Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh THPT ôn tập kiến thức và giải toán vectơ

 Sáng kiến kinh nghiệm 2016-2017
 MỤC LỤC
 Trang 
 1. Mở đầu 2
 1.1. Lí do chọn đề tài 2
 4
 1.2. Mục đích nghiên cứu 2
 1.3. Đối tượng nghiên cứu 2
 1.4. Phương pháp nghiên cứu 3
 2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3
 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3
 2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 5
 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 6
 2.3.1. Phần I: Ôn tập kiến thức cơ bản 6
 2.3.2. Phần II: Bài tập vận dụng dưới hình thức tự luận 8
 * Bài tập vận dụng các phép toán cộng véc tơ, trừ véc tơ và nhân 
 véc tơ với một số
 * Bài tập vận dụng véc tơ cùng phương, véc tơ đồng phẳng
 * Bài tập vận dụng tích vô hướng của hai véc tơ
 2.3.3. Phần III: Bài tập vận dụng dưới hình thức TNKQ 11
 2.3.4. Phần IV: Một số bài toán thực tế liên môn 13
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo 14
 dục,với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
 2.4.1. Tác dụng của sáng kiến kinh nghiệm đến chất lượng giảng 14
 dạy và giáo dục của bản thân
 2.4.2. Tác dụng của sáng kiến kinh nghiệm đối với học sinh 15
 2.4.3. Ảnh hưởng của sáng kiến kinh nghiệm đến phong trào giáo 15
 dục trong nhà trường
 3. Kết luận, kiến nghị 15
 3.1. Kết luận 15
 3.2. Kiến nghị 16
 1 Sáng kiến kinh nghiệm 2016-2017
 - Một số bài toán tích hợp liên môn của véc tơ.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
 - Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Tổng hợp lại các kiến thức lí 
thuyết về véc tơ nằm rải rác ở các khối lớp của SGK Hình học 10,11,12. 
 - Phương pháp điều tra thực tế, thu thập thông tin: Trong quá trình giảng dạy 
nắm bắt được nhu cầu thực tế của học sinh từ đó tiến hành điều tra, khảo sát thực 
tế, so sánh kết quả làm bài kiểm tra 45 phút của học sinh hai lớp 11C2 và 11C5 
năm học 2016-2017.
 - Hướng dẫn học sinh phát huy khả năng quan sát. Quan sát trong toán học nhằm 
ba mục đích: một là thu nhận kiến thức mới, hai là vận dụng kiến thức để giải bài 
tập, ba là kết hợp với các kiến thức khác để tạo ra kiến thức mới
Nắm vững phương pháp trí nhớ khoa học. Trí nhớ là chỉ sự việc đã trải qua còn 
giữ lại được trong đầu. Việc làm lại bài tập đã được hướng dẫn và giải các bài tập 
tương tự cũng là một quá trình tái hiện, là mục đích cuối cùng của trí nhớ. Điều 
này có ý nghĩa vô cùng to lớn đối với việc học và giảng dạy.
 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 Các kiến thức chuẩn bị
1) PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ VECTƠ
a. Định nghĩa phép cộng véc tơ: Cho hai vectơ a,b . Lấy một điểm A tuỳ ý, vẽ 
   
AB a, BC b . Véc tơ AC gọi là tổng của hai vectơ a,b . Ta kí hiệu tổng của hai 
  
véc tơ a,b là a b . Vậy AC a b .[1]
    
b. Quy tắc ba điểm: Với ba điểm tùy ý A,B,C ta luôn có AB BC AC [1]
    
c. Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì A B A D A C [1] 
 AB AD AA AC 
d. Quy tắc hình hộp: Nếu ABCD.A B C D là hình hộp thì: [2] 
e. Định nghĩa phép trừ véc tơ: Cho hai véc tơ a và b . Ta gọi hiệu của hai véc tơ a 
và b là véc tơ a ( b) , kí hiệu a b .[1]
    
