Sáng kiến kinh nghiệm Góp phần rèn luyện kỹ năng giải bài tập Hình học không gian cho học sinh lớp 11 thông qua một số dạng bài tập cơ bản

 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN 
 TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LÊ VIẾT THUẬT 
 -------------o0o------------ 
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 Đề tài: 
 GÓP PHẦN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP 
 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 11 
 THÔNG QUA MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN 
 Môn: TOÁN 
 818 173 
 Người thực hiện: Mai Thị Khánh Xuân 
 Năm học 2019 - 2020 
   1. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài 
 +) Nghiên cứu cơ sở lý luận về kỹ năng giải toán. 
 +) Nghiên cứu kỹ năng giải một số dạng bài tập toán Hình học không gian 
lớp 11. 
 +) Bài tập theo chủ đề nhằm rèn luyện một số kỹ năng giải toán Hình học 
không gian chương trình hình học 11 THPT cho học sinh, góp phần nâng cao 
chất lượng dạy học môn Toán ở trường phổ thông. 
2. Đối tượng, phạm vị nghiên cứu 
 Quá  trình  dạy  học  các  tiết  luyện  tập  và  ôn  tập  chương  trình  Hình  Học 
không gian cho học sinh lớp 11 . 
3. Phương pháp nghiên cứu 
3.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận 
- Khái niệm 
 + “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay các khái niệm 
đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự 
vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”. 
 + “Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng hiểu biết có được ở 
bạn để đạt được mục đích của mình, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ 
thói quen nhất định, kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp”. 
 + “Kỹ năng là khả  năng  vận dụng những  kiến  thức thu  nhận trong một 
lĩnh vực nào đó vào thực tế”. 
 + “Trong Toán học kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng 
minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”. 
 Như vậy, dù phát biểu dưới góc độ nào, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến 
thức (khái niệm, cách thức, phương pháp) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra. Nói 
đến kỹ năng là nói đến cách thức thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành 
động để đạt được mục đích đã định. Kỹ năng chính là kiến thức trong hành động. 
3.2. Phương pháp điều tra quan sát 
 - Dạy Hình học không gian trong chương trình Toán THPT có hai quyển 
SGK: SGK Hình học 11 nâng cao và SGK Hình học 11. Ở trường THPT Lê Viết 
Thuật: dạy học sinh theo SGK Hình học 11 dành cho học sinh học ban cơ bản . 
  2 * Về kỹ năng: Đề tài có ý tưởng thông qua một số dạng bài tập cơ bản 
nhằm rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng cơ bản sau: 
 - Kỹ năng vẽ hình, dựng thiết diện. 
 - Kỹ năng chứng minh các quan hệ giữa các đối tượng hình học được học. 
 - Kỹ năng tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng. 
 - Kỹ năng chuyển đổi từ hình học tổng hợp sang công cụ véc tơ. 
  4 đòi hỏi học sinh phải hiểu đề bài và biết cách vẽ hình biểu diễn khi học hình học 
không gian. Người dạy qua các bài tập hướng dẫn học sinh vẽ hình biểu diễn 
qua đó  hình  thành  kỹ  năng  vẽ hình  cho học  sinh,  thao  tác  đầu  tiên để đi đến 
bước tiếp theo hoàn thành lời giải của bài tập toán Hình học không gian. 
 Ví dụ minh họa 
 Ví dụ 1. Vẽ hình biểu diễn của tứ diện ABCD 
 - Bước 1: Vẽ tam giác bất kỳ BCD (một cạnh khuất) 
 - Bước 2: Lấy điểm A ngoài tam giác BCD 
 - Bước 3: Nối A với điểm B: B; D.                                         
 Ví dụ 2: Vẽ hình biểu diễn hình chóp tam giác đều S.ABC, có đường cao SH. 
 Vì hình chóp tam giác đều nên học sinh phải hiểu các tính chất của hình 
chóp tam giác đều mới vẽ được hình biểu diễn. 
 -  Vẽ  đáy  là  tam  giác  ABC  bất  kỳ  có  nét 
khuất AB (mặc dầu đáy là tam giác đều). 
 - Do đường cao SH của hình chóp tam giác 
đều có H trùng với tâm của tam giác ABC, nên 
vẽ H là giao của ba đường trung tuyến tam giác 
ABC (do tam giác ABC đều). 
 - Vẽ SH (nhìn như vuông góc với AB). 
 - Nối SA; SB; SC.                                                                   
 Ví dụ 3. Vẽ hì hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ 
 - Vẽ đáy ABCD là hình bình hành. 
 - Vẽ hình chữ nhật AA’B’B 
 - Từ các đỉnh C, D kẻ các đoạn thẳng CC’, DD’, 
song song và bằng AA’. 
