Sáng kiến kinh nghiệm Dãy số

 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng 
 I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu
 Với 13 năm đứng trên bục giảng năm nào tôi cũng được tham gia giảng 
dạy cho học sinh lớp 11 và có một số năm được dạy cho học sinh ôn thi Học 
sinh giỏi. Khi dạy chương dãy số tôi thấy có một số vấn đề sau cần phải giải 
quyết:
 Một là: Theo qua điểm của ngành Giáo dục và thời lượng chương trình 
dạy học nên nội dung của chương dãy số đã được giảm tải đáng kể. Tuy nhiên 
việc giảm tải chỉ tập trung vào bài tập còn lí thuyết thì giảm tải không đáng kể vì 
đó là yêu cầu tối thiểu. Nên khi giáo viên dạy lí thuyết chương này khá vất vả, 
học sinh học lí thuyết cũng rất vất vả nhưng khi làm bài tập trong Sách giáo 
khoa học sinh thấy rất đơn giản vì các bài tập hơi khó đã được giảm tải, các bài 
tập còn lại đều tương tự ví dụ đã có trong phần lí thuyết nên hầu hết học sinh 
làm bài theo cách rất máy móc ít hiểu rõ vấn đề do đó khi đề bài chỉ thay đổi 
một chút là học sinh sẽ cảm thấy khó khăn, chán ngán.
 Hai là: Các vấn đề về dãy số hầu như không xuất hiện trong các đề thi 
tuyển sinh Đại học nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung này. Tài 
liệu tham khảo về dãy số cũng rất ít do đó những học sinh có nhu cầu tìm hiểu 
sau thêm về dãy số hoặc những học sinh có ý đinh ôn thi Học sinh giỏi rất khó 
tìm cho mình một cuốn tài liệu dễ đọc. 
 Những vấn đề trên chính là lý do để tôi chọn đề tài: Dãy số
2. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm
 Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau:
 Một là: Truyền đạt đến học sinh một cái nhìn toàn diện về dãy số theo 
quan điểm của học sinh trung học phổ thông không chuyên. Hệ thống và phân 
tích các bài tập về dãy số một cách logic từ khó đến rất khó
 Hai là: Qua việc luyện tập các bài toán về dãy số ta sẽ thấy nó là các 
phép thế tuyệt đệp, nó là phép quy nạp từ các vấn đề đơn giản đến phức tạp tổng 
quát là phép biến đổi điển hình của đại số và giải tích.
 Ba là: Hướng dẫn học sinh tìm lời giải một cách tự nhiên cho các bài 
toán về dãy số chánh sự gượng ép máy móc. 
3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
 Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải 
nghiên cứu trên các bài toán về dãy số: phương pháp quy nạp toán học, cấp số 
cộng, cấp số nhân và giới hạn của dãy số.
 Phạm vi nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào chương dãy số, 
giới hạn của dãy số thuộc chương trình trung học phổ thông không chuyên và 
các bài tập thi Học sinh giỏi cấp thành phố.
 1
 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng 
 II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận
a) Phương pháp quy nạp toán học 
b) Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
 *
 * Dãy số un gọi là dãy số tăng nếu un un 1 , n ¥
 *
 * Dãy số un gọi là dãy số giảm nếu un un 1 , n ¥
 *
 Vậy: Nếu un 1 un 0,n ¥ suy ra un là dãy số tăng
 *
 Nếu un 1 un 0,n ¥ suy ra un là dãy số giảm
 *
 * Nếu tồn tại số M sao cho un M , n ¥ thì un bị chặn trên
 *
 * Nếu tồn tại số m sao cho un m, n ¥ thì un bị chặn dưới
 * Nếu dãy số un bị chặn trên và bị chặng dưới thì gọi là dãy só bị chặn
c) Cấp số cộng
 *
 * Dãy số un là cấp số cộng un 1 un d với n ¥ , trong đó d là 
 số không đổi gọi là công sai của cấp số cộng.