Chú ý: Với ba điểm tùy ý O, A,B ta có AB OB OA [1]
2) PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ
a. Định nghĩa: Trong không gian, tích của vectơ a với một số thực k là một vectơ, 
ký hiệu ka được xác định như sau:
+) ka cùng hướng với a nếu k 0 và ngược hướng với a nếu k 0 .
+) ka k . a .[6]
b. Các tính chất: 
+) 0.a 0; k.0 0; 1.a a; ( 1).a a 
+) k la kl a 
+) k a b ka kb 
+) k l a ka la [6]
c. Các kết quả cần nhớ:
 3 Sáng kiến kinh nghiệm 2016-2017
 k k '
  
 ka lb mc k'a l 'b m'c l l '
 m m'
+) Áp dụng: 
 Chứng minh các điểm đồng phẳng: Bốn điểm A, B,C, D đồng phẳng khi và chỉ khi 
    
ba vec tơ AB, AC, AD đồng phẳng.
 Chứng minh  đường thẳng song song với mặt phẳng: Cho hai vec tơ không cùng 
phương x, y nằm trong mp(P) thì đường thẳng AB / /(P) khi và chỉ khi ba vec tơ 
  
AB, x, y đồng phẳng và điểm A P .
4) TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG
a.Định nghĩa: 
 a b a
Cho hai véc tơ và đều khác véc tơ không. Tích vô hướng của hai vec tơ và 
b là một số, kí hiệu là a.b và được xác định bởi công thức:
 a.b a . b .cos a,b 
    
Trường hợp a O hoặc b O ta quy ước a.b O [1]
 2 2 2
Chú ý: a.a kí hiệu a và a = a .[1]
b.Các tính chất: 
 2 2 2 
 2.1. a.0 0 2.6. a b a b 2a.b
 2 2 2 2 
 2.2. a.b b.a 2.7. a b c a b c 2a.b 2b.c 2c.a
 2 2 2 
 2.3. a kb k a.b 2.8. a.b a .b , dấu “=” a,b cùng phương
   
 2.4. 2.9. 1 2 2 2
 a b c a.b a.c AB. AC AB AC BC [2]
 2
 2 2 
 2.5. a b a b a b 
c. Áp dụng:
  2
+) Tính độ dài đoạn thẳng AB: AB2 AB
   
   AB.CD
+) Tính góc của hai đường thẳng: cos AB,CD cos AB,CD   
 AB . CD
   
+) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: AB  CD AB.CD 0
2.2. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 Về phía học sinh: Khi gặp các bài toán về véc tơ các em thường rất lúng túng 
vì không nhớ được công thức, chưa phân loại đươc các dạng bài tập và trong quá 
trình biến đổi cũng thường dẫn đến sự sai sót (việc này lí giải một cách đơn giản 
thì đó là do chưa nắm vững các kỹ thuật, mọi cái đều đại khái nên chưa chú ý đến 
những tiểu tiết nhưng lại vô cùng quan trọng).
 Về phía giáo viên: Giáo viên chưa thực sự tạo ra tâm thế hứng thú, sẵn sàng 
lĩnh hội tri thức môn học để thúc đẩy tính tích cực tư duy của học sinh, chưa khắc 
phục được tâm lí “ngại”, “sợ” khi tiếp cận các bài toán giải véc tơ.
 5 Sáng kiến kinh nghiệm 2016-2017
     
 .) GA GB GC GD 0
  1     
 .) Với mọi điểm O ta có: OG OA OB OC OD .[6]
  4    
 +) Gọi G là trọng tâm tứ diện ABCD GA GB GC GD 0 .[6]
3) VECTƠ CÙNG PHƯƠNG - VECTƠ ĐỒNG PHẲNG VÀ ÁP DỤNG
a. Véc tơ cùng phương
+) Định nghĩa: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song 
hoặc trùng nhau.
 Quy ước: vectơ 0 cùng phương với mọi vectơ. [1]
+) Nhận xét: Cho hai vectơ a,b (a 0) . 
Khi đó: a,b cùng phương k R : b ka
+) Áp dụng:   
 Chứng minh các điểm thẳng hàng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB, AC 
   
