Sáng kiến kinh nghiệm Dạy học giới hạn theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh

 1. Lời giới thiệu :
Giáo dục phổ thơng nước ta đang thực hiện bước chuyển từ chương trình trình 
giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực người học, để thực hiện được 
điều đĩ giáo viên cần phải thay đổi cách dạy và cách học theo hướng tích cực 
hĩa người học. Giáo viên cần chú trọng việc hướng dẫn và rèn luyện phương 
pháp học tập cho học sinh. Giúp học sinh củng cố nâng cao kiến thức, vận dụng 
kiến thức giải quyết bài tốn thực tế. Đặc biệt là sử dụng hệ thống bài tập nhằm 
phát triển năng lực cho học sinh trong quá trình dạy học. 
Hiện nay, trong xu thế đổi mới của nghành giáo dục về phương pháp dạy học 
cũng như phương pháp kiểm tra đánh giá. Cụ thể là phương pháp kiểm tra đánh 
giá bằng trắc nghiệm khách quan địi hỏi học sinh khơng những phải học kĩ, nắm 
vững tồn bộ kiến thức của chương trình mà cịn phải cĩ khả năng phản ứng 
nhanh đối với các dạng tốn và phải cĩ kĩ năng giải bài tập trắc nghiệm.
 Trong quá trình bồi dưỡng ơn thi đại học, tơi nhận thấy dạng bài tập về 
tính giới hạn của dãy số và tính giới hạn của hàm số thường cĩ mặt trong trong 
đề thi THPT Quốc gia. Dạng bài tập này cĩ từ dễ đến khĩ, đặc biệt là biết ứng 
dụng nĩ vào bài tốn thực tế thường gây ra nhiều khĩ khăn, lúng túng cho học 
sinh nhất là những học sinh cĩ kĩ năng phân tích đề khơng tốt, nhiều học sinh 
chỉ nhớ cơng thức, nhớ dạng bài một cách máy mĩc, do đĩ chỉ làm được các bài 
tập quen thuộc (thậm chí khơng làm được). Đối với dạng bài tập này nếu giáo 
viên bổ sung cho học sinh thêm bài tập và rèn kỹ năng chuyển bài tốn lạ về 
dạng quen thuộc với nhiều tình huống khác nhau từ đĩ giúp học sinh định hướng 
cách giải cho từng dạng bài cụ thể là rất cần thiết.
 Đối với học sinh của trường Quang Hà là học sinh ở vùng tuyển sinh cĩ 
điểm đầu vào thấp , khả năng phân tích đầu bài cịn hạn chế, nên làm thế nào cĩ 
thể nâng cao được điểm thi của các em trong kì thi quốc gia chung, giúp các em 
cĩ thể làm tốt được một lớp câu hỏi trong đề thi Tốn nĩi chung và trong phần 
tính giới hạn và xác định đồ thị hàm số sau nĩi riêng luơn là sự trăn trở của tơi 
khi giảng dạy nên tơi chọn đế tài “Dạy học giới hạn theo hướng phát huy tính 
tích cực học tập của học sinh”
2. Tên sáng kiến:
Dạy học giới hạn theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh
3. Tác giả sáng kiến:
 1 3. Định lý về giới hạn hữu hạn:
 Nếu limun a và limvn b thì:
 lim(un vn ) a b lim(un vn ) a b
 un a
 lim(un.vn ) a.b lim (b 0)
 vn b
 Nếu un 0 (n) và limun a thì: a 0 & lim un a
4. Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn:
 - Cấp số nhân lùi vơ hạn là cấp số nhân vơ hạn (un ) cĩ cơng bội q, với 
| q | 1- Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn 
 u
 (u ) : S u u ... u ... 1 (| q | 1) 
 n 1 2 n 1 q
5. Dãy số dần tới vơ cực:
a) Định nghĩa: 
 - Ta nĩi rằng dãy số (un ) cĩ giới hạn + khi n , nếu un cĩ thể lớn 
hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đĩ trở đi.
Kí hiệu: limun hay un khi n .
 - Ta nĩi rằng dãy số (un ) cĩ giới hạn - khi n , nếu lim( un ) 
Kí hiệu: limun hay un khi n .
 k * n
b) Giới hạn đặc biệt: limn , (k ¢ ) ; limq , (q>1)
c) Định lí:
 un
 Nếu limun a và limvn thì lim 0
 vn
 Nếu limun a > 0, limvn 0 và vn > 0 với mọi n thì lim(u n / vn ) 
 Nếu limun và limvn a 0 thì lim(un.vn ) .
