Sáng kiến kinh nghiệm Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh từ quá trình tìm lời giải các bài toán ở chương Tổ hợp và xác suất lớp 11

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN 
 TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 2 
  
 ĐỀ TÀI: 
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO 
 CHO HỌC SINH TỪ QUÁ TRÌNH TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI 
 TOÁN Ở CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT LỚP 
 Đề tài thuộc lĩnh vực: Toán học 
 Người thực hiện: Phạm Ngọc Chuyên 
 Năm học : 2020 - 2021 
 1 
 PHẦ N I: ĐẶT VẤN ĐỀ 
 1. Lý do chọn đề tài 
 1.1. Bài tập của chương Tổ hợp – Xác suất (đại số và giải tích lớp 11) là một 
nội dung khá phong phú về cách ra đề và luôn có trong đề thi THPT Quốc gia cũng 
như đề thi học sinh giỏi. Phương pháp giải các bài toán Tổ hợp- Xác suất thiên về tư 
duy logic và tư duy thuật toán nên những học sinh “yếu” về năng lực giải quyết vần 
đề thường gặp khó khăn trong giải các bài tập toán phần này. 
 1.2. Trước thực trạng đó, bản thân tôi luôn tìm tòi các cách dạy học sao cho học 
sinh biết: Gạt bỏ những thuộc tính hình thức và giữ lại những thuộc tính bản chất của 
bài toán; Thấy được không chỉ một bài toán mà còn phải thấy được một lớp các bài 
toán tương tự; Xây dựng được các bài toán từ bài toán gốcQua đó, khơi dậy sự 
hứng thú trọng học tập của học sinh; bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và phát 
huy tính sáng tạo . 
 1.3. Định hướng đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục của nước ta trong giai 
đoạn hiện nay là: “chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức 
sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học”. Theo định hướng này 
này, song song với hoạt động dạy học nội dung kiến thức là hoạt động hình thành và 
phát triển cho học sinh các năng lực cốt lõi. Chương trình SGK mới chỉ ra một số 
năng lực chung như: Năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng 
lực giải quyết vấn đề và sáng tạo. Ngoài ra còn có các năng lực chuyên môn được 
hình thành và phát triển thông qua một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định 
như: Năng lực ngôn ngữ, năng lực tính toán, năng lực khoa học, năng lực thẩm mỹ, 
năng lực thể chất, năng lực tin học, năng lực công nghệ. 
 Từ mục đích trên, tôi nghiên cứu đề tài: “Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn 
đề và sáng tạo cho học sinh từ quá trình tìm lời giải các bài toán ở Chương tổ hợp 
và xác suất lớp 11”. 
 2. Mục đích nghiên cứu 
 Xây dựng một số tình huống có vấn đề trong giải bài tập Tổ hợp – Xác suất. 
Học sinh giải quyết được tình huống có vấn đề (dưới sự hướng dẫn của giáo viên). 
Qua đó phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh. 
 3. Đối tượng nghiên cứu 
 - Học sinh lớp 11; 
 - Giáo viên toán THPT. 
 4. Phương pháp nghiên cứu 
 - Nghiên cứu lý luận, quan sát, điều tra thực tiễn, thực nghiệm. 
 3 
 - Lựa chon được giải pháp phù hợp nhất. 
 Thiết kế và tổ chức hoạt - Lập được kế hoạch hoạt động có mục tiêu, nội dung, 
 động hình thức, phương tiện hoạt động phù hợp; 
 - Tập hợp và điều phối được nguồn lực (nhân lực, vật 
 lực) cần thiết cho hoạt động. 
 - Biết điều chỉnh kế hoạch về việc thực hiện kế hoạch, 
 cách thức và tiến trình giải quyết vấn đề cho phù hợp 
 với hoàn cảnh để đạt hiệu quả cao. 
