Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh lớp 11 làm bài toán đếm bằng cách lập sơ đồ

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 LÀM 
BÀI TOÁN ĐẾM BẰNG CÁCH LẬP SƠ ĐỒ 
 Người thực hiện : Lê Thị Sáng
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc môn : Toán
 THANH HÓA NĂM 2016 1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài:
 Thực tế giảng dạy cho thấy môn Toán học trong trường phổ thông là một 
môn học khó, học sinh thường không học tốt môn này, đặc biệt là phần Đại số tổ 
hợp học sinh thường nhầm lẫn giữa các khái niệm: quy tắc cộng, quy tắc nhân, 
hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp dẫn đến các kết quả sai. Bản thân là một giáo viên 
tôi thấy chúng ta phải có những bài giảng và phương pháp dạy học phù hợp để 
học sinh dễ tiếp thu kiến thức, quan tâm đúng mức đến đối tượng giáo dục, dùng 
các phương pháp khác nhau tuỳ theo đối tượng học sinh để học sinh ngày càng 
yêu thích môn Toán đặc bịêt là phần đại số tổ hợp.
 Xuất phát từ mục đích dạy học phát huy tính tích cực của học sinh nhằm 
giúp học sinh xây dựng các kiến thức, kỹ năng tư duy tổng kết, hệ thống lại các 
kiến thức, vấn đề cơ bản vừa mới lĩnh hội. Thì việc sử dụng sơ đồ tư duy trong 
dạy học nói chung và dạy học môn Toán nói riêng đặc biệt là phần Đại số tổ hợp 
sẽ giúp học sinh hình thành thói quen suy nghĩ, tư duy theo một sơ đồ cụ thể đối 
với từng bài toán. Đây là một hoạt động vừa mang tính phân tích, vừa mang tính 
nghệ thuật.
 Với mục đích gắn liền với thực tiễn, giáo dục toàn diện và hỗ trợ cho việc 
dạy và học các môn khác, Đại số tổ hợp đã được đưa vào chương trình lớp 11. 
Từ đó áp dụng các kiến thức toán học vào đời sống, về việc giải các bài toán về 
khoa học thực nghiệm. Sách giáo khoa, cũng như sách tham khảo chưa viết 
nhiều đến những bài toán này mà mới chỉ đưa ra một số bài tập bằng cách áp 
dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân, tổ hợp. Thực tế dạng toán này cũng có nhiều 
trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, thi học sinh giỏi Trong khi đa 
số học sinh nói chung, học sinh THPT Yên Định 3 nói riêng không có hứng thú 
với loại toán này, bởi lẽ hầu hết các em đều cảm thấy khó khăn khi giải các bài 
toán này, hoặc là chỉ làm được những bài tập đơn giản còn khi thay đổi thì các 
em dường như chỉ giải theo cảm tính và cũng không biết kết quả mình tìm ra 
đúng hay sai. 
 Với mong muốn thay đổi cách giảng dạy, truyền thụ tri thức một chiều 
sang cách tiếp cận kiến tạo kiến thức và suy nghĩ. Ý tưởng “ lập sơ đồ tư duy” 
hay ngắn gọn là “lập sơ đồ” trong giải bài toán tổ hợp được xây dựng theo quá 
trình từng bước khi người dạy và người học tương tác với nhau. Thông qua đó 
học sinh lĩnh hội kiến thức nhanh hơn, yêu thích môn Toán và phần Đại số tổ 
hợp hơn. Vì vậy tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 11 làm 
bài toán đếm bằng cách lập sơ đồ”
1.2. Mục đích nghiên cứu:
 +Đề xuất một số phương pháp lập sơ đồ trong giải toán tổ hợp để giúp 
học sinh hình thành được tư duy giải các bài toán tổ hợp, từ đó giải các bài toán 
xác suất cũng dễ dàng hơn. Giúp nâng cao chất lượng dạy học phần tổ hợp xác 
suất, giúp học sinh trường THPT Yên Định 3 yêu thích môn Toán hơn.
 + Nhằm hưởng ứng ngành giáo dục phát động sử dụng sơ đồ tư duy trong 
dạy học và đổi mới phương pháp dạy học. Thông qua cách sử dụng sơ đồ tư duy 
 1 phạm vi của sáng kiến này tôi có sử dụng một số kí hiệu khi vẽ sơ đồ như sau:
 + Quan hệ giữa các trường hợp ngang hàng: 
 + Quan hệ giữa các bước ngang hàng:
 + Quan hệ giữa bao hàm: 
a. Bài “quy tắc đếm” (SGK Đại Số và Giải Tích 11):
 - Quy tắc cộng: Hướng dẫn học sinh theo cách nhìn “công việc”: Một 
công việc được thực hiện theo một trong hai phương án. Phương án 1 có m cách 
thực hiện, phương án hai có n cách thực hiện. Khi đó công việc có thể được thực 
hiện theo m+n cách.
