Sáng kiến kinh nghiệm Giải pháp giúp học sinh lớp 11 phát huy khả năng giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN NGUYÊN
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 11 PHÁT HUY KHẢ 
 NĂNG GIẢI BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG
 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
 Người thực hiện: Lại Văn Dũng
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN môn: Toán
 THANH HÓA NĂM 2016
 1
 THANH HÓA NĂM 2016 A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Mỗi một nội dung trong chương trình toán phổ thông đều có vai trò rất quan 
trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Trong quá trình giảng 
dạy ,giáo viên phải đặt ra cái đích là giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản ,hình 
thành phương pháp ,kỹ năng ,kỹ xảo, từ đó tạo được thái độ và động cơ học tập 
đúng đắn. Thực tế dạy và học cho chúng ta thấy còn có nhiều vấn đề cần phải giải 
quyết như học sinh học hình học không gian còn yếu ,chưa hình thành được kỹ 
năng ,kỹ xảo trong quá trình giải toán. Đặc biệt năm học 2015- 2016, là năm học 
thứ hai thực hiện kì thi Quốc gia chung, nội dung đề thi đa phần nằm trong chương 
trình lớp 12, những học sinh sử dụng kết quả môn Toán để xét Đại học- Cao đẳng 
cần phải làm được câu về hình học không gian trong đó có nội dung mà học sinh 
phải chuẩn bị tốt. Đó là câu hỏi về khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và 
khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau. Đây là một câu hỏi tương đối khó. Để 
làm được câu hỏi này đòi hỏi học sinh ngoài việc học tốt kiến thức về hình học 
không gian còn phải biết vận dụng vào bài toán cụ thể và biết quy lạ về quen. 
 Từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học nhiều năm, cùng 
với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy. Tôi đã tổng hợp, khai thác nhiều chuyên 
đề về hình học không gian. Trong SKKN này tôi xin chia sẻ : ‘‘Giải pháp giúp 
học sinh lớp 11 phát huy khả năng giải bài toán khoảng cách trong hình học 
không gian ”.
Đây là một nội dung quan trọng, hay trong chương trình học không gian lớp 11 nên
đã có rất nhiều tài liệu, sách viết cũng như rất nhiều thầy cô giáo và học sinh say 
sưa nghiên cứu và học tập. Tuy nhiên việc đưa ra hướng tiếp cận và quy lạ về quen 
đối với bài toán này nhiều sách tham khảo vẫn chưa đáp ứng được cho người đọc. 
Đặc biệt nhiều em học sinh lớp 11 học hình không gian còn yếu nên việc giải quyết 
bài toán này càng khó khăn hơn. Chính vì vậy việc đưa ra sáng kiến kinh nghiệm 
này là cần thiết, làm các em hiểu sâu hơn về bài toán này và yêu thích hình học 
không gian lớp 11.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
 Qua nội dung đề tài này chúng tôi mong muốn cung cấp cho người đọc nắm 
được cách tiếp cận bài toán, quy lạ về quen, đồng thời giúp cho học sinh một số 
kiến thức, phương pháp và các kỹ năng cơ bản để học sinh có thể giải quyết các bài 
toán, hình thành cho các em thói quen tìm tòi tích lũy và rèn luyện tư duy sáng tạo. 
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
 1 B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 Vấn đề chúng tôi nghiên cứu được dựa trên cơ sở hình học không gian lớp 
11. Khi giải bài tập toán, người học phải được trang bị các kỹ năng suy luận, liên 
hệ giữa cái cũ và cái mới, giữa bài toán đã làm và bài toán mới. Các tiết dạy bài tập 
của một chương phải được thiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến khó nhằm 
phát triển tư duy cho học sinh trong quá trình giảng dạy, phát huy tính tích cực của 
học sinh. Hệ thống bài tập giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm bắt những kiến 
thức cơ bản nhất, và dần dần phát triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng các 
kiến thức đã học một cách linh hoạt vào giải toán và trình bày lời giải. Từ đó học 
sinh có hứng thú và động cơ học tập tốt .Trong quá trình giảng dạy hình học không 
gian ở lớp 11 của trường THPT Nguyễn Xuân Nguyên ,tôi thấy đa phần học sinh 
rất lúng túng, kỹ năng giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian còn yếu 
Do đó cần phải cho học sinh tiếp cận bài toán một cách dễ dàng, quy lạ về quen, 
thiết kế trình tự bài giảng hợp lý giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm được kiến 
thức cơ bản ,hình thành phương pháp ,kĩ năng ,kĩ xảo và lĩnh hội lĩnh kiến thức mới 
,từ đó đạt kết quả cao nhất có thể được trong kiểm tra ,đánh giá .
II. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
 Hình học là một phần kiến thức khó đối với học sinh. Học sinh rất nhanh 
quên và không vận dụng được những kiến thức đã học vào giải toán. Trong những 
năm gần đây, kỳ thi ĐH-CĐ và bây giờ là kỳ thi THPT Quốc gia luôn có câu về 
hình học không gian trong đó có bài toán khoảng cách về hình học không gian lớp 
11. Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán 
khoảng cách trong hình học không gian lớp 11, người giáo viên cần tạo cho học 
sinh thói quen tiếp cận bài toán, khai thác các yếu tố đặc trưng hình học của bài 
toán để tìm lời giải.Trong đó việc hình thành cho học sinh kỹ năng quy lạ về quen. 
 Chính vì vậy đề tài này đưa ra giúp giáo viên hướng dẫn bài toán khoảng 
cách cho học sinh với cách tiếp cận dễ hơn, giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về bài 
toán khoảng cách trong hình học không gian. Từ đó giúp học sinh có điều kiện 
hoàn thiện các phương pháp và rèn luyện tư duy sáng tạo của bản thân ,chuẩn bị tốt 
cho kỳ thi tốt nghiệp ,Cao đẳng ,Đại học .
 Nội dung của đề tài đáp ứng một phần rất nhỏ trong chương trình, song 
chúng tôi nhận thấy rằng mỗi bài toán là một ý tưởng vận dụng kiến thức hình học 
không gian. Vậy tôi mong muốn các đồng nghiệp và học sinh ngày càng vận dụng 
tốt các kiến thức hình học không gian để đưa ra những giải pháp nhằm giải quyết 
bài toán khoảng cách trong không gian một cách chính xác và nhanh nhất.
 3 1 1 1
 - 
 AH 2 AB2 AC 2
 - sinB= AC , cosB= AB , tanB= AC
 BC BC AB
2. Các giải pháp
2.1 Giải pháp 1:
Ban đầu cho học sinh tiếp cận bài tập khoảng cách trong hình học không gian lớp 
11 ở dạng đơn giản để học sinh hiểu được thế nào là khoảng cách từ một điểm đến 
mặt phẳng, khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); AB=a và 
SB=a 5 . Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC).
Bài làm: 
Ta có SA  (ABC) nên d(S,(ABC))=SA S
Tam giác SAB vuông tại A, do đó áp
dụng định lí pitago ta được:
SB2=SA2+AB2 SA2=SB2-AB2=5a2-a2=4a2
 SA=2a. Vậy d(S,(ABC))=SA=2a
 A C
 B
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có AB=a, góc giữa A’B và 
mặt phẳng (ABC) bằng 60 0. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB 
và B’C’.
Bài làm:
Ta có (ABC)//(A’B’C’) nên d(AB,B’C’)=AA’ A’ C’
 
Tam giác A’AB vuông tại A nên AA’=AB.tan ABA' B’
=a.tan600=a 3
Vây d(AB,B’C’)=AA’=a 3 .
 A C
 B
Như vậy với những ví dụ đơn giản về khoảng cách ,học sinh sẽ hiểu sâu hơn về bài 
toán này. Từ đó tạo bước đệm ban đầu để giải quyết bài toán ở mức độ khó hơn.
2.2 Giải pháp 2:
 5 1 1 4 a 15
 hay AH 
 AH 2 3a 2 3a 2 5
 a 15
Vậy d(A,(SBC)) .
 5
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) , tam giác ABC vuông tại A , AB=a, 
AC=a 3 . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bẳng 60 0. Tính khoảng 
cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a.