 - Đánh giá được hiệu quả của giải pháp và hoạt động 
 Tư duy độc lập - Biết đặt nhiều câu hỏi có giá trị, không dễ dàng chấp 
 nhận thông tin một chiều; 
 - Không thành kiến khi xem xét, đánh giá vấn đề; biết 
 quan tâm tới các lập luận và minh chứng thuyết phục; 
 - Sẵn sàng xem xét, đánh giá lại vấn đề. 
 1.2. Các đặc điểm của năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong môn toán 
 Từ việc phân tích các thành tố của năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo nói 
chung, năng lực toán học nói riêng, có thể chỉ ra các đặc điểm của năng lực giải quyết 
vấn đề và sáng tạo trong môn toán như sau: 
 - Nhận biết, phát hiện và làm rõ vấn đề cần giải quyết bằng Toán học; 
 - Lựa chọn, đề xuất được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề; 
 - Sử dụng được các kiến thức, kỹ năng toán học tương thích để giải quyết vấn 
đề đặt ra; 
 - Đánh giá được giải pháp đề ra; 
 - Nhận ra, hình thành và triển khai khái niệm mới, định lý mới, bài toán mới, 
cách giải mới trong môn toán. 
 Dạy học Toán bản chất là dạy học sinh giải toán. Khi học sinh giải được một 
bài toán, tức là học sinh đã biết giải quyết vấn đề xảy ra trong quá trình học tập để 
tìm ra cái mới ở mức độ nào đó. Nếu bài toán đó học sinh chưa biết phương pháp giải 
nhưng vẫn giải được thì đó được xem là giải quyết vấn đề sáng tạo. 
 Sáng tạo của học sinh trong học tập được xem như một quá trình sáng tạo đặc 
biệt. Bởi vì tri thức học sinh tìm ra không mới với nhân loại nhưng mới với bản thân 
các em. Sự sáng tạo của học sinh biểu hiện qua các hoạt động như: Giải được bài toán 
mà các em chưa biết phương pháp giải; Giải một bài toán bằng nhiều cách khác nhau; 
đưa ra một cách giải mới; ... 
 Giải quyết vấn đề và sáng tạo là hai mặt tồn tại song song và bổ trợ cho nhau 
khi thực hiện một hoạt động học tập nào đó. Khi giải quyết một vấn đề, chúng ta sẽ 
 5 
 Phân tích cách giải 1: Hoán vị lặp không đưa vào SGK, nhưng đây là một nội 
dung mà học sinh có thể tḿ tḿ hiểu thêm thông qua sự giới thiệu và hướng dẫn của 
giáo viên. 
 Tìm hiểu sâu cách giải 1: Từ bài toán trên ta có thể hướng dẫn học sinh xây 
dựng bài toán tổng quát sau: 
 Cho tập A có n phần tử, trong đó có: n1 phần tử x1 , n2 phần tử x2  nk 
phần tử xk (n12 n ... nk n ) . Mỗi cách sắp xếp n phần tử đó vào n vị trí gọi là một 
hoán vị lặp của n phần tử đã cho. Số hoán vị lặp của n phần tử ở trên là: 
 n!
P 
 n12!. n !.... nk !
 Từ bài toán tổng quát trên học sinh có thể tự sáng tạo ra lớp các bài toán tương 
tự: 
 Bài 1: Từ tập X ={1;2;3;4;5;6;7;8} lập được bao nhiêu số tự nhiên có 11 chữ số 
sao cho chữ số 1 có mặt 4 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần? 
 Bài 2: Từ các số của tập A = { 2; 4; 6; 8} lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 
bảy chữ số, trong đó chữ số 2 xuất hiện đúng hai lần; chữ số 4 xuất hiện 2 lần; chữ số 
6 xuất hiện 2 lần và chữ số 8 xuất hiện 1 lần. 
 Bài 3: Cho tập A = { 1; 3; 5; 6; 9}. Từ tập A ta lập được bao nhiêu số có 7 chữ 
số sao cho chữ số 1 xuất hiện 2 lần; chữ số 6 xuất hiện 2 lần; các số khác xuất hiện 
đúng 1 lần và số này chia hết cho 5. 
