Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh lớp 11 tiếp cận và giải một số bài tập xác suất

 MỤC LỤC
Phần A Mở đầu 2
 I. Lý do chọn đề tài 2
 II.Mục đích nghiên cứu 2
 III. Đối tượng nghiên cứu 2
 IV. Phương pháp nghiên cứu. 2
Phần B Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2
 I. Cơ sở lý luận 2
 II. Thực trạng vấn đề trước khi sử dụng sáng kiến kinh nghiệm 3
 III. Các biện pháp tiến hành 3
 1. Cơ sở lý thuyết 3
 2. Hướng dẫn học sinh tiếp cận và giải một số bài toán xác suất 5
 2.1. Những bài toán xác suất có không gian mẫu được môt tả cụ 
 5
 thể
 2.2. Những bài toán chọn vật (người...) không liên quan đến sắp 
 6
 xếp
 2.3 Những bài toán liên quan đến sắp xếp 12
 2.4. Những bài toán sử dụng quy tắc nhân 14
 2.5.Bài tập tự luyện
 18
 IV.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 19
Phần C Kết luận 20
 I. Kết luận 20
 II. Kiến nghị 20
 Tài liệu tham khảo 21
 1 - Phần xác suất trong chương II "Tổ hợp và xác suất" lớp 11 phân ban có 
mục đích trang bị cho học sinh các khái niệm cơ bản như: không gian mẫu, biến 
cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối, đồng thời cũng đưa ra các 
quy tắc tính xác suất để vận dụng vào các bài toán thực tiễn.
 - Để có thể học tốt xác suất học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản 
của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài 
toán và tình huống cụ thể. Trên thực tế học sinh khó hiểu được các khái niệm và 
các định nghĩa, trong khi sách tham khảo về nội dung này cũng không có nhiều, 
khai thác kỹ hơn thì học sinh lại phải đọc thêm nhiều lý thuyết ngoài sách giáo 
khoa. Thực tế đó đòi hỏi giáo viên phải có những phương pháp dạy hợp lý và 
phát huy tính sáng tạo của học sinh.
 II. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
 Xác suất là khái niệm mới và khó nên học sinh lười nghiên cứu, tuy ứng 
dụng thực tế của nó rất lớn nhưng học sinh học trong thời gian ngắn nên việc áp 
dụng thành thạo các bài tập cơ bản đối với nhiều học sinh chưa được tốt. 
Qua thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu thấu đáo các khái 
niệm cơ bản như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, 
biến cố đối, các em chỉ biết giải bài toán xác suất trong một số kiểu bài tập 
quen thuộc độc lập. Đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc để 
giải quyết các tình huống cụ thể.
III. Các biện pháp đã tiến hành giải quyết vấn đề.
1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
a. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu:
 Một phép thử ngẫu nhiên (ký hiệu T) là một thí nghiệm hay một hành 
động mà có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau, kết quả 
của nó không dự đoán trước được và có thể xác định được tập hợp tất cả các kết 
quả có thể xảy ra.
 Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là không gian 
mẫu của phép thử, ký hiệu Ω.
b. Xác suất các biến cố:
 Định nghĩa : Giả sử phép toán thử T có không gian mẫu Ω là một tập hợp 
hữu hạn và kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với 
phép thử T và ΩA là tập hợp các kết quả mô tả A thì xác suất của A là một số ký 
hiệu là P(A), được xác định bởi công thức:
 
 P(A) A
 
 trong đó  A và  lần lượt là số phần tử của tập ΩA và Ω 
 - Biến cố chắc chắn (luôn xảy ra khi thực hiện các phép thử T) có xác suất 
bằng 1.
 3 Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là:
 P(AB) P(A).P(B)
 Một cách tổng quát : Cho k biến cố A1, A2, , Ak độc lập thì ta có: 
 P(A1 A2...Ak ) P(A1).P(A2 )...P(Ak )
2. HƯỚNG DẪN HỌC SINH TIẾP CẬN VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN 
XÁC SUẤT:
2.1.Những bài toán xác suất có không gian mẫu được mô tả cụ thể :
 Để học sinh làm quen với khái niệm không gian mẫu và biến cố trước hết 
yêu cầu học sinh nhắc lại các khái niệm về phép thử, không gian mẫu, biến cố, 
tập hợp các kết quả thuân lợi của biến cố, công thức xác suất cổ điển sau đó 
phân tích và hướng dẫn các em làm bài tập sau:
Ví dụ 1: Gieo một quân súc sắc, tính xác suất để số chấm trên mặt suất hiện chia 
hết cho 3.
Hướng dẫn học sinh:
Phép thử T: ‘‘Gieo một quân con súc sắc’’
Không gian mẫu: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} gồm 6 phần tử
Xét biến cố A: Số chấm trên mặt suất hiện chia hết cho 3.
