Sáng kiến kinh nghiệm Con đường hình thành định lí hàm số côsin, định lí hàm số sin và các bài toán liên quan

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
 TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN II
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
CON ĐƯỜNG HÌNH THÀNH ĐỊNH LÍ HÀM SỐ CÔSIN, ĐỊNH 
 LÍ HÀM SỐ SIN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
 Người thực hiện: Chu Đình Sâm
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán
 THANH HOÁ NĂM 2017 1. Mở đầu
 1.1. Lí do chọn đề tài
 Trong thực tiễn giáo dục hiện nay việc dạy học các định lí và bài toán 
phần lớn tác giả chỉ nêu ra rồi chứng minh. Việc dạy học như thế chưa phát huy 
được sự sáng tạo, làm học sinh không hứng thú thậm chí còn sợ học các định lí 
và giải bài toán. Chính vì vậy ảnh hưởng đến chất lượng giáo dục học sinh
 Một trong những yêu cầu cấp thiết hiện nay của giáo dục là phải thay đổi 
phương pháp dạy và học, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện được 
thói quen cách tư duy sáng tạo và tự học của học sinh
 Bên cạnh đó nguồn tài liệu để dạy học định lí và giải bài toán chủ yếu nêu 
ra và đi chứng minh, như thế gây khó khăn cho cả thầy và trò. Việc tiếp thu kiến 
thức chưa sâu, chưa thấy được cái gốc của định lí hay bài toán này bắt nguồn từ 
đâu. Như thế thì làm sao lĩnh hội kiến thức đầy đủ chứ chưa nói là sáng tạo nên 
kiến thức mới
 Định lí hàm số côsin, định lí hàm số sin được học trong chương trình lớp 
10, nhưng sau khi học xong việc vận dụng làm bài tập của học sinh còn kém 
hiệu quả. Vì những lí do trên và với mong muốn học trò không những tiếp thu 
và lĩnh hội tri thức mà làm cho các em hứng thú, tự mình biết tìm và sáng tạo 
nên các bài toán mới tôi chọn đề tài: “ Con đường hình thành định lí hàm số 
côsin, định lí hàm số sin và các bài toán liên quan” để dạy cho học sinh lớp 
11 trong những tiết tự chọn 
 1.2. Mục đích nghiên cứu 
 Đề tài này nghiên cứu kinh nghiệm dạy và học định lí hàm số côsin, định 
lí hàm số sin và các bài toán liên quan cho học sinh, góp phần nâng cao chất 
lượng học sinh. Qua đó các em biết tiếp thu, củng cố, tổng hợp kiến thức đã học 
và tự sáng tạo ra các bài toán mới
 Làm cho học sinh biết cách học các định lí, giải bài toán và hiểu rằng dù 
bài toán khó đến đâu cũng bắt nguồn từ bài toán đơn giản, dễ hiểu.