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN:
 P(n)
1. Giới hạn của dãy số (u ) với u , P(n), Q(n) là các đa thức của n
 n n Q(n)
Phương pháp: 
- Rút nk ra làm nhân tử (k là bậc cao nhất của n cĩ trong cả hai đa thức 
 P(n), Q(n) ) rồi rút gọn.
- Sử dụng các giới hạn đặc biệt và định lí về giới hạn dãy số.
Chú ý: 
 3 2 3 4 3 4
 2 n (1 ) (1 )
 n 3n 4 2 2 1
 2. lim lim n n lim n n 
 2 19 77 19 77
 12n 19n 77 n2 (12 ) (12 ) 12
 n n2 n n2
 1 1
 n2 (4 ) n n 4 n
 4n2 1 n 2 2
3. lim lim n lim n
 2
 3n 2 3n 2 n(3 )
 n
 1
 4 1
 2 4 1
 lim n 1
 2
 3 3
 n
 1 1
 n3 (4 ) n n n 4 n
 4n3 1 n 3 3
 4. lim lim n lim n
 3 2
 3n 2 3n 2 n n( )
 n n n
 1 1
 4 
 n2
 lim n 
 3 2
 n n n
 1 2
5. lim( 2n2 n 2 n) lim[n( 2 1)] 
 n n2
 ( n2 n 2 n)( n2 n 2 n)
 6. lim( n2 n 2 n) lim
 n2 n 2 n
 2
 2 2 n( 1 )
 n n 2 n n 2
 lim lim lim n
 n2 n 2 n n2 n 2 n 1 2
 n( 1 1)
 n n2
 2
 1 
 1
 lim n 
 1 2 2
 1 1
 n n2
Ví dụ 2: 
a) Tính các giới hạn sau:
 5 u3
Tìm lim n .
 n
Hướng dẫn:
Ta thấy un > 0 với mọi n 
 3 3 3 1
Ta cĩ un 1 un 3 3 6 (1)
 un un
 3 3 3 3 3 3
Suy ra: un 1 un 3 un un 1 3 un u0 3n(2) .
 3 3 1 1 3 1 1
Từ (1) và (2), suy ra un 1 un 3 3 3 2 un 3 n
 u0 3n (u0 3n) 3n 9n
 n n
 3 3 1 1 1 1
Do đĩ un u0 3n   2 (3)
 3 k 1 k 9 k 1 k
 n 1 1 1 1 1 n 1 n 1
Lại cĩ:  2 <1+ ... 2 2. n.  2 2n
 k 1 k 1.2 2.3 (n 1).n n k 1 k k 1 k
 2 2n u3 u3 u3 2 2
Nên u3 3n u3 u3 3n hay 3 0 n 3 0 
 0 n 0 9 3 n n n 9n 3 n
 u3
Vậy lim n 3.
 n
D. BÀI TẬP
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
 2n 1 (2n 1)2 (n2 n 1) n2 n 1
1. lim 2. lim 3. lim
 1 3n (1 3n)3 (2n 1) 3n4 2
 2
 2n n 1 n3 n 1 n2 2 3 3n3 1
 4. lim 5. lim 6. lim
 3n 1 4
 3n 5 4 2n 3n n
 (2n 3)9.(n2 2n)4
 7. lim 3 3n2 1 1
 (3n3 2n 1)5.(n2 1)83 . lim
 4 2n 1
 2n 3n n 9. lim[(n 1). ]
 n4 3n2 1
10. lim( n2 3n n)
 11. lim[n.( n2 1 n)]
 12. lim( n2 1 2n2 1)
 3 3 2 2
 3 3 2 14. lim( n 2n n 2n)
13. lim( n 9n n)
 15. lim( 3 1 n2 8n3 2n)
 7 a) Nếu lim un a và lim vn b thì lim(un vn ) a b
 b) Nếu lim un a và lim vn b thì lim(un vn ) a b
 c) Nếu lim un và lim vn thì lim(un vn ) 0
 n
 d) Nếu lim un a và -1<a<0 thì lim un 0
Câu 2: Với k là số nguyên dương, trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
 1 1
 a) lim nk b) lim nk c) lim 0 d) lim 0
 nk nk
 2n3 n2 3n 1
Câu 3: Kết quả lim bằng:
 1 2n3
 a) -1 b) -2 c) -3 d) -4
 n2 16
Câu 4: Kết quả lim bằng:
 n 4
 a) 8 b) 4 c) 6d) 
 3 n3 2n2 n 1
Câu 5: Kết quả lim bằng:
 2n 1
 1 1
 a) b) c) 2 d) 2
 2 2
 2n 3.5n
Câu 6: Kết quả lim bằng:
 2n 1 5n 1
 3 3