Tập các kết quả thuận lợi của A : ΩA= {3; 6} gồm 2 phần tử.
Xác suất của biến cố A là:
 P(A) = = = .
Ví dụ 2: Gieo một con xúc sắc 2 lần liên tiếp. Tính xác suất để tổng số chấm 
trên mặt xuất hiện của hai con xúc sắc bằng 8.
Hướng dẫn học sinh:
Phép thử T: ‘‘Gieo đồng thời hai con xúc sắc’’
Không gian mẫu: Ω = {(1,1); ...(1,6);....;(6,1);...(6,6)} gồm 6.6=36 phần tử
Xét biến cố A: tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con xúc sắc bằng 8.
Tập các kết quả thuận lợi của A : Ω A = {(2,6); (3,5); (4;4); (5,3); (6;2)} 
  A 5
 Xác suất của A: P(A) = 
Bài 3: Có hai hộp, mỗi hộp đựng 6 thẻ được đánh số từ 1 đến 6. Rút ngẫu nhiên 
mỗi hộp một thẻ. Tính xác suất để tích hai số ghi trên 2 thẻ được rút ra là một số 
chẵn.
 Tôi dẫn dắt học sinh tìm lời giải:
Phép thử T: ‘‘Rút ngẫu nhiên mỗi hộp một thẻ’’
Không gian mẫu: Ω = {(1,1); ...(1,6);....;(6,1);...(6,6)} gồm 6.6=36 phần tử
Xét biến cố A: "Tích hai số ghi trên 2 thẻ được rút ra là một số chẵn".
Tập các kết quả thuận lợi của A : 
ΩA = {(1,2); (1,4); (1;6); (2,1); (2;2); (2,3); (2;4); (2;5); (2,6);...; (6;6)} . Đếm tất 
cả các kết quả liệt kê được ta được | ΩA | = 27
 5 Chọn cho học sinh giải ví dụ sau:
Ví dụ 1: Một hộp đựng 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Chọn 
ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. tính xác suất để :
 a. Chọn được 1 viên bi xanh và 1 viên bi vàng.
 b. Chọn được 2 viên bi cùng màu.
Hướng dẫn học sinh: Do học sinh mới tiếp cận với bài toán tính xác suất, nên 
cần trang bị cho học sinh một số kỹ năng làm bài, thông qua bài tập này cần 
trang bị cho các em biết cách tìm số phần tử của không gian mẫu và số kết quả 
thuận lợi cho biến cố, vì vậy, cần đưa ra hệ thống các câu hỏi:
- Phép thử ở đây là gì? (câu trả lời mong đợi: Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp 
có 15 viên bi), 
- Số phần tử của không gian mẫu là tổng số các kết quả có thể xảy ra? Hay bằng 
số cách chọn 2 viên bi từ hộp, vậy hãy tính số phần tử của không gian mẫu? 
 2
(Câu trả lời mong đợi: C 15 ).
- Biến cố ở câu a của bài toán là biến cố nào? (Câu trả lời mong đợi: Chọn được 
1 viên bi xanh và 1 viên bi vàng).
 1 1
- Số cách chọn bằng bao nhiêu? (C 5 . C 4 ).
 1 1
- Số kết quả thuận lợi cho biến cố bằng bao nhiêu? Tại sao ? (bằng C 5 . C 4 , vì 
số kết quả thuận lợi cho biến cố bằng số kết quả làm cho biến cố xảy ra). 
- Biến cố ở câu b là biến cố nào? (Chọn được 2 viên bi cùng màu)
- Biến cố B xảy ra khi nào? (Khi 2 viên bi cùng màu xanh hoặc hai viên bi cùng 
màu đỏ, hoặc 2 viên bi cùng màu vàng).
 2 2
 - Số kết quả thuận lợi cho biến cố bằng bao nhiêu? Tại sao ? (bằng C 5 + C 6 + 
 2
C 4 , vì số kết quả thuận lợi cho biến cố bằng số kết quả làm cho biến cố xảy ra). 
Lời giải:
Gọi A là biến cố "Chọn được 1 viên bi xanh và 1 viên bi vàng".
Gọi B là biến cố "Chọn được 2 viên bi cùng màu". 
 2
 Số phần tử của không gian mẫu là: | Ω |=C 15 = 105 
 1 1
 a. Số phần tử của ΩA là: | ΩA | = C 5 . C 4 = 20
 Xác suất của biến cố A là P(A) = = 
 2 2 2
 b. Số phần tử của ΩB là: | ΩB | = C 5 + C 6 + C 4 = 31
 B
 Xác suất của biến cố B là P(B) = 
 
Ví dụ 2: Có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 6 người. Tìm xác 
suất để chọn được cả nam và nữ, đồng thời số nam nhiều hơn số nữ.
