Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh phân loại và giải một số dạng toán xác suất lớp 11

 Hướng dẫn học sinh phân loại và giải một số dạng toán xác suất lớp 11
 I. ĐẶT VẤN ĐỀ
 Lý thuyết xác suất là một nghành toán học có nhiều ứng dụng rộng rãi 
trong nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ, kinh tế  Chính vì lẽ đó, đây là lần 
đầu tiên xác suất được đưa vào dạy ở cấp Trung học phổ thông ở nước ta( không 
kể đến chương trình thí điểm chuyên ban 1995). Ở nhiều nước trên thế giới, xác 
suất đã được dạy từ cấp Trung học cơ sở. Việc giảng dạy xác suất có thuận lợi là 
dễ gây hứng thú cho học sinh vì các bài toán về xác suất nói chung gần gũi, thiết 
thực với đời sống. Tuy nhiên qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh 
ngại phải làm bài tập phần này, đặc biệt là học sinh các lớp thuộc ban cơ bản vì 
khi làm xong một bài nào đó, các em hay có những đáp số khác nhau. Chính vì 
vậy, đứng trước một bài toán xác suất, học sinh thường lúng túng, không biết 
cách giải quyết như thế nào, thậm chí, có nhiều em đã làm xong không cũng 
không dám chắc rằng mình đã làm đúng. Việc dạy và học xác suất cũng cần có 
một tư duy mới, cần có thời gian để tổng kết, để hệ thống cả lý thuyết và bài tập.
 Trước thực tế như vậy, với mong muốn giúp các em học sinh lớp 11 nắm 
vững các phương pháp cơ bản về xác suất, đồng thời biết vận dụng linh hoạt các 
kiến thức đó để giải quyết các bài toán khác nhau tôi chọn đề tài: “Hướng dẫn 
học sinh phân loại và giải một số dạng toán xác suất lớp 11”. 
 II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lí luận của vấn đề.
Khi viết sáng kiến này, tôi dựa trên cơ sở lý thuyết sau:
- Định nghĩa biến cố và xác suất của biến cố.
- Các kiến thức cơ bản của xác suất: Định nghĩa, tính chất, công thức.
Cụ thể:
1.1. Các công thức tính số các hoán vị; số các chỉnh hợp; số các tổ hợp: 
 1) Pn n! 1.2.....(n 1).n
 n!
 2) Ak (1 k n)
 n (n k)!
 n!
 3) C k (0 k n)
 n k!(n k)!
 n
 Đặc biệt: Pn An
1.2. Hệ thống lại các kiến thức phần xác suất. 
 + Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu 
- Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay một hành động mà:
 . Kết quả của nó không đoán trước được;
 . Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử 
đó.
- Không gian mẫu của phép thử: Là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của 
phép thử. 
 + Biến cố; Biến cố chắc chắn; Biến cố không thể 
GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2 1 Hướng dẫn học sinh phân loại và giải một số dạng toán xác suất lớp 11
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy 
ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.
Nhận xét:
 Nếu hai biến cố A, B độc lập với nhau thì A và B ; A và B; A và B cũng độ lập 
với nhau.
Tổng quát: 
Cho k biến cố A1, A2, ,Ak , k biến cố này được gọi là độc lập với nhau nếu việc 
xảy ra hay không xảy ra của mỗi biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy 
ra của các biến cố còn lại.
 + Quy tắc nhân xác suất
Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì
 P(A B) = P(A).P(B)
Chú ý: 
Nếu k biến cố A1, A2, ,Ak đôi một độc lập với nhau thì
 P(A1 A2 Ak) = P (A1 ) P( A2 )  P(Ak)
2. Thực trạng của vấn đề.
2.1. Về phía giáo viên: 
-Mỗi giáo viên cho học sinh tiếp cận vấn đề theo một trình tự khác nhau, phần 
lớn được hình thành trong khái niệm của giáo viên chứ chưa có sự đầu tư, 
nghiên cứu tường tận.
- Chưa thật nắm vững yêu cầu về kiến thức, kĩ năng của từng bài, việc giáo dục 
còn mang tính chất dàn trải 
- Chưa chú ý đúng mức tới đối tượng học sinh.
- Tốc độ giảng dạy kiến thức mới, luyện tập còn nhanh khiến học sinh không 
theo kịp.
2.2. Về phía học sinh.
 Thông thường, học sinh ở lớp học theo chương trình chuẩn thì học lực của 
học sinh chỉ đạt ở mức cao nhất là trung bình khá vì thế đứng trước một bài toán 
tính xác suất của biến cố các em thường gặp những khó khăn:
- Không mô tả đúng không gian mẫu, không xác định đúng các phần tử của 
không gian mẫu.
- Không xác định đúng số các kết quả thuận lợi cho biến cố.