 a) b) c) 3 d) 3
 5 5
 n
 2 
Câu 7: Kết quả lim 2 bằng:
 3
 a) 2 b) 0 c) 3 d) 1
 8n2 1
Câu 8: Kết quả lim bằng:
 n2
 a) 2b) 2 2 c) 3 2 d) 2
 n2 n 3
Câu 9: Kết quả lim bằng:
 n3 2n
 a) 3 b) 1 c) 2d) 0
 n
 1 
Câu 10: Kết quả lim(2 ) bằng:
 n 1
 9 n n2 1 2n2
Câu 20: Kết quả lim bằng:
 4n3 n 3
 a) 2 b) 1 c) 1 d) 0
 3
Câu 21: Kết quả lim( n3 2n2 ) bằng:
 a) 1 b) c) d) 0
 n4 5n2 4
Câu 22: Kết quả lim bằng:
 2n2 1
 1
 a) b)1 c) d) 
 2
Câu 23: Kết quả lim( 2n3 n2 3) bằng:
 a) b) c) 0 d) -2
Câu 24: Kết quả lim 2n4 3n2 11 bằng:
 a) b) c)2 d) 2
 5n2 3n 7
Câu 25: Kết quả lim bằng:
 3n 2
 a) b) c)5 d) 3
 2n4 n3 n
Câu 26: Kết quả lim bằng:
 2n 3
 1
 a) b) c) d) 2
 2
Câu 27: Kết quả lim n 1 n n bằng:
 a) b) c) 2 d) 0
Câu 28: Kết quả lim n2 n 1 n bằng:
 a) b) c) 1 d) 0
Câu 29: Kết quả lim 2n 3n bằng:
 a) b) c) 1 d) 0
 3n 1
Câu 30: Kết quả lim bằng:
 1 2n
 a) b) c) 1 d) 3
 1
Câu 31: Kết quả lim bằng:
 n2 n 3
 11 PHẦN II. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ:
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm:
1. Định nghĩa:
 Cho khoảng K chứa điểm x 0 và hàm số f(x) xác định trên khoảng K hoặc 
trên K \ {x0}. 
Ta nĩi hàm số f(x) cĩ giới hạn là số L khi x dần tới x 0 nếu với dãy số (x n) bất kì, 
xn K \ {x0} và xn x0 , ta cĩ f (xn ) L
Kí hiệu: lim f (x) L hay f (x) L khi x x0
 x x0
(Khoảng K là khoảng (a; b), (- ; b), (a; + ) hoặc (- ; + ))
2. Định lí: • lim[ f (x) g(x)] L M
 x x0
a) Giả sử lim f (x) • Llivàm[ lfi(mx)g (xg)( x)M] . LKhi M đĩ:
 x x0 x x0
 x x0
 • lim[ f (x).g(x)] L.M
 x x0
b) Nếu f (x) 0 và lim f f(x()x) L Lthì L 0 và lim f (x) L .
 • x lixm0 (M 0). x x0
 x x0 g(x) M
(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với x x0 )
c) Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên khoảng K chứa điểm x0 ( cĩ thể 
trừ x0) và g(x) f (x) h(x),x K, x x0 và 
 lim g(x) limh(x) L lim f (x) L
 x x0 x x0 x x0
3. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:
a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số, nếu với mọi dãy số (x n) mà limx n x0 dều 
cĩ limf(x n ) thì ta nĩi f(x) dần tới dương vơ cực khi x dần tới x0. 
Kí hiệu: limf(x) 
 x x0
Nếu lim[ f(x)] thì limf(x) 
 x x0 x x0
b) Trong định nghĩa giới hạn hàm số, nếu với mọi dãy số (x n) mà limx n 
dều cĩ limf(x n ) L thì ta nĩi f(x) cĩ giới hạn là L khi x dần tới âm vơ cực. 
Kí hiệu: lim f(x) L .
 x 
(nếu với mọi dãy số (x n) mà limx n dều cĩ limf(x n ) L thì ta nĩi f(x) cĩ 
giới hạn là L khi x dần tới dương vơ cực. 
Kí hiệu: lim f(x) L )
 x 
 13