 1.3. Đối tượng nghiên cứu
 1 Khi dạy học có thể giáo viên chỉ nêu định lí hay bài toán rồi trình bày 
cách giải mà không có điều kiện để học sinh tìm tòi, phát hiện định lí và bài 
toán, không tìm thấy mối liên quan chặt chẽ giữa chúng
 Học sinh không chú ý đến cái nguồn gốc sâu xa của vấn đề nên không 
hiểu sâu và không nắm vững kiến thức. Có thể khi gặp các bài toán tương tự 
nhau vẫn không làm được bởi vì không nhận biết được dạng toán này đã từng 
làm. Như vậy đứng trước một định lí hay bài toán việc định hướng tìm lời giải 
và nguồn gốc của chúng là rất cần thiết
 Nhìn chung kết quả trong học tập và kết quả các kì thi toán của học sinh 
trường THPT Như Xuân II còn khiêm tốn. Như vậy việc đổi mới trong dạy và 
học cả về phương pháp lẫn nội dung không những kiến thức trong sách giáo 
khoa mà cả những kiến thức nâng cao lại càng trở nên cấp thiết
 Cụ thể trong đề tài này xuất phát từ một kiến thức đơn giản phù hợp với 
học sinh trung bình, yếu tôi đã hướng dẫn học sinh hình thành nên các định lí 
hàm số côsin, định lí hàm số sin và xây dựng được các bài toán từ đơn giản đến 
nâng cao. Từ đó hình thành cả tư duy trừu tượng lẫn tư duy sáng tạo, nâng cao 
kiến thức, góp phần tăng kết quả cho học sinh trong học tập và trong các kì thi 
 2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải 
quyết vấn đề
 Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, 
khả năng tư duy logic theo hướng xây dựng, tư duy sáng tạo. Phải làm sao từ 
những kiến thức cơ bản, dễ hiểu ban đầu phải dẫn dắt học sinh hình thành kiến 
thức nâng cao một cách tự nhiên, không áp đặt
 Trong các tiết dạy thầy biết dẫn dắt học sinh xây dựng định lí, khai thác 
mở rộng thành các bài toán và phải biết nhìn định lí, bài toán dưới nhiều góc độ
 Tổ chức để học sinh từ biết hình thành đến rèn luyện và cũng cố kĩ năng 
xây dựng định lí, bài toán
 Tổ chức kiểm tra để lấy kết quả việc nắm bắt kiến thức nội dung triển khai 
và kĩ năng mà học sinh đạt được
 3 Nhận xét: Rõ ràng theo trên dấu “=” xảy ra khi a b c hay ABC đều. 
Cách làm này gây hứng thú cho người học. Đến đây đã trả lời được câu hỏi bài 
toán này tác giả lấy ở đâu?
 Tiếp tục con đường trên xem ta được gì ? 
 Từ a2 b2 c2 2bc cos A và a bcosC c cos B suy ra 
 b2 c2 2bc cos A b2 cos2 C c2 cos2 B 2bc cos B cosC 
 b2 sin2 C c2 sin2 B 2bcsin Bsin C 
 Tương tự ta có bài toán
 Bài toán 2: Trong ABC ta có:
 a) a2 sin2 B b2 sin2 A 2absin Asin B (5);
 b) b2 sin2 C c2 sin2 B 2bcsin Bsin C (6);
 c) a2 sin2 C c2 sin2 A 2acsin Asin C (7).
 Nhận xét: Con đường nghĩ ra bài toán 2 đã tạo niềm vui, sự hứng thú cho 
người học mặc dù nếu nêu ra và chứng minh bài toán 2 không khó. Chẳng hạn 
(5) chính là dấu “=” của bất đẳng thức a2 sin2 B b2 sin2 A 2absin Asin B
 Cái hay ở đây là làm cho học trò thấy rằng bài toán 2 luôn đúng nên dấu 
 a b
“=’ ở trên luôn xảy ra. Từ đó asin B bsin A 
 sin A sin B
 a b c abc 1
 Tương tự ta có . Vì S và S absin C 
 sin A sin B sin C 4R 2
 c 2Rsin C . Từ đây suy ra định lí hàm số sin
 a b c
 Định lí: Trong ABC ta có 2R (8)
 sin A sin B sin C
 Chú ý rằng từ định lí côsin suy ra định lí sin bằng cách khác như sau:
 2 2 2 2 2bc b2 c2 a2 2bc b2 c2 a2
 2 b c a 
 sin A 1 cos A 1 2 2 
 2bc 4b c
 4 p p a p b p c 2S
 bc bc
 sin A 2S 1
 Từ đó (đpcm)
 a abc 2R
 5 Bài toán 4: Chứng minh trong ABC ta có: 
 a) 4S b2 c2 a2 2 2bc
 b) 4S a2 c2 b2 2 2ac
 c) 4S a2 b2 c2 2 2ab
 2S b2 c2 a2
 Tiếp theo thay sin A và cos A vào bất đẳng thức 
 bc 2bc
 3 1
 sin A 300 1 sin A cos A 1 ta được:
 2 2
 2 2 2
 1 2 3S b c a 2 2 2
 1 4 3S b c a 4bc . Tương tự ta có bài toán
 2 bc 2bc 
 Bài toán 5: Chứng minh trong ABC ta có:
 a) 4 3S b2 c2 a2 4bc
 b) 4 3S a2 c2 b2 4ac
 c) 4 3S a2 b2 c2 4ab
 Từ bài toán 5 ta suy ra bài toán
 Bài toán 6: Chứng minh trong ABC ta có:
 2 2 2
 12 3S a b c 4(ab bc ca)
 Tiếp theo nếu sử dụng bất đẳng thức a2 b2 c2 ab bc ca thì từ bài toán 
6 suy ra bài toán
 Bài toán 7: Chứng minh trong ABC ta có: 4 3S a2 b2 c2 . Dấu bằng 
xảy ra khi nào?
