Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh lớp 11 tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng cách tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng

 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
 Trong chương trình Toán lớp 11 hiện nay, phần hình học không gian làm cho 
phần lớn học sinh đều cảm thấy chán nản, khó hiểu khi tiếp xúc với môn học đòi 
hỏi nhiều kỹ năng và tư duy trừu tượng cao này. Một trong những khó khăn mà học 
sinh hay gặp phải là sự khác nhau giữa hình phẳng và hình học không gian. Khi xét 
về quan hệ vuông góc và các bài toán liên quan, đối với hình học phẳng, hình vẽ 
mang tính trực quan, hai đường thẳng vuông góc thì cắt nhau. Nhưng đối với các 
bài toán về quan hệ vuông góc trong không gian, học sinh phải dựa trên các định 
nghĩa, định lí và hình biểu diễn để tìm lời giải nên học sinh gặp rất nhiều khó khăn. 
Một trong các bài toán quan trọng về quan hệ vuông góc trong không gian là bài 
toán về khoảng cách, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao 
đẳng, đề thi học sinh giỏi và đề thi THPT quốc gia trong những năm gần đây. Mặc 
dù vậy, đây lại là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có trí 
tưởng tượng hình không gian phong phú, có khả năng tổng hợp kiến thức cả về 
quan hệ song song lẫn quan hệ vuông góc trong không gian, cả về các bài toán định 
tính, định lượng trong hình học phẳng. Xuất phát từ những lí do trên tôi lựa chọn đề 
tài sáng kiến kinh nghiệm: “Giúp học sinh lớp 11 tính khoảng cách từ một điểm 
đến một mặt phẳng bằng cách tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
 Qua thực tế giảng dạy, với một số năm kinh nghiệm, tôi đã rút ra được một số 
kinh nghiệm nhỏ trong việc hướng dẫn, giúp học sinh giải các bài toán tính khoảng 
cách từ một điểm đến một mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo 
nhau. Một thao tác hết sức quan trọng mà học sinh cần phải có đó là xác định đúng 
hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng cho trước. Vì vậy, trong bài viết này, 
tôi tập trung vào việc giúp học sinh xác định hình chiếu của một điểm lên một mặt 
phẳng từ đó tính được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và khoảng 
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 Trong đề tài này, đối tượng nghiên cứu của tôi là cách tìm hình chiếu của một 
điểm lên một mặt phẳng.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
 Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
- Phương pháp điều tra giáo dục.
- Phương pháp quan sát sư phạm.
- Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết.
- Phương pháp phân loại và hệ thống hóa lý thuyết. d(M,(P)) MN
- Nếu MI  (P) N thì .
 d(I,(P)) IN
 M
 I
 N
 H K
 P
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
 Thực trạng dạy học hình học không gian lớp 11 nói chung và bài khoảng cách 
nói riêng ở trường THPT được thể hiện ở một số điểm sau:
 Thứ nhất: Đối với giáo viên, để giúp học sinh nắm vững được lý thuyết và vận 
dụng được lý thuyết vào giải quyết các bài toán về khoảng cách thì thường cần mất 
nhiều thời gian và công sức. Trong những năm gần đây, trong các đề thi tuyển sinh 
đại học, cao đẳng và đề thi THPT quốc gia bài toán khoảng cách đều được xuất 
hiện và là nội dung khó, có tính phân loại cao. Trong khi đó, nó chỉ chiếm từ 5% - 
10% tổng số điểm của cả bài thi. Vì vậy, nhiều giáo viên còn có tâm lý xem nhẹ, 
ngại khi dạy bài toán này.
 Thứ hai: Đối với học sinh, để có thể làm tốt được các bài toán về khoảng cách 
đòi hỏi các em phải nắm chắc được các kiến thức trong hình học phẳng như chứng 
minh hai tam giác bằng nhau, định lý Pi-ta-go, các hệ thức lượng trong tam giác 
vuông, định lý cosin... cũng như khả năng tư duy trừu tượng, quan sát hình biểu 
diễn, tổng hợp, phân tích các định nghĩa, định lí... trong hình học không gian. 
Trong khi đó, trường tôi lại nằm trên vùng kinh tế thuần nông, hầu hết gia đình các 
em đều có hoàn cảnh khó khăn nên sự quan tâm của gia đình đối với việc học tập 
của các em còn nhiều hạn chế, chất lượng đầu vào còn thấp. Chính vì vậy, đối với 
hầu hết học sinh, thậm chí đối với một số học sinh khá giỏi còn có tâm lý chán nản 
khi học về bài toán khoảng cách.
