Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học không gian

 Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian 
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI 
 Đơn vị Trường THPT Ngô Quyền 
 Mã số: ................................ 
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI BÀI TẬP 
 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 
 ( Phần II ) 
 Người thực hiện: LÊ THANH HÀ 
 Lĩnh vực nghiên cứu: 
 Quản lý giáo dục  
 Phương pháp dạy học bộ môn: Toán  
 Lĩnh vực khác: .........................................................  
Có đính kèm: 
  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác 
 Năm học: 2014 - 2015 
Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 1 
 Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian 
Tên sáng kiến kinh nghiệm: 
 HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 
 ( PHẦN II ) 
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 
 1/.Trong chương II của hình học không gian lớp 11, sau phần đường thẳng và mặt 
phẳng học sinh sẽ được học các kiến thức về quan hệ song song. Trong hình học phẳng 
học sinh cũng đã học các kiến thức về hai đường thẳng song song và nhiều kết quả các 
em đã biết vẫn còn đúng trong không gian. Tuy nhiên trong không gian, định nghĩa hai 
đường thẳng song song phải được phát biểu đầy đủ vì hai đường thẳng không có điểm 
chung có thể song song hoặc chéo nhau. Trong không gian còn có quan hệ song song 
giữa đường thẳng và mặt phẳng , giữa hai mặt phẳng ; vì vậy các mối quan hệ trở nên 
phức tạp hơn nhiều và có những kết quả trong hình học phẳng học sinh cũng đã học 
không còn đúng trong không gian. 
 2/. Việc vẽ hình không gian và giải các bài toán hình học không gian nói chung là 
một khó khăn rất lớn cho học sinh. Sau khi học xong chương I các em mới chỉ biết cách 
tìm giao điểm của hai đường thẳng, tìm giao tuyến của hai mặt phẳng khi chúng có hai 
điểm chung và áp dụng vào bài toán tìm thiết diện của hình chóp (hoặc hình đa diện ) 
cắt bởi mặt phẳng nên bài toán về quan hệ song song là hoàn toàn mới với các em. 
Nếu được giáo viên hướng dẫn cẩn thận phương pháp giải các dạng bài toán cơ bản 
thường gặptrong chương này thì học sinh sẽ dễ dàng tiếp thu kiến thức và trên cơ sở đó 
các em sẽ tự mình làm được các dạng bài tương tự và nâng cao. Năm học 2013 - 2014 
tôi đã thực hiện chuyên đề hướng dẫn học sinh giải các dạng toán thường gặp về 
đường thẳng và mặt phẳng .Trong phạm vi chuyên đề này tôi tiếp tục trình bày 
chuyên đề hướng dẫn học sinh giải các bài toán thường gặp về quan hệ song song 
trong không gian. 
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 
 1/. Chương trình sách giáo khoa 11 ban Cơ bản và Nâng cao đang sử dụng hiện 
nay, phần kiến thức về Hình học Không gian đã được trình bày theo tinh thần giảm tải 
về mức độ hàn lâm. Yêu cầu chứng minh các Định lí đã được giảm nhẹ rất nhiều so với 
nội dung chương trình phân ban lần trước, các ví dụ minh họa được trình bày trong mỗi 
bài học cũng có nội dung đơn giản. Nội dung bài tập cũng được các tác giả chọn lọc 
theo hướng tập trung vào các nội dung kiến thức cơ bản nhất, cắt bỏ bớt những bài tập 
có nội dung yêu cầu cao so với trình độ của đa số học sinh. Và cũng chính vì thế mà các 
bải toán hình học Không gian trong các đề thi Đại học và cao đẳng hiện nay cũng dễ 
hơn so với trước. Tuy nhiên với đa số các em học sinh học, Hình không gian vẫn là môn 
học khó. Đa số các em nghe giảng lí thuyết có thể hiểu vấn đề nhưng khi áp dụng vào 
làm bài tập cụ thể thường không biết cách trình bày bài giải nên rất ngại làm bài. 
