Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An

 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN Độc lập – Tự do – Hạnh phúc 
 An Giang, ngày 20 tháng 2 năm 2019. 
 BÁO CÁO 
 Kết quả thực hiện sáng kiến kinh nghiệm: 
 MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO HỌC SINH GIỎI 
 LỚP 11 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN. 
 I. SƠ LƯỢC LÝ LỊCH CỦA TÁC GIẢ: 
 Họ và tên: Lê Quốc Sang 
 Ngày tháng năm sinh: 09/08/1982 
 Nơi thường trú: Thị trấn Phú Mỹ, Phú Tân, An Giang 
 Đơn vị công tác: Trường trung học phổ thông Chu Văn An 
 Chức vụ hiện nay: Tổ trưởng tổ Toán, Bí thư Chi bộ KHTN 2 
 Lĩnh vực công tác: chuyên môn Toán 
 II. SƠ LƯỢC ĐẶC ĐIỂM TÌNH HÌNH ĐƠN VỊ: 
 1. Đặc điểm tình hình: 
 Trường THPT Chu Văn An được thành lập từ năm 1975, tiền thân là trường cấp 
 III Phú Tân, trải qua hơn 4 thập kỷ đội ngũ cán bộ, giáo viên, viên chức ngày càng lớn 
 mạnh. Nhìn chung, bộ máy tổ chức của trường THPT Chu Văn An ổn định, các tổ 
 chuyên môn đoàn kết, gương mẫu làm tốt nhiệm vụ được giao. Trường học nhiều năm 
 liền được đánh giá “hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ”. 
 Thành tích đạt được năm học 2017-2018 như sau: 
  Chất lượng văn hóa: 
  Học lực: 
 Giỏi: 304 học sinh, tỉ lệ: 23,68% 
 Khá: 708 học sinh, tỉ lệ: 55,14% 
 Trung bình: 244 học sinh, tỉ lệ: 19% 
 Yếu: 06 học sinh, tỉ lệ: 2,18% 
  Hạnh kiểm: 
 Tốt: 1265 học sinh, tỉ lệ: 98,52% 
 Khá: 18 học sinh, tỉ lệ: 1,4% 
 Trung bình: 1 học sinh, tỉ lệ: 0,08% 
 Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 1 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 
 n
  Giới hạn của tổng thường gặp: lim  H xi 
 i 1
  Giới hạn của các dãy số sinh bởi nghiệm của phương trình. 
2. Nội dung sáng kiến: 
2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề: 
2.1.1. Các định nghĩa: 
 1) Dãy số tăng, dãy số giảm. 
 *
 Dãy số un được gọi là dãy số tăng nếu un u n 1,  n 
 *
 Dãy số un được gọi là dãy số giảm nếu un u n 1,  n 
 2) Dãy số bị chặn. 
 *
 Dãy số un được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un M,  n 
 *
 Dãy số un được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un m,  n 
 Dãy số un được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới . 
 3) Cấp số cộng. 
 *
 Dãy số un được gọi là cấp số cộng nếu un 1 u n d , n , trong đó d là 
 số không đổi, gọi là công sai của cấp số cộng. 
 Nếu dãy số un là cấp số cộng thì un u1 n 1 d ,  n 2. 
 Nếu dãy số un là cấp số cộng thì tổng 
 n
 S u u ... u u u 
 n1 2 n2 1 n
 4) Cấp số nhân. 
 *
 Dãy số un đươc gọi là cấp số nhân nếu un 1 u n. q , n , trong đó q là số 
 không đổi, gọi là công bội của cấp số nhân. 
 n 1
 Nếu dãy số un là cấp số nhân thì un u1. q ,  n 2 
 Nếu dãy số un là cấp số nhân với q 1, q 0 thì tổng 
 1 qn
 S u u ... u u . 
 n1 2 n 1 1 q
2.1.2. Các định lý: 
 1) Định lý 1. Nếu lim un a thì lim un a 
 2) Định lý 2. Nếu q 1 thì limqn 0 
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 3 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 
 u
Tính giới hạn L lim n 
 un 1
Bài giải 
 Theo đề suy ra: u1 2 
 u2 u 1 2.1 3 
 u3 u 2 2.2 3 
 un u n 1 2 n 1 3 
 Cộng theo vế n đẳng thức trên ta được 
 u 2 2 1 2 ... n 1 3 n 1 
 n 
 2
 un 2 n 1 n 3 n 1 n 4 n 5 
 2
 un 1 u n 2 n 3 n 2 n 2 
 4 5
 1 
 u n2 4 n 5 n 2
 L limn lim limn 1 
 u 2 2 2
 n 1 n 2 n 2 1 
 n n2
 u 1
 1
Bài toán 2: Cho dãy số u xác định bởi: u . 
 n u n ; n 1
 n 1 1 3n 2 u
 n
Tính giới hạn L lim un 
Bài giải 
 1 1
 Từ công thức truy hồi suy ra 3n 2; n 1 
 un 1 u n
 Từ đó ta có 
 1
 1 
 u1
 1 1
 3.1 2 
 u2 u 1
 1 1
 3.2 2 
 u3 u 2
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 5 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 
 u 
 n 
Tính giới hạn L lim 
 3n 
Bài giải 
 Từ đẳng thức (1), ta có: un 2 2 u n 1 3 u n 1 2 u n 
 Đặt vn u n 1 2 u n ,  n 1. 