- Không thể áp dụng được các quy tắc tính xác suất vì chưa phân biệt rõ các biến 
cố trong bài có mối quan hệ với nhau như thế nào.
 Đứng trước thực trạng trên, tôi đã nghiên cứu và cố gắng tìm ra những 
phương pháp truyền đạt thích hợp nhất và sắp xếp nội dung ôn tập theo một 
trình tự hợp lý nhằm hướng tới đối tượng học sinh thuộc các lớp cơ bản và xem 
đó là một trong những điểm mấu chốt của công tác khắc phục tình trạng học 
môn toán của học sinh hiện nay.
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện. 
3.1. Giải pháp thực hiện.
- Hệ thống lại kiến thức phần xác suất và kiến thức phần tổ hợp có liên quan;
GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2 3 Hướng dẫn học sinh phân loại và giải một số dạng toán xác suất lớp 11
a. Xét phép thử T “Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 20”
 Không gian mẫu gồm tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn 20
 Bằng cách liệt kê, ta có không gian mẫu là tập hợp: 
  {1,2,34,.............17,18,19,20}
 Số phần tử của không gian mẫu: n() 20 (phần tử) 
b. Gọi biến cố A: “ số được chọn là số nguyên tố”
 Xác định số phần tử của A
 Ta có các số nguyên tố từ 1đến 20 là : 1; 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19
 n(A) = 9
 n A 9
c. Xác suất của A: P A 
 n  20
d. Gọi B “ số được chọn nhỏ hơn 4”
Các kết quả thuận lợi cho B gồm: 1; 2; 3 
 n(B) = 3 
 n(B) 3
Vây xác suất của B là P(B) 
 n() 20
Ví dụ 2:
 Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác 
suất của các biến cố sau:
A: “ Số chấm ở hai lần gieo bằng nhau”
B: “ Tổng số chấm bằng 6”
Phân tích: 
 Thực tế, đây cũng là một ví dụ đơn giản.Tuy nhiên ví dụ này được đưa ra 
nhằm mục đích để học sinh xác định rõ phép thử và trình bày không gian mẫu 
dưới hình thức chỉ ra tính chất đặc trưng của một tập hợp. 
Việc xác định các kết quả thuận lợi cho các biến cố A và B, giáo viên có thể kẻ 
bảng sau đây để học sinh dễ hình dung
 j 1 2 3 4 5 6
 i
 1 11 12 13 14 15 16
 2 21 22 23 24 25 26
 3 31 32 33 34 35 36
 4 41 42 43 44 45 46
 5 51 52 53 54 55 56
 6 61 62 63 64 65 66
Lời giải: Xét phép thử T: “Gieo một con súc sắc hai lần”
GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2 5 Hướng dẫn học sinh phân loại và giải một số dạng toán xác suất lớp 11
Bài 4: Chọn ngẫu nhiên 5 quân bầi trong cỗ bài tú lơ khơ ta được một xấp bài. 
Tính xác suất để trong xấp bài này chứa hai bộ đôi (Tức là có 2 con cùng thuộc 
một bộ; 2 con thuộc bộ thứ hai; con thứ 5 thuộc bộ khác).
Dạng 2: Sử dụng quy tắc cộng xác suất và quy tắc nhân xác suất
Phương pháp: 
 1. Nếu A, B là hai biến cố xung khắc thì: P(A  B) P(A) P(B)
 2. Nếu A1, A2, ,Ak. là các biến cố đôi một xung khắc thì: 
 P(A1  A2 ... Ak ) P(A1 ) P(A2 ) ... P(Ak )
 3. Nếu A, B là hai biến cố độc lập thì: P(A  B) P(A).P(B)
 4. Nếu A1, A2, ,Ak là các biến cố đôi một độc lập thì: 
 P(A1  A2 ... Ak ) P(A1 ).P(A2 ).....P(Ak )
Ví dụ 1:
 Một hộp đựng 3 quả cầu xanh, 4 quả cầu đỏ và 2 quả cầu vàng. Chọn 
ngẫu nhiên 2 quả cầu. Tính xác suất để chọn được 2 quả cầu cùng màu. 