 Nhận xét: Việc tìm ra bài toán 7 minh chứng cho khẳng định bài toán dù 
khó đến đâu cũng được bắt nguồn từ kiến thức và bài toán đơn giản. Với cách 
dạy và cách học này chính học sinh là người trực tiếp tìm ra kiến thức. Do đó 
khi chứng minh định lí hay giải một bài toán học sinh sẽ biết bắt đầu cách giải 
như thế nào.
 Phần 2: Từ định lí hàm số côsin xây dựng công thức tính độ dài 
đường phân giác trong, đường trung tuyến của tam giác và các bài toán
 Liệu từ định lí hàm số côsin có xây dựng được công thức tính độ dài 
đường phân giác trong của tam giác không?
 7 A
 Vì b c 2 bc la bc cos nên lại có bài toán
 2 
 Bài toán 9: Chứng minh trong ABC ta có: 
 A
 l bc cos
 a) a 2 (9)
 B
 l ac cos
 b) b 2 (10) 
 C
 l ab cos
 c) c 2 (11) 
 Khi đó ta lại đưa ra bài toán 
 A B C
 ABC l l l abc cos cos cos
 Bài toán 10: Chứng minh trong ta có: a b c 2 2 2 
 b2 c2 a2
 2 2 2 1 
 b c a A 1 cos A 2bc p( p a)
 Từ cos A cos 
 2bc 2 2 2 bc
kết hợp với (9) ta được la p( p a) Từ đây ta lại có bài toán mới
 Bài toán 11: Chứng minh trong ABC ta có: 
 a) la p( p a) (12) 
 l p( p b)
 b) b (13)
 c) lc p( p c) (14)
 Từ bài toán 11 suy ra bài toán
 Bài toán 12: Chứng minh trong ABC ta có: lalblc pS
 2
 2 2
 Ta lại có: la lb lc p( p a) p( p b) p( p c) 3p 
 la lb lc 3p . Từ đó ta có bài toán
 ABC la lb lc 3p
 Bài toán 13: Chứng minh trong ta có: 
 2
 a b c a b c 1 2 3
 p p 2 a b c a 2 b 2 c 2 
 Lại vì 2 nên 2 4 4
 Từ đây ta có bài toán
 3
 ABC l l l a 2 b 2 c 2
 Bài toán 14: Chứng minh trong ta có: a b c 2
 9 2 2 2
 2 a b c
 c) mc 
 2 4
 Từ đây ta có bài toán
 3
 ABC m 2 m 2 m 2 (a2 b2 c2 )
 Bài toán 17: Chứng minh trong ta có: a b c 4 
 Thầy: Do a2 b2 c2 ab bc ca nên suy ra bài toán sau
 3
 ABC m 2 m 2 m 2 (ab bc ca)
 Bài toán 18: Chứng minh trong ta có: a b c 4
 2
 Từ bài toán 17 và bất đẳng thức a b c 3 a 2 b 2 c 2 suy ra bài toán 
 2 2 2 2
 Bài toán 19: Chứng minh trong ABC ta có: a b c 4 ma mb mc 
 1 1
 2 2 2 2 2 2 2 2
 ma b c b c a b c 2bc cos A 
 Tiếp theo nếu viết 4 4 
1 2 2 A 2 A A
 b c 4bc cos bc cos ma bc cos . Do đó ta có bài toán
4 2 2 2
 Bài toán 20: Chứng minh trong ABC ta có :
 A
 m bc cos
 a) a 2
 B
 m ac cos
 b) b 2
 C
 m ab cos
 c) c 2
 Từ đây lại được bài toán 
 Bài toán 21: Chứng minh trong ABC ta có : 
 A B C
 m m m bc cos ac cos ab cos
 a b c 2 2 2 
 2 2 2 2
 Từ bất đẳng thức ma mb mc 3 ma mb mc ta lại được bài toán
 Bài toán 22: Chứng minh trong ABC ta có :
 2
 2 2 2 A B C 
 3 ma mb mc bc cos ca cos ab cos 
 2 2 2 
 11