 Thứ ba: Bài “Khoảng cách” trong sách giáo khoa lớp 11 chương trình cơ bản 
được phân phối trong ba tiết, trong đó hai tiết lí thuyết và một tiết bài tập. Với một 
thời lượng ít như vậy, giáo viên khó có thể vừa giảng dạy lí thuyết vừa giúp học 
sinh vận dụng lí thuyết vào giải bài tập. Các ví dụ cũng như các bài toán đưa ra 
trong sách giáo khoa mang tính tổng quan, giới thiệu chưa rõ ràng, chi tiết theo 
từng bước cụ thể nên học sinh khó tiếp thu, cảm thấy lúng túng, có thể các em hiểu 
cách giải nhưng không biết nên bắt đầu từ đâu và áp dụng thế nào để giải các bài 
toán. - Bước 3 : S
 SA  (ABC) và AI  BC C/m BC  (SAI) 
 C
 A
 I
- Bước 4 : Trong mp(SAI), kẻ AH  SI tại H. B
 S
 H
 C
 A
 I
 B
- Bước 5:
 H là hình chiếu của A lên mp(SBC)
 BC  (SAI) và AH  SI C/m AH  (SBC) 
 d(A,(SBC)) = AH
 S
 H
 C
 A
 I
 B
 Giải:
 Trong mp(ABC), kẻ AI  BC tại I. Ta lại có : SA  (ABC) SA  BC 
 BC  (SAI).
 Trong mp(SAI), kẻ AH  SI tại H. HM CH
 (§Þnh lÝ Ta-lÐt)
 AD CA
 HM 3 3 3a 3
 HM AD 
 AD 4 4 4
 Tam giác SAC vuông tại S có SH là đường cao nên :
 3 3 a 3
SH2 AH.CH AC2 a 2 SH 
 16 4 2
 Ta lại có, tam giác SHM vuông tại H có HN là đường cao nên :
 1 1 1 52 3a 39 3a 39
 HN d(H,(SCD)) 
 HN2 SH2 HM2 27a 2 26 26
Bài 2(A-2013) : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, A· BC 300 . 
SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a 
khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
Phân tích hướng giải :
 Vì (SBC)  (ABC),(SBC)  (ABC) BC nên nếu trong mp(SBC) ta kẻ 
đường thẳng vuông góc với BC thì đường thẳng đó sẽ vuông góc với mp(ABC). Ta 
lại có, SBC là tam giác đều nên hình chiếu của S lên mp(ABC) là trung điểm H của 
BC.
 Vì SH  (ABC) nên ta sẽ tìm cách để tính khoảng cách từ C đến mp(SAB) 
thông qua khoảng cách từ H đến mp(SAB) bằng cách tìm mối liên hệ giữa chúng. 
 Ta có: CH  (SAB) B nên :
 d(C,(SAB)) BC d(C,(SAB))
 2 d(C;(SAB)) 2d(H,(SAB)) .
 d(H,(SAB)) BH d(H,(SAB))
 Như vậy, bài toán lúc này được chuyển về bài toán cơ bản. Vì SH  (ABC) 
nên ta chọn mp(ABC) là mặt phẳng chứa H sao cho H là hình chiếu của S lên 
mp(ABC) với S (SAB). Giao tuyến của (SAB) và (ABC) là đường thẳng AB. 
Trong mp(ABC), kẻ HK  AB tại K. Ta chứng minh được AB  (SHK). Trong 
mp(SHK), kẻ HI  SK tại I. Từ đó ta cũng chứng minh được HI  (SAB) I là 
hình chiếu của H lên mặt phẳng (SAB) hay d(H ;(SAB))=HI. Từ đó suy ra 
d(C,(SAB)).
 Giải
 Gọi H là trung điểm của BC. Tam giác SBC đều nên SH  BC. Ta lại có, 
 (SBC)  (ABC),(SBC)  (ABC) BC SH  (ABC). 
 Vì CH  (SAB) B nên :
 d(C,(SAB)) BC d(C,(SAB))
 2 d(C;(SAB)) 2d(H,(SAB))
 d(H,(SAB)) BH d(H,(SAB)) là đường thẳng AD. Trong mp(ABCD), kẻ HK  AD tại K, ta chứng minh 
 AD  (SHK) . Trong mp(SHK), kẻ HJ  SK tại J. Chứng minh HJ  (SAD) . Suy 
ra, J là hình chiếu của H lên mp(SAD) hay d(H,(SAD)) = HJ và suy ra d(B,(SAD)).