 2/. Từ những lí do trên bản thân tôi nhận thấy cần thiết phải phân loại các bài toán 
trong chương quan hệ song song thành một số dạng khác nhau, hướng dẫn thật kĩ cho 
học sinh phương pháp giải từng dạng với những bài tập minh họa cụ thể sẽ giúp học 
sinh nắm vững kiến thức, bên cạnh những kiến thức về hình học không gian các em đã 
học ở phần trước các em sẽ cảm thấy tự tin hơn khi học Hình không gian. Đây không 
phải giải pháp hoàn toàn mới với các giáo viên đã dạy Hình học Không gian nhưng tùy 
Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 3 
 Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian 
 S
 I
 AB // CD 
 SI = (SAB)  (SCD) 
 N
Nên SI // AB // CD M
Vì SI = 2 MN và AM = NI 
nên SABI là hình bình hành . 
Vậy SA // IB. 
 B
 A P
 D C
Ví dụ 3 : E
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt 
phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC, BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho 
AM BN 1
 . Chứng minh : MN // DE. 
AC BF 3
Giải: 
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD, ta có O là trung điểm BD và AO là trung tuyến 
của tam giác ABD. 
 C
 AM 1 AM 2 D
Mặt khác, vì , suy ra . 
 AC 3 AO 3 O
Do đó M là trọng tâm tam giác ABD nên DM M
 IM 1
đi qua trung điểm I của AB và ta có I
 ID 3 A B
. N
Chứng minh tương tự ta có EN đi qua I và 
IN 1
 . F
IE 3 E
 IM IN 1
Trong tam giác IDE vì . Suy ra MN // DE 
 ID IE 3
Ví dụ 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm 
thuộc cạnh AB sao cho AM = 2MB, H là trung điểm AD. Qua M kẻ đường thẳng song 
song với AD cắt CH tại I. 
a/ Trên đoạn SH lấy điểm G sao cho SG = 1 SH. Tìm giao điểm K của BC với (SGM). 
 3
b/ Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mp(GIM). 
c/ Chứng minh GM song song với SK. 
Giải: 
 a/ Trong mp(ABCD): BC  MH = K 
 K MH  SGM 
 K = BC  (SGM) 
 K BC
 b/ Trong mp(ABCD): MI  CD = N 
 (GIM)  (ABCD) = MN (1) 
Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 5 
 Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian 
 D C
Ta có OO’ // DF mà DF  (ADF) . 
 O
 Do đó OO’ // (ADF). 
 M
Tương tự OO’ // CE mà CE  (BCE) 
 I
 A
 Do đó OO’ // (BCE). B
 N
 O'
b/ Do M là trọng tâm tam giác ABD F
 E
nên DM đi qua trung điểm I của AB và ta có . 
Chứng minh tương tự ta có EN đi qua I và . 
Trong tam giác IDE vì . Suy ra MN // DE. 
 Ta có : DE  (CDFE), MN không nằm trong (CDFE) nên MN // (CDFE) hay CEF). 
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi I là giao điểm 
của hai đường chéo AC và BD , P là trung điểm SC , Q là một điểm thuộc đoạn SD thỏa 
SQ 2
 . Trong mặt phẳng (SAC), gọi J là giao điểm của SI và AP 
SD 3
 a/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng : (APQ) và (SBD) 
 b/ Tìm giao điểm H của SB và mặt phẳng (APQ) 
 IM 1
 c/ Chứng minh: BD // (APQ) 
Giải ID 3
 a/ Ta có Q , J là 2 điểm chung của (APQ) và (SBD) 
Vậy (APQ)  (SBD) = QJ 
IN 1
 S
 IEb/ Trong3 (SBD) gọi H = SB  QJ 
 IM IN 1
 H SB H SB
 ID IE 3 
 H QJ ()() APQ H APQ
 P Q
Kết luận: SB (APQ) = H J
 SJ 2 A
c/ J là trọng tâm tam giác SAC nên : H D
 SI 3
 SQ 2 SQ SJ I
Mà nên BD // JQ B
 SD 3 SD SI C
 mà JQ  (APQ) nên BD // (APQ) 
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt 
là trung điểm của các cạnh AB, CD. 
 a/ Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD). 
 b/ Gọi P là trung điểm SA. Chứng minh SB và SC đều song song với mp(MNP). 
 c/ Gọi G, G’ là trọng tâm các tam giác ABC và SBC. Chứng minh GG’ song song 
với (SAB). 
Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 7 
 Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian 
 AJ SI 2
 Trong tam giác SOA có : IJ // SA 
 AO SO 3
 IJ() SAB
 Vì: IJ // (SAB) 
 IJ//,() SA SA SAB
Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD . Gọi E , F lần lượt là trung điểm AC và AD, M là một 
điềm tùy ý trên cạnh AB nhưng không là trung điểm đoạn AB. 
 a/ Tìm giao điểm N của đường thẳng BD với (MEF) 
 b/ Gọi I là điểm trên đoạn MA sao cho IC cắt ME tại H và ID cắt MF tại K . Tìm 
giao tuyến của (MEF) và (ICD) A
 c/ Chứng minh HK // (BCD) I
 Giải M
 a/ Trong (ABD) , gọi N = MF  BD F
 K
 N  MF() MEF N () MEF H
 E
 N BD N BD
Vậy N = BD  (MEF) B N
 D
 b/ H K = (MEF) (ICD) 
 EF/ / CD ( do EF l à DTBtam gi ác A CD) C
 EF () MEF
 c/ HK//EF //CD 
 CD () ICD
 ()()MEF ICD HK
 HK () BCD
Ta có : HK//() CD cmt HK // (BCD) 
 CD () BCD
Dạng 3 : Chứng minh hai mặt phẳng song song 
Phương pháp : Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt 
song song với mặt phẳng kia. 
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P, 
Q, R lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SD, AB, ON, SB. 
 a/ Chứng minh mặt phẳng (OMN) song song với mặt phẳng (SBC) 
 b/ Chứng minh PQ song song với mặt phẳng (SBC) 
 c/ Chứng minh mặt phẳng (OMR) song song với mặt phẳng (SCD) 
Giải 
 a/ OM là đường trung bình của tam giác ASC nên OM // SC. 
Suy ra OM // (SBC) vì OM không thuộc (SBC) và OM // SC  (SBC). 
 ON là đường trung bình của tam giác DSB nên ON // SB. 
Suy ra ON // (SBC) vì ON không thuộc (SBC) và ON // SB  (SBC). 
Vậy (OMN) // (SBC) 
Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 9 
 Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian 
Vậy (IJK) // (ABC) 
 b/ Ta có KM // (ABC) khi và chỉ khi KM thuộc mp(P) qua K và song song với 
(ABC). Vậy KM // (ABC) khi và chỉ khi M thuộc (P). 
Gọi A’, B’ C’ lần lượt là giao điểm của (P) với các cạnh SA, SB, SC. 
Khi đó A’B’ // AB, B’C’ // BC, C’A’ // CA. 
 Theo giả thiết M chỉ nằm trong hình chóp S.ABC, nên tập hợp các điểm M sao cho 
KM // (ABC) là tam giác A’B’C’. 
Dạng 4 : Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 
Phương pháp : Ngoài phương pháp “ tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng” ta có thể 
vận dụng định lí 4 như sau : 
 Nếu hai mặt phẳng (P) , (Q) có một điểm chung M và lần lượt chứa 
hai đường thẳng song song a và b thì giao tuyến của (P) và (Q) là đường thẳng đi qua M 
và song song với a và b. 
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H, K lần lượt 
là trung điểm của các cạnh SA, SB 
 a/ Chứng minh HK song song với CD. 
 b/ Gọi M là môt điểm trên cạnh SC không trùng với S. Tìm giao tuyến của hai mặt 
phẳng (HKM) và (SCD). 
 c/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). 
Giải S
 a/ Vì HK là đường trung bình của tam giác SAB 
nên ta có HK // AB (1) 
Theo giả thiết AB // CD (2) H
 t
Từ (1) và (2) suy ra HK // CD K
 b/ Hai mặt phẳng (HKM) và (SCD) có 
 A
một điểm chung M và lần lượt chứa hai D
đường thẳng song song HK và CD nên giao M
tuyến của (HKM) và (SCD) là đường thẳng B C
Mt qua M và song song với CD. 
 c/ Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có một điểm chung S và lần lượt chứa hai đường 
thẳng song song AB và CD nên giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng đi qua 
S và song song với AB (hoặc CD). 
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F, G lần 
lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC. 
 a/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). 
 b/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABH) và (CDE). 
Giải 
 a/ Vì AD // BC nên hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)có giao tuyến là đường thẳng a đi 
qua S và song song với AD. 
 b/ Gọi P = ED  AH 
 Q = BG  CF 
Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền Page 11