Phân tích: 
 Đối với ví dụ này các em hoàn toàn có thể tính trực tiếp xác suất của biến 
cố bằng cách chia thành các trường hợp xảy ra rồi sử dụng qui tắc cộng trong tổ 
hợp. Tuy nhiên để áp dụng quy tắc cộng trong xác suất thì lời giải tường minh 
như sau:
Lời giải:
 Xét phép thử T “ Chọn 2 quả cầu trong 1hộp đựng 9 quả cầu”
 2
 n() C9 36 
Gọi A: “ 2 quả cầu được chọn cùng màu”
 2
 A1: “ 2 quả cầu được chọn màu xanh” Có C3 cách
 2
 A2: “ 2 quả cầu được chọn màu đỏ” Có C4 cách
 2
 A3: “ 2 quả cầu được chọn màu vàng” có C2 cách
Nhận xét: A=A1  A2  A3 và các biến cố A1, A2, A3 đôi một xung khắc nên: 
 2 2 2
 C3 C4 C2 3 6 1 5
 P(A) P(A1 ) P(A2 ) P(A3 ) 2 2 2 = 
 C9 C9 C9 36 36 36 18
Ví dụ 2: 
 Có 2 hộp đựng các viên bi có cùng kích thước. Hộp thứ nhất đựng 2viên 
màu đen và 3 viên màu trắng. Hộp thứ 2 đựng 3 viên màu đen và 4 viên màu 
trắng. Lấy ngẫu nhiên ở mỗi hộp 1 viên bi. Tính xác suất để 2 viên bi lấy ra đều 
màu trắng.
Phân tích : 
 Đối với ví dụ này học sinh cũng có thể tính trực tiếp xác suất của biến cố 
bằng cách chia thành các hoạt động liên tiếp nhau. Tức là chọn 1 viên màu trắng 
từ hộp thứ 1 rồi sau đó tiếp tục chọn 1viên màu trắng từ hộp thứ 2 rồi sử dụng 
qui tắc nhân trong tổ hợp. Tuy nhiên bài toán này còn giải quyết được gọn gàng 
hơn bằng cách áp dụng qui tắc nhân xác suất. Để áp dụng qui tắc nhân xác suất 
thì lời giải tường minh như sau:
Lời giải
GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2 7 Hướng dẫn học sinh phân loại và giải một số dạng toán xác suất lớp 11
học sinh thấy được ưu điểm của việc tính xác suất của biến cố bằng cách chuyển 
qua biến cố đối.
Lời giải 1: 
Xét phép thử T: “ Lấy 3 bóng đèn trong 1 hộp có 12 bóng” 
 3
 n() C12 220
Gọi A: “ 3 bóng lấy được có ít nhất 1 bóng tốt” 
 A1: “ lấy được 1 bóng tốt và 2 bóng xấu”
 A2: “ lấy được 2 bóng tốt và 1 bóng xấu”
 A3: “ lấy được 3 bóng tốt”
Nhận xét: A = A1  A2  A3 và các biến cố A1, A2, A3 đôi một xung khắc nên: 
 1 2 2 1 3
 C7 .C5 C7 .C5 C7 70 105 35 21
 P(A) P(A1 ) P(A2 ) P(A3 ) 3 3 3 = 
 C12 C912 C12 220 220 220 22
Lời giải 2: 
Xét biến cố A : “ 3 bóng lấy được đều là bóng xấu”
 10 1
 n( ) C 3 10. P(A) .
 A 5 120 22
 1 21
Vì biến cố đối của biến cố A là biến cố A nên: P(A) 1 .
 22 22
 Để tính xác suất của biến cố bằng cách chuyển qua biến cố đối thì tôi lưu ý 
cho học sinh 1 vài nhận dạng cơ bản sau: Các bài toán có cụm từ “có ít nhất”; 
“có tất cả” hoặc liên qua đến số chẵn, lẻ, vô nghiệm,có nghiệm, , ta có thể làm 
xuất hiện phần bù và nghĩ đến biến cố đối. Vậy yêu cầu đối với học sinh là các 
em cần biết cách xác định tốt mệnh đề phủ định và phép toán lấy phần bù trong 
1 tập hợp để tránh xác định sai biến cố đối. Nếu chưa quen, học sinh có thể làm 
bằng cách: viết ra nháp mệnh đề là biến cố cần tính xác suất sau đó xác định 
mệnh đề phủ định của mệnh đề đó tức là xác định được biến cố đối của biến cố 
đang xét.
Có những bài toán lại cho trực tiếp xác suất. Với những bài toán như vậy, chắc 
chắn ta phải sử dụng các quy tắc tính xác suất để tính.
Ví dụ 2:
 Xác suất trúng hồng tâm của 1 người bắn cung là 0,2. Tính xác suất để 
trong 3 lần bắn độc lập.
a. Người đó bắn trúng hồng tâm đúng 1 lần;
b. Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất 1 lần. 
Lời giải:
a. Gọi biến cố A: “ Trong ba lần bắn, người bắn cung bắn trúng hồng tâm đúng 
1 lần”
 A1: “ Người bắn cung bắn trúng hồng tâm ở lần thứ nhất”
 A2: “ Người bắn cung bắn trúng hồng tâm ở lần thứ hai”
 A3: “ Người bắn cung bắn trúng hồng tâm ở lần thứ ba”
Nhận xét: . A A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3
 . Các biến cố: A1 A2 A3 ; A1 A2 A3 ; A1 A2 A3 đôi một xung khắc
GV_Nguyễn Thị Thu – Trường THPT Yên Định 2 9