 - Nối A’B’, B’D’, D’B’. 
 Qua quá trình luyện tập ra thêm các bài tập cho học sinh luyện tập từ đó 
hình thành kỹ năng vẽ hình, lưu ý học sinh cố gắng vẽ hình biểu diễn phần khuất 
càng ít thì hình vẽ cáng trực quan hơn trong quá trình sử dụng để tìm lời giải bài 
tập toán. 
  6     Ta có:  A’ SA mà SA  ( SAC) 
 => A’ ( SAC) 
  A’ ( A’,a) 
    => A’ là điểm chung của (A’,a) và (SAC)   
    Trong (P), ta có a không song song với AC   
    Gọi F = a  AC 
    F AC mà AC  (SAC ) F (SAC ) 
    E ( A’,a) 
    => F là điểm chung của ( A’,a) và (SAC ) 
    Vậy: A’F là giao tuyến của ( A’,a) và (SAC )  
    - Xác giao tuyến của (A’,a) và (SBC) 
    Trong (SAB) , gọi M = SB  A’E 
      M SB      mà      SB  ( SBC) => M ( SBC) 
      M A’E    mà      A’E  ( A’,a) => M ( A’,a) 
    => M  là điểm chung của mp ( A’,a) và (SBC )  
    Trong (SAC ) , gọi N = SC  A’F 
      N SC     mà      SC  ( SBC) => N ( SBC) 
      N A’F   mà     A’F  ( A’,a) => N ( A’,a) 
     N   là điểm chung của mp ( A’,a) và  (SBC ) 
    Vậy: MN là giao tuyến của ( A’,a) và (SBC ). 
     Ta có thiết diện cần xác định là: A’MN 
    Ví dụ 2. Cho bốn điểm A,B,C,D  không  cùng thuộc một mặt phẳng. Trên 
các đoạn thẳng AB, AC, BD lần lượt lấy các điểm  M, N, P sao cho MN không 
song song với BC. Xác định thiết diện giao của mặt phẳng ( MNP) với tứ diện 
ABCD.     
    Phân tích: Để xác định thiết diện ta cần xác định giao tuyến của mp MNP 
với các mặt của tứ diện. Dể thấy MN, MP là giao tuyến của (MNP) với (ABC) 
và (ABD). Chỉ cần xác định hai giao tuyến của (MNP) với (BCD) và (ACD). 
  8     Phân tích: Phân tích: Để xác định thiết diện ta cần xác định giao điểm 
của mặt phẳng (MNP) với SC. 
 Lời giải: 
 - Nối BD và AC cắt nhau tại O.    
    -  Tìm  giao  điểm  I  của  SO  với  mặt 
phẳng  (MNP) 
    Nối MN, SO tao có giao điểm SO và 
BD chính là điểm I. 
    - Trong mặt phẳng (SAC) nối MI kéo 
dài cắt SC tại Q. 
    - Nối PQ, NQ ta có: thiết diện MNQP 
cần xác định.       
 ** Xác định thiết diện qua các giao tuyến khi biết một điểm và phương 
của đường thẳng, đòi hỏi học sinh phải nắm chắc kiến thức về quan hệ song 
song giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. 
    Ví dụ 5. Cho hình vuông cạnh a, tâm O . Gọi S là một điểm ở ngoài mặt  
phẳng (ABCD) sao cho SB = SD.  
    Gọi  M là điểm tùy ý trên  AO với AM = x, mặt phẳng ( ) qua M song 
song với SA  và BD. 
    a.  Xác đinh thiết diện giao giữa mặt phẳng ( ) với hình chóp SABO. 
    b.  Cho SA = a . Tính diện tích thiết diện theo a và  x, tìm giá trị x để  diện 
tích  lớn nhất.  
    Phân tích: Để xác định được thiết diện cần tìm, ta phải xác định được 
giao tuyến của mặt phẳng ( ) với các mặt phẳng (ABO); (SAB); (SBO) và 
(SAO). Giả thiết đã cho xác định điểm M và trực quan từ hình vẽ. Do đó cần 
hướng dẫn học sinh xác định được phương các phương của giao tuyến nhờ kiến 
thức về đường thẳng, mặt phẳng song song. 
 Lời giải: 
a. Ta có mp( ) // BD mà BD  mp(ABO), M là điểm chung  
    =>  Giao  tuyến  của  mp( )  và  mp(ABO)  là  đường  thẳng  đi  qua  M  nằm 
trong mp(ABO) và song song với BD. 