 Bài 4: Từ tập X = {1; 2; 4; 6; 7; 9}. Từ tập X ta lập được bao nhiêu số có 8 chữ 
số sao cho chữ số 4 xuất hiện 2 lần; chữ số 2 xuất hiện 2 lần; các chữ số khác xuất 
hiện đúng 1 lần và số đó không chia hết cho 2. 
 Bài 5: Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 7; 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ 
số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? 
 Bài 6: Cho tập X = {0;1; 3;5;6}. Từ tập X ta lập được bao nhiêu số có 7 chữ số 
sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần; các số khác xuất hiện đúng 1 lần và số đó vừa chia 
hết cho 2 vừa chia hết cho 5. 
 Bài 7: (HSG lớp 11 Quảng Ngãi 2015-2016). Từ các chữ số 1, 3, 4, 8 lập các số 
tự nhiên có sáu chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có 
mặt đúng một lần. Trong các số tạo thành nói trên lấy ngẫu nhiên một số. Tính các 
suất để số được chọn chia hết cho 4. 
 Cách 2: Xem số 1 xuất hiện ba lần trong số cần tìm là khác nhau, giả sử là 
a,b,c. Khi đó ta có bài toán mới như sau: Có bao nhiêu số có 9 chữ số khác nhau tạo 
thành từ tập hợp B = {2,3,4,5,6,7,a,b,c}. Mỗi số được tạo thành là hoán vị của 9 
phần tử của tập hợp B. Ta có 9! số. Nhưng do abc 1 nên mỗi số tìm được trên 
khi hoán vị các vị trí của a, b, c cho nhau thì số đó không đổi. Từ đó suy ra số các số 
 9!
thỏa mãn yêu cầu bài toán là số. 
 3!
 7 
Có 9 cái hộp xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách bỏ vào mỗi hộp một số 
tử các số 1,2,3,4,5,6,7 biết có 3 số 1. Như vậy mỗi cách bỏ số vào hộp ta được một số 
thỏa mãn yêu cầu bài toán. Nhưng ở đây mỗi số chắc chắn sẽ có 1 hộp để bỏ vào nên 
việc chữ số 1 lặp lại không ảnh hưởng đển kết quả bài toán. Ở trên tác giả trìn bày lời 
giải bằng sử dụng chỉnh hợp, tuy nhiên chúng ta vẫn có thể dùng quy tắc đếm để giải 
bài toán như các bài toán quen thuộc. 
 Tìm hiểu sâu cách giải 3: Trong giải toán Tổ hợp - Xác suất cách giải trên gọi 
là phương pháp chọn vị trí trước, sắp xếp sau. Với những bài toán có quá nhiều 
trường hợp xảy ra khi ta giải trực tiếp thì ta thường chọn ra số phần tử thỏa mãn yêu 
cầu bài toán trước sau đó mới sắp xếp. Ứng dụng phương pháp giải trên ta giải được 
rất nhiều bài toán trong đề thi học sinh giỏi hoặc thi Quốc gia 
 Ví dụ 1c: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2020): Gọi S là tập hợp tất cả các số tự 
nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 
Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S, xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào 
cùng chẵn. 
 Lời giải 1: Yêu cầu bài toán sẽ có các trường hợp sau thỏa mãn 
 TH1: Lấy ra 4 số lẽ và sắp xếp chúng có =960 số 
 TH2: Lấy ra 4 số gồm 3 số lẽ và 1 số chẵn có cách lấy. 
 Sắp xếp các phần tử trên có 4! cách sắp xếp luôn thỏa mãn yêu cầu bài 
toán. 
 Suy ra có .4! =120 số thỏa mãn 
 TH3: Lấy ra 4 số gồm 2 số lẽ, 2 số chẵn có số 
 Sắp xếp các số trên thỏa mãn yêu cầu bài toán ta xem 2 số chẵn có 
21.2!.3 số 
 Số các số thỏa mãn bài toán là 720 
 Số phần tử không gian mẫu số 
 Xác suất lấy được 4 số không có 2 chữ số chẵn liên tiếp là 
 Lời giải 2: 
 TH1: Số có 4 chữ số trong đó có 2 chữ số chẵn liên tiếp và 2 số lẽ có 
 720 số (ta xem hai chữ số chẵn liến tiếp là một số). 