Phân tích bài toán: Mục đích ở bài toán này là giúp các em biết cách phân chia 
trường hợp dựa trên tính chất của các phần tử lấy ra. Cần hướng các em đến việc 
tách số 6 thành tổng 2 số khác 0, vẽ bảng phân chia các trường hợp đảm bảo số 
lượng của nam nhiều hơn số nữ.
Cụ thể: 6 = 5 + 1 = 4 + 2 = 3 + 3
Bảng 
 7 b. Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra khác màu.
Phân tích bài toán: Mục đích của ví dụ này là mong muốn học sinh tránh bị 
 k
nhầm lẫn khi sử dụng công thức C n . Trước bài toán này nhiều học sinh sẽ tính 
 2
số phần tử của không gian mẫu | Ω |= C 20 , lý do các em bị sai là nghĩ rằng 2 
quả cầu được lấy ra từ 20 quả cầu ban đầu. Cần phân tích cho học sinh thấy 2 
quả cầu được lấy ra không phải từ 1 tập hợp các quả cầu, mà lấy 1 quả từ 10 quả 
của hộp 1 và lấy ra 1 quả từ 10 quả từ hộp 2, nên số phần tử của không gian mẫu 
 1 1
| Ω |= C 10 . C 10 . Thứ 2 là khi tính số phần tử thuận lợi cho biến cố, học sinh 
sẽ lúng túng không biết tính như thế nào, cần phân tích cho học sinh thấy là để 
xảy ra biến cố ở câu a, cần lấy ra 1 quả cầu trắng từ 6 quả trắng của hộp 1 và lấy 
ra 1 quả trắng từ 4 quả trắng của hộp 2; để xảy ra biến cố ở câu b thì cần lấy cầu 
sao cho; nếu quả lấy ra ở hộp 1 là màu trắng, thì quả lấy ra ở hộp 2 là màu đỏ; 
nếu quả lấy ra ở hộp 1 là màu đỏ, thì quả lấy ra ở hộp 2 là màu trắng.
Lời giải:
 Gọi A là biến cố "lấy được 2 quả cầu đều màu trắng"
 Gọi B là biến cố "2 quả lấy ra khác màu".
 Mỗi kết quả của phép thử là 1 cách lấy ra 1 quả cầu từ hộp thứ nhất, và 1 quả 
 1 1
cầu từ hộp thứ 2. Số phần tử của không gian mẫu là: | Ω |= C 10 . C 10 = 100 
a. Để hai quả cầu lấy ra đều màu trắng cần lấy 1 quả trắng từ hộp 1 và 1 quả 
 1 1
trắng từ hộp 2. Số phần tử của ΩA là: | ΩA | = C 6 . C 4 = 24 
 Xác suất của biến cố A là P(A) = = 0.24
b. Có 2 cách lấy được 2 quả cầu khác màu: lấy 1 quả đỏ từ hộp 1 và 1 quả trắng 
từ hộp 2; hoặc lấy 1 quả trắng từ hộp 1 và 1 quả đỏ từ hộp 2. 
 1 1 1 1
 Số phần tử của ΩB là: | ΩB | = C 4 . C 4 + C 6 . C 6 = 60
 Xác suất của biến cố B là: P(B) = = 0.6
Ví dụ 5: Trường THPT Nông Cống I có 15 Đoàn viên ưu tú, trong đó khối 12 
có 3 nam và 3 nữ; khối 11 có 2 nam và 3 nữ; khối 10 có 2 nam và 2 nữ. Đoàn 
trường chọn ra một nhóm gồm 4 học sinh là Đoàn viên ưu tú để tham gia lao 
động Nghĩa trang liệt sỹ. Tính xác suất để nhóm được chọn có cả nam và nữ, 
đồng thời mỗi khối có 1 học sinh nam.
Lời giải:
Gọi A là biến cố "chọn được nhóm có cả nam và nữ, đồng thời mỗi khối có 1 
học sinh nam".
 4
 Số phần tử của không gian mẫu là: | Ω |= C 15 = 1365
Biến cố A xảy ra khi:
- Chọn 1 nam khối 12, 1 nữ khối 12, 1 nam khối 11, 1 nam khối 10
- Chọn 1 nam khối 12, 1 nam khối 11, 1 nữ khối 11, 1 nam khối 10;
- Chọn 1 nam khối 12; 1 n1m khối 11; 1 nam khối 10, 1 nữ khối 10.
 Số phần tử của ΩA là:
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 | ΩA | = C 3 . C 3 . C 2 . C 2 + C 3 .C 2 . C 3 . C 2 + C 3 .C 2 .C 2 .C 2 = 
96 
 9