Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán tổng quát tính khoảng cách trong hình học không gian

 MỤC LỤC
 Nội dung Trang
1. Mở đầu 2
1.1. Lí do chọn đề tài 2
1.2. Mục đích nghiên cứu 2
1.3. Đối tượng nghiên cứu. 2
1.4. Phương pháp nghiên cứu 2
2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm. 2
2.1.Cơ sở lí luận 2
2.2.Thực trạng của vấn đề 4
2.3.Giải pháp và tổ chức thực hiện 4
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm. 14
3. Kết luận và đề xuất. 15
3.1. Kết luận 15
3.2.Ý kiến đề xuất 16
 1 *Cho hai điểm A, B không thuộc mặt phẳng (P)
+ Nếu AB // (P) thì d(A,(P)) d(B,(P)) B
Chứng minh: Gọi A’, B’ lần lượt là hình A
chiếu vuông góc của A và B lên (P) khi B'
đó ABB’A’là hình chữ nhật A'
 P
 AA’=BB’ d(A,(P)) d(B,(P))
+ Nếu AB không song song với (P) .Gọi 
I là giao điểm của đường thẳng AB và A
 d(A,(P)) AI B
(P). Khi đó 
 d(B,(P)) BI
Chứng minh: Gọi A’ và B’ lần lượt là 
hình chiếu vuông góc của A và B lên (P) A' B' I
Xét AA'I có BB’//AA’.Theo định lí P
Talet ta có:
 d(A,(P)) AA' AI
 d(B,(P)) BB ' BI
b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :
+Đường vuông góc chung của hai đường c
thẳng chéo nhau a và b là đường thẳng c 
cắt cả hai đường thẳng a và b đồng thời a
vuông góc với cả hai đường thẳng ấy. M
+ Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a 
 b
và b lần lượt tại M và N thì đoạn MN là 
đoạn vuông góc chung của hai đường N
thẳng chéo nhau a và c.
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng 
chéo nhau a và b là độ dài đoạn thẳng 
MN, kí hiệu là d(a,b) 
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng a A
chéo nhau a và b bằng khoảng cách giữa 
a và (P) chứa b và song song với a.
 d(a,b) d(a,(P)) d(A,(P)) 
(Với A a và (P) / /a ). [1] b
 P
c. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao A
 AH (H BC).
 c b
 BC a, AB c, AC b, AH h, BH c/ ,CH b/ h
 Ta có một số hệ thức sau. B H a C
 3 1/ Tính khoảng cách từ điểm H đến (SAB) 
2/ Tính khoảng cách từ điểm M thuộc mặt đáy của hình chóp đến (SAB) 
3/ Tính khoảng cách từ điểm M không thuộc mặt đáy của hình chóp đến (SAB) 
4/ Tính khoảng cách từ điểm M thuộc mặt đáy của hình chóp đến (SPQ)
5/ Tính khoảng cách từ điểm M không thuộc mặt đáy của hình chóp đến (SPQ) 
6/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và đường thẳng CD 
(với CD là đoạn thẳng nằm trong mặt đáy).
 Cách giải:
1/Ta thực hiện các bước sau đây.
Bước 1: Dựng HI  AB tại I S
Bước 2: Dựng HK  SI tại K 
 d(H,(SAB) = HK
*Chứng minh: SH  (HAB) K
 AB  SH AB  (SHI) AB  HK B
Ta có. HK  AB và HK  SI nên I
HK  (SAB). Do đó d(H,(SAB) = HK H
*Cách tính HK.
 Tam giác SHI vuông tại H và HK  SI A
 1 1 1
nên. .Ta tính SH và 
 HK 2 SH 2 HI 2
HI từ đó tính được HK.
 Điểm H là hình chiếu vuông góc của đỉnh hình chóp lên mặt đáy của hình 
chóp và sau đây gọi tắt là điểm hình chiếu. Việc xác định điểm hình chiếu và 
tính khoảng cách từ điểm hình chiếu đến một mặt phẳng đi qua đỉnh S là rất 
quan trọng và cần thiết vì các bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một 
mặt phẳng hoặc khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau sẽ quy về bài toán 
tính khoảng cách từ điểm hình chiếu.
2/Ta thực hiện các bước sau đây.
 S
Bước 1: Tính d(H,(SAB))
(Giải như câu 1 của bài toán) 
Bước 2: Nối M với H. Khi đó.