Bài làm: 
 S
Kẻ AE  BC và AH  SE
 AH  (SBC) d(A,(SBC)) AH
 1 1 1 1 1 1
Ta có H 
 AH 2 SA2 AE 2 SA2 AB 2 AC 2
với AB=a, AC=a 3 , SA= a 3 nên
 A C 
 1 1 1 1 5 a 15
 hay AH E 
 AH 2 3a 2 a 2 3a 2 3a 2 5
 a 15
Vậy d(A,(SBC)) .B
 5
2.3 Giải pháp 3:
Là vận dụng kiến thức “ Nếu AM//(P) thì d(A,(P))=d(M,(P))” để đưa bài toán 
khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng về “bài toán gốc”.
Như vậy trong tình huống này, giáo viên cần cho học sinh nắm kỹ kiến thức:
“ Nếu AM//(P) thì d(A,(P))=d(M,(P))” để quy lạ về quen -từ bài toán khoảng cách 
đã cho về “bài toán gốc” đã biết. Do đó trước tiên, giáo viên cần cho học sinh phát 
hiện được AM//(P) .
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB là 
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ 
điểm A đến mặt phẳng (SCD) theo a. S
Bài làm:
Gọi H là trung điểm của AB SH  (ABCD)
Ta có AH//(SCD) nên d(A,(SCD))=d(H,(SCD))
Gọi E là trung điểm của CD, kẻ HF  SE B
 HF  (SCD) d(H,(SCD))=HF F C
 d(A,(SCD))=HF H E
 1 1 1 7
Ta có = A D 
 HF 2 SH 2 HE 2 3a 2
 7 Tiếp theo học sinh phải chỉ được giao điểm của AH và (SBD) để quy bài toán đã 
cho về “ bài toán gốc”.
 d(A,(SBD)) BA
Ta có AH  (SBD) B nên 2 d(A,(SBD))=2d(H,(SBD)).
 d(H,(SBD)) BH
Học sinh áp dụng cách giải của bài toán gốc để tìm khoảng cách từ điểm H đến 
mp(SBD)
Kẻ HK  BD , HE  SK HE  (SBD) d(H,(SBD)) HE 
 1 1 1 a
 d(A,(SBD)) 2HE . Ta có HE . 
 HE 2 SH 2 HK 2 3
 2a
Vậy d(A,(SBD)) 
 3
Ví dụ 8: ( Trích từ đề thi ĐH khối B môn toán năm 2014)
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của 
A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và 
mặt đáy bằng 600. Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’).
Bài làm:
A là giao điểm của HB và mp(ACC’A’) 
nên d(B,(ACC’A’))=2d(H,(ACC’A’))
Gọi I là hình chiếu vuông góc của H trên 
AC, K là hình chiếu vuông góc của H trên 
A’I d(H,(ACC’A’))=HK
 1 1 1 52
Ta có 
 HK 2 HI 2 HA'2 9a 2
 3 13a
 HK . 
 26
Vậy d(B,(ACC’A’))= 3 13 a 
 13
 9 S 
 d(D,(SEC)) MD 1
Ta có DM=a 
 d(I,(SEC)) MI 2
 1
 d(SC,DB)= d(I,(SEC))
 2
Như vậy , chúng ta đã đưa bài toán 
khoảng cách của hai đường thẳng chéo 
nhau SC và DB về “bài toán gốc”
 A B E
 I
 D C 
 M
Lưu ý trong trường hợp đặc biệt hai đường thẳng chéo nhau mà vuông góc với 
nhau thì chúng ta có cách xác định khoảng cách như sau : Tìm đoạn vuông góc 
chung.
Ví dụ 11: ( Trích từ đề thi ĐH môn toán khối A năm 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; gọi M,N lần lượt là 
trung điểm của AB và AD;H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với 
(ABCD) và SH=a 3 .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Hướng dẫn:
 DM  CN mà DM  SH DM  SC
 Do đó kẻ HK  SC thì d(DM,SC)=HK
 Tam giác SHC vuông tại H nên:
 1 1 1 2 3a
 HK = .
 HK 2 HS 2 HC 2 19
 Vậy d(DM,SC)=HK= 2 3a .
 19
 Như vậy qua ví dụ 11, chung ta thấy DM  SC 
 nên xác định đoạn vuông góc chung một cách dễ 
 dàng là HK.
 11