 AB k.AC k 0
 cùng phương , ;   
 Chứng minh hai đường thẳng song song: AB / /CD AB,CD cùng phương và 
 điểm A CD .
b. Véc tơ đồng phẳng
+ ) Định nghĩa: 
- Trong không gian ba vectơ a,b,c được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng 
cùng song song với một mặt phẳng. [2] 
 Chú ý: Trong ba véc tơ có một véc tơ 0 hoặc hai vectơ cùng phương thì ba vec tơ 
đó đồng phẳng. 
+) Các định lý: 
 Định lý 1: Trong không gian cho hai vec tơ a,b không cùng phương và véc tơ 
 c .Khi đó ba vec tơ a,b,c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số k,l sao cho 
 c ka lb (k, l là duy nhất). [2]
 Định lý 2: Trong không gian cho ba vec tơ a,b,c không đồng phẳng . Khi đó với 
 x x ka lb mc
mọi vec tơ ta đều có: (k, l, m là duy nhất). [2]
Nhận xét: Nếu ba vec tơ a,b,c không đồng phẳng thì:
 k k '
  
 ka lb mc k'a l 'b m'c l l '
 m m'
+) Áp dụng: 
 Chứng minh các điểm đồng phẳng: Bốn điểm A, B,C, D đồng phẳng khi và chỉ khi 
    
ba vec tơ AB, AC, AD đồng phẳng.
 Chứng minh  đường thẳng song song với mặt phẳng: Cho hai vec tơ không cùng 
phương x, y nằm trong mp(P) thì đường thẳng AB / /(P) khi và chỉ khi ba vec tơ 
  
AB, x, y đồng phẳng và điểm A P .
4) TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG
a.Định nghĩa:
 7 Sáng kiến kinh nghiệm 2016-2017
Hướng dẫn: Dùng  quy tắc 3 điểm phân tích vec tơ sao cho liên hệ với theo hai 
vecto u AK, v BM ; Lưu ý tính chất về đường trung tuyến; trung điểm khi giải 
toán.
Bài 6. Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. 
Chứng minh rằng:     
 2MN AC BD BC AD .[1]
 HD: (lưu ý M và N lần lượt  là trung điểm các cạnh AB và CD)
 * Chứng minh 2MN AC BD :
     
 MN MA AC CN     
 Ta có:      2MN AC BD (1)
 MN MB BD DN  
    
 * Chứng minh 2MN BC AD :
     
 MN MB BC CN     
 Ta có:      2MN BC AD (2)
 MN MA AD DN  
      
 Từ (1) và (2) suy ra: 2MN AC BD BC AD .
    
Bài 7. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Đặt AB a, AD b,AA ' c . Lấy điểm 
     
M AC, N BD ' sao cho AM k AC, BN lBD ' . Hãy biểu diễn các vectơ
     
 CA', D 'B, MC ', MN theo ba vectơ a,b,c .
     
Hướng dẫn: Dùng quy tắc 3 điểm phân tích, biểu thị các vec tơ CA', D 'B, MC ', MN 
theo các véc tơ a,b,c
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD. Chứng minh  rằng:  
 SA SC SB SD
 ABCD là hình bình hành        
Hướng dẫn: Ta có SA SC SB SD SA SB SD SC BA CD
 Vậy với hình chóp S.ABCD  thì ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi: 
 SA SC SB SD
Bài 9. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là các điểm chia AD và BC theo tỷ số k. 
   
  AB k.DC
Chứng minh rằng: MN [6]
 1 k
Hướng dẫn: Với mọi điểm O ta có
   
  OA k.OD
 M chia AD theo tỷ số k: OM ; 
 1 k
   
  OB k.OC
 N chia BC theo tỷ số k: ON ;
 1 k
       
    OB OA k OC OD AB k DC
 Suy ra: MN ON OM .
 1 k 1 k
* Các bài tập vận dụng véc tơ cùng phương, véc tơ đồng phẳng  
 AM 3MD
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho  và trên 
cạnh BC lấy điểm N sao cho NB 3NC .Chứng minh rằng ba véc tơ AB, MN, DC 
đồng phẳng.[6]
 9