 TH2: Số có 4 chữ số gồm 3 chữ số số chẵn và 1 số lẽ có 480 số 
 TH3: Số có 4 chữ số chẵn liên tiếp có 4! = 24 số 
 Số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 
 Xác suất cần tìm là 
 9 
 4
 Số các số gồm 5 chữ số khác nhau là 9.A9 . 
 4 5 4 4
 Theo quy tắc cộng, ta có x 9. A9 A 8 4.4. A 8 5. A 8 
 Cách 3: Vì số cần lập có 5 chữ số mà đã có mặt 0 và 6 nên chỉ cần chọn thêm 3 
chữ số từ tập E 1,2; 3;4;5;7;8; 9. Mỗi bộ gồm 3 chữ số vừa chọn cùng với 2 số 0 
và 6 tạo thành một bộ có 5 chữ số. Mỗi hoán vị của 5 chữ số này trừ đi các hoán vị có 
chữ số 0 đứng đầu là một số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó, để lập mỗi số như vậy 
là một công việc trải qua 3 công đoạn. 
 3
 Công đoạn 1: Chọn 3 chữ số bất kỳ từ có C8 cách. 
 Công đoạn 2: Từ bộ 5 chữ số gồm 3 số vừa chọn cùng với hai số 0 và 6 ta lấy 
số 0 sắp vào một trong 4 vị trí sau, có 4 cách. 
 Công đoạn 3: Sắp 4 chữ số còn lại trong bộ vào 4 ô trống còn lại, có 4! cách. 
 3
 Theo quy tắc nhân, có tất cả C8 .4.4! số. 
 Cách 4: Việc lập số thỏa mãn yêu cầu bài toán có 2 phương án: 
 Phương án 1: Chữ số 6 ở vị trí đầu tiên. 
 Công đoạn 1: Sắp số 0 vào một trong 4 ô còn lại, có 4 cách sắp. 
 Công đoạn 2: Chọn 3 chữ số từ tập sắp vào 3 ô còn lại, có 
 3
A8 cách. 
 3
 Theo quy tắc nhân, trường hợp này có 4.A8 số. 
 Phương án 2: Chữ số 6 không ở vị trí đầu tiên. 
 Công đoạn 1: Sắp số 6 vào một trong 4 ô, có 4 cách sắp. 
 Công đoạn 2: Sắp số 0 vào một trong 3 ô còn lại (trừ ô đầu và ô chứa số 6), có 
3 cách sắp. 
 Công đoạn 3: Chọn 3 chữ số từ tập và xếp vào 3 ô còn lại, có 
 3
A8 cách. 
 3
 Theo quy tắc nhân, trường hợp này có 4.3.A8 số. 
 33
 Theo quy tắc cộng, có tất cả 4.AA88 4.3. số. 
 Mỗi cách giải ở trên là một cách nhìn bài toán ở một góc độ khác nhau. Trong 
các cách giải đó thì cách giải thứ nhất là tốt nhất. 
 Việc tìm nhiều lời giải khác nhau cho cùng một bài toán giúp học sinh hiểu sâu 
sắc hơn về một nội dung toán học cũng như khả năng liên kết nhiều nội dung toán 
học với nhau để giải quyết vấn đề. Học sinh biết nhìn một vấn đề, một sự việc dưới 
nhiều khía cạnh khác nhau để đưa ra nhận xét đánh giá khách quan và chính xác nhất. 
Hơn nữa, khi đứng trước một vấn đề trong cuộc sống, các em sẽ linh hoạt, sáng tạo 
hơn trong quá trình tìm các phương án giải quyết và chuyển hướng khi cần thiết. 
 11