  10    Áp dụng bất đẳng thức Cosy cho 2 số dương   x. 2   và   a x. 2  
 x. 2 a x. 2) a²
  x. 2(a x. 2)    ( ) 2      
   2 4
 1 a² a² a²
  =>  S . S  
 MNPQ 2 4 4. 2 MNPQmã 4. 2
 a a. 2
   Đẳng thức xảy ra khi    x. 2 a x. 2 x 
 2. 2 4     
                                          M là trung điểm AO.   
 a. 2
  Vậy :  x   thì   S   đạt giá trị lớn nhất. 
 4 MNPQ
  Ví dụ 6. Cho tứ diện ABCD có AB = a , CD = b . Gọi I , J  lần lượt là 
trung điểm AB và CD. Giả sử AB  CD , mặt phẳng ( ) qua M nằm trên  đoạn 
IJ  và song song với AB và CD. 
    a.  Tìm giao tuyến của ( ) với ( ICD )  và (JAB) . 
    b.  Xác định thiết diện của (ABCD)  với mặt phẳng ( ) 
    Chứng minh thiết diện là hình chữ nhật . 
   Tính diện tích thiết diện biết IM =  1 IJ . 
 3
    Phân tích: Áp dụng tính kiến thức về đường thẳng song song với mặt 
phẳng để xác định các giao tuyến của hai mặt phẳng theo yêu cầu của bài toán, 
từ đó xác định dược thiết diện.   
 Lời giải: 
a. Tìm giao tuyến của ( ) với mặt phẳng (ICD ): 
 ( ) // CD
    Ta có :  CD  (ICD)  
 M ( )  (ICD)
    =>  Giao  tuyến  là  đt  qua  M  và  song  song 
với CD cắt IC tại L  và  ID tại N  
 ( ) // AB
    Tương tự  :  AB  (JAB)  
 M ( )  (JAB)
    =>  Giao tuyến là đt qua M và song song với AB cắt JA tại P  và  JB  tại Q 
  12    Gọi  ( )  là  mặt  phẳng  qua  M  và 
song song với mặt phẳng (SAD) cắt SB, 
SC , và CD lần lượt tại N, P, Q 
a. Tìm thiết diện của  ( ) với mặt  phẳng 
hình chóp. Thiết diện là hình gì? 
b.  Cho  SAD  = 1v  và SA = a. Tính diện 
 2
tích của thiết diện theo a và x .Tìm giá trị x để diện tích  thiết diện bằng  3a  
 8
 Lời giải: 
a. Tìm thiết diện của ( ) với mặt phẳng h́nh chóp 
 ( ) // SD
    Ta có :  ( ) //(SAD) ( ) // SA  
 ( ) // AD
 0 Với  ( ) // SD     
 ( ) // SD
    Có     SD  (SAD) PQ // SD  
 ( )  (SAD) PQ
    -  Với  ( ) // SA     
 ( ) // SA
    Có     SA  (SAB) MN // SA 
 ( )  (SAB) MN
    - Với  ( ) // AD     
 ( ) // AD
  Có     AD  (ABCD) MQ // AD     (1) 
 ( )  (ABCD) MQ
 BC // MQ
  Vì      ( ) // BC      
 BC  ( )
 ( ) // BC
  Có   BC  (SBC) PN // BC       (2) 
 ( )  (SBC) PN
 Từ  (1) và (2) , suy ra :  MQ// PN MNPQ  là hình thang.  
  Vậy :  MNPQ  là hình thang 
  14  Lời giải: 
a. Chứng minh MNPQ là hình thang vuông: 
 ( ) // OA
  Ta có :   OA  (ABC) MN // OA  
 MN ( )  (ABC)       (1) 
 ( ) // SB
       SB  (SAB) MQ // SB  
 MQ ( )  (SAB)       (2)
 ( ) // SB
      SB  (SBC) NP // SB  
 NP ()  (SBC)
      (3)
  Từ  (2) và (3), suy ra MQ // NP // SB          (4) 
   MNPQ là hình thang  
 OA  SB
 MN  MQ
  Từ  (1) và (4), ta có:  MN // OA  
 MN  NP
 MQ // NP // SB
    Vậy: MNPQ  là hình thang vuông , đường cao MN. 
b. Tính diện tích của hình thang theo a và x . 
 1
    Ta có :  S (MQ NP).MN  
 MNPQ 2
    Tính  MN:  
    Xét tam giác ABC 
 AB AB
    Ta có :  cos B   => BC  
 BC cos B
    BC 2a   => BO = a 
 Bˆ 600
    Do  ABO  đều 
 BA BO
    Có MN // AO   =>                
 MN BM BN
 MN MB BN x  
          AO AB BO
    Tính MQ: 
    Xét  tam giác SAB, ta có: MQ // SB   
  16