Khi dạy ta có thể lập sơ đồ như sau để học sinh dễ hiểu và ghi chép dễ dàng:
 Công việc
 Phương án 1: Phương án 2: 
 có m cách có n cách
 Có m+n cách
 Từ đó ta có thể mở rộng quy tắc cộng ra nhiều phương án.
 Tương tự như quy tắc cộng thì đối với quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ 
hợp ta cũng sử dụng sơ đồ như vậy trong quá trình dạy học.Các quy tắc này 
được sách giáo khoa trình bày khá rõ ràng. Học sinh có thể hiểu rõ hơn bằng 
cách sử dụng sơ đồ. Cụ thể như sau:
- Quy tắc nhân: 
 Công việc Công đoạn 1: Công đoạn 2: 
 có m cách có n cách 
 Có m.n cách thực hiện công việc
Sau khi sử dụng sơ đồ để học sinh hiểu rõ quy tắc, giáo viên lấy ví dụ cụ thể 
hướng dẫn cụ thể thông qua các ví dụ.
 3 Phân công Chọn 4 trong Chọn 4 trong 8 Chọn 4 người 
 công tác 12 người người còn lại còn lại
 4 4 4
 Có C12 cách Có C8 cách Có C4 cách
 4 4 4
 Có C12 .C8 .C4 = 34650 cách phân công
 - Chỉnh hợp:
 Tập hợp có Chọn k phần tử Sắp thứ tự k phần tử 
 n phần tử trong n phần tử đã chọn 
 k
 Có Cn cách chọn Có Pk cách xếp
 k k
 Có An Cn .Pn cách thực hiện công việc
 Ví dụ: Một lớp học có 35 học sinh. Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán 
sự lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 4 tổ trưởng cho 4 tổ? Biết rằng tất cả học 
sinh đều có khả năng và mỗi bạn chỉ nhận nhiều nhất một nhiệm vụ.
Sơ đồ của bài toán như sau:
 35 học sinh Chọn ra 6 trong 35 Sắp xếp nhiệm vụ 
 trong lớp học sinh của lớp vào cho 6 học sinh đã 
 ban cán sự chọn
 6
 Có A35 116867520 cách phân công
 Các bài toán đếm là có cùng bản chất và cách hiểu như nhau. Chúng dễ 
tương tự như nhau, các em học sinh chỉ cần nắm vững được những phương 
pháp tư duy hệ thống thì các em hoàn toàn có thể làm được các bài toán đếm.
 5 TH2: d 0 khi đó có 3 cách chọn d. 5 cách chọn a và số cách chọn 2 chữ số còn 
 2
lại là A5
 3 2
 Vậy số các số cần tìm là: A6 3.5.A5 420 số.
 Qua ví dụ trên ta thấy sau khi lập sơ đồ thiết kế, tính toán đưa ra được đáp số 
chính xác thì việc trình bày lời giải là không khó. Các em học sinh cần lựa chọn 
từ ngữ diễn đạt để trình bày lời giải. Vì vậy ở các ví dụ sau tôi chỉ đưa ra cách 
phân tích, thiết kế, lập sơ đồ của bài toán, từ đó các em sẽ diễn đạt trình bày lời 
giải của bài toán
Ví dụ 2: Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5,6. Từ các chữ số đó có thể lập được bao 
nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 1 và 2.
 Phân tích: Điều kiện chủ chốt của bài là “phải có mặt chữ số 1 và 2”. Do 
đó trước hết phải chọn vị trí cho chữ số 1 và 2. Tuy nhiên do chữ số hàng chục 
nghìn khác 0 nên việc 1 hoặc 2 rơi vào vị trí hàng chục nghìn sẽ ảnh hưởng tới 
bước xếp các chữ số 0,3,4,5,6 vào các vị trí còn lại.