 * Nếu dãy số un là cấp số cộng thì un u1 n 1 d
 * Nếu dãy số un là cấp số cộng thì tổng
 n
 S u u ... u u u 
 n 1 2 n 2 1 n
d) Cấp số nhân
 *
 * Dãy số un là cấp số nhân un 1 un.q với n ¥ , trong đó q là 
 số không đổi gọi là công bội của cấp số nhân.
 n 1
 * Nếu dãy số un là cấp số nhân thì un u1.q
 * Nếu dãy số un là cấp số nhân vơi q 1,q 0 thì tổng
 1 qn
 S u u ... u u . 
 n 1 2 n 1 1 q
e) Một số đinh lí về giới hạn
 - Nếu q 1 thì limqn 0
 - Nếu q 1 thì limqn 
 *
 - Nếu các dãy số an bn cn ,n ¥ và liman limcn L thì 
 limbn L
 - Nếu dãy số un tăng và bị chặn trên thì un có giới hạn 
 Nếu dãy số un giảm và bị chặn dưới thì un có giới hạn
 3
 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng 
 II Ta có n 2n 1 2n2 n,
 (3,5đ)
 thay n lần lượt bới 1, 2, 3, , ta được :
 1.3 2.12 1
 2.5 2.22 2
 3.7 2.32 3 1,5
 n 2n 1 2n2 n
 Cộng các đẳng thức trên theo vế ta được 
 A 1 2 ... n 2 12 22 ... n2 
 n n 1 
 Ta có 1 2 ... n (theo cấp số cộng) 0,5
 2
 n n 1 2n 1 
 Và 12 22 ... n2 (học sinh phải 
 6 1,0
 chứng minh đẳng thức này theo quy nạp)
 n n 1 n n 1 2n 1 1
 A n n 1 4n 5 
 2 3 6 0,5
 III 5 
 (3,5 đ) Theo đề bài un 1 2un 5 un 1 2 un 
 2 
 Ta nghĩ đến u a 2 u a u 2u a
 n 1  n  n 1 n 2,0
 Mà un 1 2un 5 nên ta phải có a 5
 Đặt vn un 5 v1 u1 5 6 và vn 1 2vn
 vn là cấp số nhân có công bội q 2
 n 1 n 1 n
 vn v1.q 6.2 3.2
 n 1,5
 un vn 5 3.2 5
 n
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un 3.2 5
Chó ý: NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng 
th× ®­îc ®ñ ®iÓm tõng phÇn nh­ ®¸p ¸n quy ®Þnh.
Kết quả thu được với các mức điểm được tính tỉ lệ phần trăm như sau: 
 5
 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng 
 PHẦN I: DÃY SỐ VỚI PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Bài 1. n ¥ * hãy chứng minh các đẳng thức sau: 
 n n 1 
a) 1 2 3 ... n (1) 
 2
 n n 1 2n 1 
b) 12 22 32 ... n2 (2)
 6
 2
 3 3 3 3 n n 1 
c) 1 2 3 ... n (3)
 2 
 Ba bài tập trên là các bài toán rất cơ bản dễ dàng giải quyết theo phương 
pháp quy nạp. 
Ta thực hiện lời giải cho ý b).
