i nam để làm quản lý vàCn 
 j
cỏch chọn n-i-1 ban nữ và cúCn i 1 cỏch chọn j nữ để làm quản lý vậy ta cú 
 i j i 1 n i 1 i j i 1 2
 Ci 1Cn i 1Cn Cn Ci 1Cn i 1 Cn cỏch chọn
..
 i
TH n-k-j +1: Chọn n-j bạn nam và cúCn j cỏch chọn i nam để làm quản lý và cú
 j j
 Cn cỏch chọn j ban nữ và cúC j cỏch chọn j nữ để làm quản lý vậy ta cú 
 i j n j j i j n j 2
 Cn j C j Cn Cn Cn j C j Cn cỏch chọn
 i j i 2 i j i 1 2 i j n j 2
Theo quy tắc cộng ta cú Cn j C j Cn Ci 1Cn i 1 Cn ... Cn j C j Cn cỏch 
chọn 
 i J n i j
 Từ hai cỏch giải trờn ta cú: S9 CnCn C2n i j
Tớnh tổng sau
 2 2 2 2 3 2 2 n 2
 S10 A2 Cn A3 Cn ... An Cn 
Ta tớnh tổng trờn thụng qua giải bài toỏn sau bằng 2 cỏch:
Bài toỏn 10: Một lớp học cú n nam và n nữ. Cú bao nhiờu cỏch chọn n học 
sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đú cú một bạn nam làm đội trưởng và cú 
một bạn nam làm đội phú.
 2 n 2
Cỏch 1: Ta cú An C 2 n 2 cỏch chọn
Cỏch 2: 
 2 2
 TH1: Cú C n cỏch chọn 2 bạn nam trong n bạn nam và cú A2 cỏch chọn một 
 n 2
nam để làm tổ trưởng và một nam để làm tổ phú và cú C n cỏch chọn ban nữ 
 2 2 2
vậy ta cú A2 Cn cỏch chọn
 3 2
TH2: Cú C n cỏch chọn 3 bạn nam trong n bạn nam và cú A3 cỏch chọn một 
 n 3
nam để làm tổ trưởng và một nam để làm tổ phú và cú C n cỏch chọn ban nữ 
 2 3 2
vậy ta cú A3 Cn cỏch chọn
..
 11 i i 2 i i 1 2 i n 2
Theo quy tắc cộng ta cú Ai Cn Ai 1 Cn ... An Cn cỏch chọn
 i n i
 Từ hai cỏch giải trờn ta cú : S11 AnC 2 n i
Tớnh tổng sau 
 i j i 2 i j i 1 2 i j n j 2
 S12 Ai An i Cn Ai 1 An i 1 Cn ... An j Aj Cn 
Ta tớnh tổng trờn thụng qua giải bài toỏn sau bằng 2 cỏch:
Bài toỏn 12: Một lớp học cú n nam và n nữ. Cú bao nhiờu cỏch chọn n học 
sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đú cú i bạn nam, mỗi bạn nam nhận một 
nhiệm vụ trong i nhiệm vụ khỏc nhau để quản lý cỏc bạn nam và cú j bạn 
nữ , mỗi bạn nữ nhận một nhiệm vụ trong j nhiệm vụ khỏc nhau để quản 
lý cỏc bạn nữ (i j n )
 i j n i j
Cỏch 1: Ta cú An An C 2 n i j cỏch chọn
Cỏch 2: 
 i i
TH1: Cú C n cỏch chọn i bạn nam trong n bạn nam và cú Ai cỏch chọn mỗi 
bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ khỏc nhau để quản lý 
 n i j
cỏc bạn nam và cú C n cỏch chọn ban nữ trong n bạn nữ và cú An i cỏch chọn 
mỗi bạn nữ để làm 1 nhiệm vụ quản lý trong j nhiệm vụ khỏc nhau để quản lý 
 i j i 2
cỏc bạn nữ .Vậy ta cú Ai An i Cn 
 i 1 i
 TH2: : Cú C n cỏch chọn i+1 bạn nam trong n bạn nam và cú Ai 1 cỏch chọn 
mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ khỏc nhau để quản 
 n i 1 j
lý cỏc bạn nam và cú C n cỏch chọn ban nữ trong n bạn nữ và cú An i 1 
cỏch chọn mỗi bạn nữ để làm 1 nhiệm vụ quản lý trong j nhiệm vụ khỏc nhau 
 i j i 1 2
để quản lý cỏc bạn nữ .Vậy ta cú Ai 1 An i 1 Cn cỏch chọn
..
 n j i
TH k-i-j+1: Cú C n cỏch chọn n-j bạn nam trong n bạn nam và cú An j 
cỏch chọn mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ khỏc 
 j
nhau để quản lý cỏc bạn nam và cú C n cỏch chọn j ban nữ trong n bạn nữ và cú 
 13