 Khi đó: un 2 2 u n 1 3 u n 1 2 u n v n 1 3. v n ( v n ) là một cấp số 
nhân có công bội q 3 và số hạng đầu v1 u 2 2 u 1 1 
 n 1 n 1
 Suy ra vn v1. q 3 ,  n 1. 
 Mặt khác, cũng từ đẳng thức (1), ta có: un 2 3 u n 1 2 u n 1 3 u n 
 Đặt wn u n 1 3 u n ,  n 1. 
 Khi đó: un 2 3 u n 1 2 u n 1 3 u n w n 1 2. w n ( w n ) là một cấp số 
 nhân có công bội q 2 và số hạng đầu w1 u 2 3 u 1 1 
 n 1 n 1
 Suy ra wn w1. q 2 ,  n 1. 
 n 1
 u 2 u 3
 Ta có hệ phương trình n 1 n u 3n 1 2 n 1 ,  n 1 
 u 3 u 2n 1 n
 n 1 n
 n 1 
 u 3n 1 2 n 1 1 1 2 1
 n 
 Vậy L lim lim lim 
 3n 3 n 3 3 3 3
Bài toán 5. Cho dãy số ()un xác định bởi công thức: 
 u1 1; u 2 2
 . 
 n. u (3 n 2). u 2( n 1). u ,  n * (1)
 n 2 n 1 n
 u 
 n 
Tính giới hạn L lim 
 n.2n 
Bài giải 
 Từ đẳng thức (1): 
 nu.n 2 (3 nu 2). n 1 2( nunuu 1). n n 2 n 1 2( nuu 1) n 1 n 
 u u u u
 n 2 n 1 2. n 1 n 
 n 1 n
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 7 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 
 Vậy L lim un 0 
 u 1
 1
Bài toán 7. Cho dãy số thực ()un xác định bởi 1 2019 . 
 u u ,  n 2 (1)
 n2 n 1 u 
 n 1 
Tính giới hạn L lim u
 n 
Bài giải 
 Bằng phép quy nạp toán học, ta chứng minh được un 0,  n 1. Mặt khác, ta 
lại có: 
 1 2019 1 2019
 u u .2. u . 2019 , vậy dãy ()u bị chặn dưới. 
 n n 1 n 1 n
 2 un 1 2 u n 1
 Từ hệ thức (1), ta suy ra được: 
 2
 * 1 2019 2019 u
 n , u u u u n 0 , vậy dãy ()u là 
 n 1 n n n n
 2 un 2 u n
dãy số giảm. 
 Do ()un giảm và bị chặn dưới nên theo Tiêu chuẩn Weierstrass nó có giới hạn. 
 Giả sử lim un a thì a 2019 
 Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n ta có: 
 1 2019 
 a a a 2019 
 2 a 
 Vậy L lim un 2019 
 x 2019
 0
Bài toán 8. Cho dãy số thực x xác định bởi: 1 . 
 n x ,  n 
 n 1 4 3x
 n
Tính giới hạn L lim x
 n 
Bài giải 
 1 3
 Xét hàm số f x , ta có f' x 0 suy ra f là hàm tăng. 
 2
 4 3x 4 3x 
 Tính toán trực tiếp ta có x x , do đó dãy x tăng. (1) 
 2 3 n n 2
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 9 Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang 
 un 1 a f( u n ) f ( a ) f '( c n ) u n a 
 =f '( cn ) u n a (c n u n ; a  c n a ; u n ) 
 n
 1 1 
 <u a <...< u a 
 n 1
 2 2 2 2 
 n n
 1 1 
 Như thế ta có: 0 u a u a mà lim u a 0 
 n 1 1 1
 2 2 n 2 2 
 nên limu a 0 lim u a 0 
 n n 1 n n 1
 limu lim u a 
 n n n n 1
 3 15
 Vậy dãy số u có giới hạn hữu hạn khi n và lim u 
 n n n 2
Bài toán 10. Khảo sát sự hội tụ của dãy số thực an cho bởi 
 1 *
 a1 a 0, an 1 , n . 
 1 an
Bài giải 
 Chứng minh bằng qui nạp ta được a 0;1 
 n 
 1 1
 Với f x , x 0;1 thì a f a và f' x 0 
 n 1 n 2
 1 x 1 x 
 1 1 x 
 Xét g x f f x f ,  x 0;1 , g x là hàm tăng. (1) 
 1 x 2 x 
 Đối với dãy a2n 1 ta có 
 g a f f a f a a a (2) 
 2n 1 2 n 1 2 n 2 2 n 3 2 n 1 1
 Từ (1) và (2) suy ra dãy a đơn điệu và bị chặn trên 0;1 nên a hội tụ 
 2n 1 2n 1 
 đến k , tương tự dãy a2n cũng hội tụ đến l . 
 Do k và l là nghiệm dương duy nhất của phương trình g x x hay 
 5 1
 k l . 
 2
 5 1
 Vậy lima 
 n 2
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 11