Sơ đồ của bài toán như sau:
 Lập số abcde
 a 1;2 a 1;2
 Xếp chữ Hoán vị 2 Chọn 3 Xếp chữ Chọn Chọn 2 
 số còn lại chữ số chữ số số 1;2 a có 4 chữ số 
 3 2 2
 trong tập trong tập còn lại A5 có A4 cách còn lại A4
 1;2 1;2 cách 
 3 2 2
 Có 2.4. A5 + A4 .4. A4 =1056 số
Ví dụ 3: Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ, 4 nhà vật lý nam. Lập một 
đoàn công tác gồm 3 người cần có cả nam và cả nữ, có nhà toán học lẫn nhà vật 
lý học. Hỏi có bao nhiêu cách lập đoàn công tác?
 Phân tích: Trước hết đoàn công tác cần có cả nam và nữ, sau lại có cả nhà 
toán học lẫn nhà vật lý học. Do đó số lượng nhà vật lý trong nhóm sẽ ảnh hưởng 
đến số cách chọn người nữ. Bởi vậy ta chia trường hợp theo số lượng nhà khoa 
học các ngành: 2 lý – 1 toán và 2 toán - 1 lý.
Sơ đồ của bài toán như sau:
 7 Phân tích: Đây là ví dụ 1 của phần phương pháp đếm trực tiếp. Để sử dụng 
phương pháp đếm phần bù, trước hết phân tích như sau. Các bước thiết kế công 
việc hoàn toàn tương tự như cách giải trên. Có thể thấy rõ điều khác căn bản 
của hai phương pháp đếm trên là thay vì tính số cách lập bằng phương pháp 
nhân thì ta tính bằng phép trừ.
Ví dụ 2: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên 
gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bởi 123?
Sơ đồ của bài toán như sau:
 Lập số abcde
 Số có 5 chữ số Số bắt đầu bởi 123
 4 2
 Chọn a: 8 cách 4 vị trí còn lại: A8 2 vị trí còn lại: A6
 4 2
 Có 8. A8 - A6 = 13410 số
Ví dụ 3: Từ một tập thể 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có A và B, người 
ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường 
hợp sau:
 a, Trong tổ phải có cả nam và nữ.
 b, Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa A và B không đồng thời có mặt 
trong tổ.
Phân tích: 
 Với ý a, để đếm trực tiếp số cách chọn tổ có cả nam và nữ thì ta phải xây 
dựng được một sơ đồ công việc để chọn một tổ có cả nam và nữ. chẳng hạn như: 
Bước1: chọn một bạn nam, bước 2: chọn một bạn nữ, bước 3: chọn 4 bạn còn 
lại. Cách chọn trên đảm bảo điều kiện có “cả nam và nữ” tuy nhiên lại không 
thể dùng để đếm được vì hai cách chọn khác nhau lại cho cùng một đội. Vì vậy 
để giải quyết bài toán này ta dùng phương pháp đếm phần bù của trường hợp 
cần đếm là các trường hợp “6 người toàn nam” và “6 người toàn nữ”.
 9 mãn một vài điều kiện trước rồi mới sắp xếp để đạt được kết quả sau.
Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và khác 0 mà 
trong mỗi số luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ?
Phân tích: Điều kiện cuả bài toán là: “ 4chữ số” “khác nhau” “khác 0” “có 
mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ”.Điều kiện: “ 4chữ số” “khác nhau” 
không có gì đáng chú ý. Điều kiện “khác 0”chỉ đơn giản giúp ta không phải 
nghĩ đến trường hợp rắc rối khi số 0 đứng ở vị trí đầu. Điều kịên chủ chôt trong 
bài toán là: “có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ”. Do vậy ta cần chọn 
trước 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ rồi xếp vị trí cho các chữ số đó.
Sơ đồ của bài toán là:
 Lập số abcd
 chọn 2 chữ số chẵn, 2 Hoán vị 4 chữ số đã 
 chữ số lẻ và khác 0 chọn: có 4! cách
 chọn 2 chữ số chọn 2 chữ số 
 2
 chẵn khác 0: lẻ: có C5 cách
 2
 có C4 cách
 2 2
 Có C4 .C5 .4! = 1440 số 
Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số khác nhau mà trong mỗi số có 
đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữ số lẻ ( các chữ số liền trước và 
liền sau của chữ số 0 đều là số lẻ)?
 Phân tích: Điều kiện chủ chôt trong bài toán là: “ có đúng 4 chữ số lẻ và 
chữ số 0 đứng giữa 2 chữ số lẻ”. Do vậy ta cần chọn trước 4 chữ số lẻ, rồi ưu 
tiên xếp vị trí cho chữ số 0, chọn 2 số lẻ xếp trước và sau chữ số 0, rồi ta xếp vị 
trí cho 6 số còn lại.
Sơ đồ của bài toán như sau:
 11