* Nếu MH // AB MH // (SAB) B
d(M,(SAB)) = d(H,(SAB)) H
 M A
 S
* Nếu MH không song song với AB. 
Gọi I là giao điểm của MH với AB
 d(M,(SAB)) MI
Khi đó . Ta tính tỉ B
 d(H,(SAB)) HI
 M
 H I
số MI và từ đó suy ra d(M,(SAB))
 HI A
 5 Bước 1: Chọn một điểm E thuộc S
mặt đáy của hình chóp rồi tính 
khoảng cách từ E đến (SPQ). Q
Bước 2: Nối điểm M với E, xảy ra F
các trường hợp sau.
 M
* Nếu ME // (SPQ) thì. H
 d(M ,(SPQ)) d(E,(SPQ)) 
* Nếu ME không song song với P E
(SPQ), đường thẳng EM cắt (SPQ) 
tại F thì.
 d(M,(SPQ)) FM FM
 .Tính tỉ số và từ đó suy ra khoảng từ điểm M đến mặt 
 d(E,(SPQ)) FE FE
(SPQ).
Lưu ý: Việc chọn điểm E ở bước 1 phải đảm bảo tính được d(E,(SPQ)) và tính 
được tỉ số FM .
 FE
6/ Ta thực hiện các bước sau đây.
Bước 1: Gọi R là một điểm thuộc S
mặt đáy sao cho tứ giác ARCD là 
hình bình hành.
Bước 2: Nối S với R. Khi đó ta có.
CD // AR nên CD // (SAR). Do đó
 d(SA,CD) d(CD,(SAR)) d(G,(SAR)) R
(Với G là một điểm bất kì nằm trên 
đường thẳng CD, ta chọn điểm G 
sao cho thuận lợi trong việc tính A C
 d(G,(SAR)) . Lúc này bài toán quay 
về bài toán tính khoảng cách từ một G
điểm đến một mặt phẳng ( như các D
câu đã xét ở trên).
Lưu ý: 
* Trong trường hợp tổng quát. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo 
nhau a và b. Ta thực hiện các bước sau đây.
Bước 1: Tìm mp(P) chứa đường thẳng a
 Q
b và cắt đường thẳng a tại điểm A 
Bước 2: Qua A ta dựng đường thẳng c 
song song với đường thẳng b.
Bước 3: Dựng mp(Q) chứa hai đường 
 c b
thẳng cắt nhau a và c. Khi đó.
 b / /(Q) d(a,b) d(b,(Q)) d(B,(Q)) A
 P B
(Với B là một điểm bất kì nằm trên 
đường thẳng b, ta chọn điểm B sao cho 
thuận lợi trong việc tính d(B,(Q)) )
 7 1 1 1 a 3 a 3
 HK d(H,(SCD)) HK 
 2 2 2
 HK a 3 a 7 7
 2 
+ Tính d(A,(SCD))
Vì AH //CD nên AH//(SCD) 
 a 3
Vậy d(A,(SCD)) d(H,(SCD)) 
 7
Bài 2. (Đề thi đại học khối A và A1 năm 2014). Cho hình chóp S.ABCD có 
 3a
đáy là hình vuông cạnh a, SD , hình chiếu vuông góc của S lên 
 2
mp(ABCD) trùng với trung điểm của AB. Tính theo a thể tích khối chóp 
S.ABCD và khoảng cách từ A đến mp(SBD). [3]
 Giải
* Tính thể tích của khối chóp. S
Gọi H là trung điểm của AB. 
Ta có SH là đường cao của hình chóp 
SABCD.
 SH  (ABCD) SH  DH 
 E
Áp dụng định lí Pitago cho SHD vuông 
tại H. C
 B K
 2 2 2 2 2
 SH SD DH SD (AH AD ) H
 O
 9a2 a2 
 ( a2 ) a
 4 4 A D
 1 1 a3
Thể tích hình chóp SABCD là: V S .SH a2.a 
 2 ABCD 3 3
* Tính khoảng cách từ A đến (SBD)
Phân tích đề bài: Điểm cần tính khoảng đến mp(SBD) là điểm A thuộc mặt đáy, 
điểm hình chiếu của đỉnh S ở đây là trung điểm H của AB. 
+ Tính d(H,(SBD))
Gọi O là giao điểm của AC và BD 
Dựng HK  BD tại K HK / / AC BD  (SHK)
Dựng HE  SK tại E HE  (SBD) HE d(H,(SBD))
 1 1 a 2
 HK / / AC HK AO AC 
 2 4 4
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHK ta có 
 1 1 1 a a
 HE . Do đó: d(H,(SBD)) 
 HE 2 SH 2 HK 2 3 3
+ Tính d(A,(SBD)) 
AH cắt (SBD) ở B do đó
 9 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A, AB=a 2 . 
Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên (ABC) thỏa mãn 
 IA 2IH . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và SB. 
a/Tính theo a khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAH). 
b/Tính theo a khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (SAH).
 Giải
a/ Phân tích đề bài: Mặt phẳng (SAH) đi qua điểm hình chiếu H, Điểm cần 
tính khoảng đến mp(SAH) là điểm M thuộc mặt đáy của hình chóp. Vì vậy ta sẽ 
giải bài tập này theo các bước như câu 4 của bài toán tổng quát.
Dựng MK  AH tại K. Vì SH  
MK nên MK  (SAH) 
 d(M,(SAH)) MK
 ABC vuông cân tại A nên AI  N
 1
BC. Do đó MK//BI và MK BI 
 2
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 4a 2 
BC = 2a BI = a
 1 a
Vậy d(M,(SAH)) MK BI 
 2 2
b/ Phân tích đề bài: Mặt phẳng (SAH) đi qua điểm hình chiếu H, Điểm cần 
tính khoảng đến mp(SAH) là điểm N không thuộc mặt đáy của hình chóp. Vì 
vậy ta sẽ giải bài tập này theo các bước như câu 5 của bài toán tổng quát.Ta sẽ 
tính d(N,(SAH)) thông qua khoảng cách từ một điểm thuộc mặt đáy (ta chọn 
điểm B) đến (SAH).
+ Tính d(B,(SAH))
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 4a 2 BC = 2a BI = a
BI  AH BI  (SAH) do đó d(B,(SAH)) BI a 
 d(N,(SAH )) NS 1
+ Tính d(N,(SAH)) : Ta có NB cắt (SAH) tại S (Vì N là 
 d(N,(SAH )) BS 2
 1 a
trung điểm của SB) d(N,(SAH) d(B,(SAH )) 
 2 2
 a
Vậy d(N,(SAH) 
 2
Bài 5. (Đề thi THPT quốc gia năm 2015). Cho hình chóp S.ABCD có đáy 
ACBD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳmg (ABCD), góc giữa 
đường thẳng SC và mặt phẳng (ACBD) bằng 45 0.. Tính theo a thể tích của khối 
chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC. [4]
 Giải
* Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
 11 HK  (SHA) HK  BC
 HK là khoảng cách giữa SA và BC SHA vuông góc tại H nên:
 1 1 1 1 1 a 3
 HK = 
 HK2 SH2 AH2 3a 2 a 2 4
 4 4
 a 3
Vậy d(SA, BC) 
 4
Bài 7. (Đề thi đại học khối B năm 2014). Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là 
tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là 
trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng 600. Tính 
theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mặt 
phẳng (ACC’A’). [3]
 Giải
Gọi H trung điểm AB thì A’H  (ABC)
* Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’
Hình chiếu vuông góc của A’C lên (ABC) là HC. 
Vậy góc giữa A’C và (ABC) B'
 là A·'CH 600
 ABC là tam giác đều cạnh a nên 
 2 A'
 a 3 a 3 C'
 HC , S 
 2 ABC 4
 A 'H
 A’HC vuông tan600 = 3
 HC
 B
 a 3 3a
 A’H = 3 K
 2 2
 H
 3a a 2 3 3a3 3
VLT = A 'H.S . 
 ABC 2 4 8 A I C
* Tính d(B,(ACC' A')) .
 Phân tích đề bài: Đây là bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt 
phẳng. Điểm cần tính khoảng đến mp(ACC’A’) (cũng là mp (A’AC)) là điểm B 
thuộc mặt đáy của lăng trụ. Vì vậy ta có thể nhìn nhận bài toán này như bài toán 
tính khoảng cách từ điểm B thuộc mặt đáy đến mặt phẳng (A’AC)) đối với hình 
chóp A’ACB đỉnh là A’, Điểm hình chiếu của đỉnh A’ là H. Do đó ta sẽ giải bài 
toán này như sau.
+ Tính d(H,(A'AC))
Dựng HI  AC tại I, Dựng HK  A’I tại K 
Do AC  (A’IH) AC  HK HK  (A’AC)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông A’HI ta có 
 1 1 1 3a
 HK 
 HK 2 A' H 2 HI 2 2 13
 13