 1 1 1 2.1 1 
Bước 1: Khi n 1thì (2) 12 1 1
 6
Vậy (2) đúng với n 1
Bước 1: Giả sử đẳng thức (2) đúng với n k k 1 tức là 
 k k 1 2k 1 
 12 22 32 ... k 2 (giả thiết quy nạp)
 6
Ta phải chứng minh (2) đúng với n k 1 tức là phải chứng minh:
 2 k 1 k 2 2k 3 
 12 22 32 ... k 1 (*)
 6
Thật vậy. Vế trái của (*) bằng 
 2 k k 1 2k 1 2
12 22 32 ... k 2  k 1 k 1 
 6
 k k 1 2k 1 6 k 1 2 k 1 2k 2 k 6k 6
 6 6
 k 1 2k 2 7k 6 k 1 k 2 2k 3 
 suy ra (*) đúng
 6 6
Theo nguyên tắc quy nạp suy ra đẳng thức (2) đúng n ¥ *
Các ý a) và c) được chứng minh hoàn toàn tương tự
 Từ bài tập trên ta có lời giải khá đẹp cho các bài tập sau đây:
Bài 2. Rút gọn các biểu thức biểu thức 
 n n 1 
a) A 1 3 6 10 ... 
 2
 3
b) B 13 33 53 ... 2n 1 
Giải
 7
 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng 
d) Sk 1.2....k 2.3.... k 1 . ... n n 1 ... n k 1 
Giải 
a) k ¥ * ta có k k 1 k k 2
 Khi k 1 1.2 1 12
 Khi k 2 2.3 2 22
 Khi k 3 3.4 3 32
 Khi k n n n 1 n n2
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
 2 2 2 2
 S2 1 2 3 ... n 1 2 3 ... n 
 n n 1 n n 1 2n 1 
 S 
 2 2 6
 1
 S2 n n 1 n 2 
 3
b) k ¥ * ta có k k 1 k 2 k 3 3k 2 2k
 Khi k 1 1.2.3 13 3.12 2.1
 Khi k 2 2.3.4 23 3.22 2.2
 Khi k 3 3.4.5 33 3.32 2.3
 Khi k n n n 1 n 2 n3 3.n2 2.n
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
 3 3 3 2 2 2
 S3 1 2 ... n  31 2 ... n  21 2 ... n
 n2 n 1 2 n n 1 2n 1 n n 1 
 S 3 2.
 3 4 6 2
 1
 S3 n n 1 n 2 n 3 
 4
 1
Vậy S2 n n 1 n 2 
 3
 1
 S3 n n 1 n 2 n 3 
 4
Từ đó dễ dàng dự đoán được công thức tính tổng S4 và Sk
 1
c) S4 n n 1 n 2 n 3 n 4 
 5
 1
d) Sk n n 1 ... n k 
 k 1
Tổng S4 và Sk được chứng minh theo phương pháp quy nạp.
 9
 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng 
 n n 1 1
 12 22 ... n2 n n 1 n 2 
 2 3
 n n 1 2n 1 
 12 22 ... n2 (đây là đẳng thức (2) đã nêu)
 6
 1
Từ S3 1.2.3 2.3.4 ... n n 1 n 2 n n 1 n 2 n 3 
 4
Ta có k 1 k k 1 k 3 k
Khi k 2 1.2.3 23 2
Khi k 3 2.3.4 33 3
 3
Khi k n 1 n n 1 n 2 n 1 n 1 
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
 S 23 33 ... n 1 3 2 3 ... n 1 
 3 
 S 13 23 33 ... n 1 3 1 2 3 ... n 1 
 3 
 3 3 3 3 n 1 n 2 
 S3 1 2 3 ... n 1 
 2
 1
Mà S3 n n 1 n 2 n 3 suy ra
 4
 3 n 1 n 2 1
13 23 33 ... n 1 n n 1 n 2 n 3 
 2 4
 2
 3 3 3 3 n 1 n 2 
 1 2 3 ... n 1 
 2 
 2
 3 3 3 3 n n 1 
 1 2 3 ... n (đây là đẳng thức (3) đã nêu)
 2 
Bài 4. Tìm công thức thu gọn tính un theon của các dãy số 
 1 1 1 1
a) u ... 
 n 1.2 2.3 3.4 n. n 1 
 1 1 1 1
b) u ... ; 
 n 1.3 3.5 5.7 2n 1 2n 1 
 1 1 1 1
c) u ... 
 n 2 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 n 1 n n n 1
 11