 Giải:
 Ta có : (SAC)  (ABCD), (SAC)  (ABCD) AC,trong mp(SAC) kẻ 
SH  AC tại H SH  (ABCD).
 S
 Vì BC//AD nên BC//(SAD). Suy ra: 
d(B,(SAD)) = d(C,(SAD)).
 Vì CH  (SAD) Anên:
 d(C,(SAD)) AC
 J
 d(H,(SAD)) AH
 AC A K D
 d(C;(SAD)) d(H,(SAD))
 AH H
 AC
 d(B,(SAD)) d(H,(SAD))
 AH B C
 SA.SC a 3 a AC
SA AC2 SC2 a,SH ,AH SA2 SH2 4
 AC 2 2 AH
 d(B,(SAD)) 4d(H,(SAD)) .
 Trong mp(ABCD), kẻ HK  AD tại K. Ta có: SH  (ABCD) SH  AD . 
Suy ra AD  (SHK).
 Trong mp(SHK), kẻ HJ  SK tại J. Mặt khác, AD  (SHK) AD  HJ . Do 
đó, HJ  (SAD) hay J là hình chiếu của H lên mp(SAD) d(H,(SAD)) HJ
 a 2
 Tam giác AHK vuông cân tại K nên HK=AHsin450 = . 
 4
 Vì SH  (ABCD) nên SH  HK . Suy ra SHK vuông tại H. 
 Tam giác SHK vuông tại H có HJ là đường cao nên :
 1 1 1 28 a 21 a 21
 HJ d(H,(SAD)) 
 HJ2 SH2 HK2 3a 2 14 14
 2a 21
 d(B,(SAD)) .
 7
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 
a, AA’ = 2a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và 
A’C. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) theo a.
Phân tích hướng giải :
 Vì A' IC nên A' (IBC) . Ta lại có: AA'  (ABC) nên bài toán đã cho được b. Bài toán mở rộng tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thông 
qua tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Bài 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu 
của A’ lên mặt đáy (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC, góc giữa (ABB’A’) 
và mặt đáy bằng 600. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC’.
Phân tích hướng giải:
 Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó, CI  AB (do ABC đều). Ta chứng minh 
được A'I  AB . Suy ra góc giữa (ABB’A’) và (ABC) là góc A· 'IC 600 . 
 Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC’ ta cần xác định một 
phẳng chứa AB và song song với CC’ hoặc một mặt phẳng chứa CC’ và song song 
với AB. Vậy để giải quyết bài toán này, chúng ta nên chọn hướng giải quyết nào?
 Vì CC’//BB’ nên CC’//(ABB’A’). Mặt khác, AB  (ABB'A') nên d(AB; CC’) 
= d(CC’; (ABB’A’)) = d(C; (ABB’A’)). 
 Ở đây vì sao ta lại chọn: d(AB; CC’) = d(C; (ABB’A’)) mà không phải là 
d(C’ ;(ABB’A’)) hay khoảng cách từ một điểm khác đến mp(ABB’A’)? Vì 
 A'O  (ABC),CO  (ABB'A') I nên ta chọn điểm C, rồi thay cho việc tính 
khoảng cách từ điểm C đến mp(ABB’A’) ta tính khoảng cách từ điểm O đến 
mp(ABB’A’) bằng cách tìm mối liên hệ giữa chúng và đưa bài toán đã cho về bài 
toán cơ bản.
 Giải
 Gọi I là trung điểm của AB. Ta có: CI  AB (do ABC là tam giác đều). Ta 
lại có: A'O  (ABC) A'O  AB. Do đó: AB  (A'OI) A'I  AB . Suy ra góc 
giữa (ABB’A’) và (ABC) là góc A· 'IC 600 . 
 Ta có: CC’//BB’ nên CC’//(ABB’A’). Mặt khác, AB  (ABB'A') nên 
d(AB; CC’) = d(CC’; (ABB’A’)) = d(C; (ABB’A’)). 
 Vì CO  (ABB'A') I nên : A' C'
 d(C,(ABB'A')) IC
 d(O;(ABB'A')) IO B'
 d(C,(ABB'A'))
 3
 d(O;(ABB'A')) H
 d(C,(ABB'A')) 3d(O,(ABB'A'))
 Trong mp(A’OI), kẻ OH  A'I 
tại H. Ta lại có : AB  (A'OI) A C
 O
 AB  OH . Do đó: OH  (ABB'A') I
 H là hình chiếu của O lên mp (ABB’A’) B
 d(O,(ABB’A’)) = OH d(C,(ABB’A’)) = 3OH.