Sáng kiến kinh nghiệm Một số biện pháp khắc phục khó khăn cho học sinh khi giải bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

 MỤC LỤC
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN...................................................................1
 I. Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến................................................................2
 II. Mô tả giải pháp....................................................................................................3
 1.Thực trạng trước khi tạo ra sáng kiến. ................................................................3
 2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:................................................................3
 2.1. Nêu vấn đề cần giải quyết: ..........................................................................3
 2.2. Chỉ ra tính mới: ...........................................................................................3
 2.3. Sự khác biệt của giải pháp mới so với giải pháp cũ:...................................4
 2.4. Cách thức thực hiện, các bước thực hiện của giải pháp một cách cụ thể, rõ 
 ràng, cũng như các điều kiện cụ thể để áp dụng giải pháp................................4
 2.4.1: Chuẩn bị các kiến thức liên quan. ........................................................4
 2.4.2. Nêu, phân tích và giải pháp khắc phục một số khó khăn mà học sinh 
 thường gặp khi giải toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong 
 không gian......................................................................................................6
 2.5. Nêu rõ khả năng áp dụng vào thực tế của giải pháp mới và mang lại lợi ích 
 thiết thực...............................................................................................................18
 2.6. Giải pháp mới này còn có thể áp dụng cho đối tượng, cơ quan, tổ chức nào 
 nữa không ? ..........................................................................................................18
 III. Hiệu quả do sáng kiến đem lại: ......................................................................18
 1. Hiệu quả về kinh tế: .........................................................................................18
 2. Hiệu quả về mặt xã hội: ...................................................................................18
 IV. Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền: .....................................18
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................19 BÁO CÁO SÁNG KIẾN
I. Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến. 
 Nội dung hình học không gian thường xoay quanh ba đối tượng điểm, 
đường thẳng, mặt phẳng. Mở đầu nội dung hình học không gian chương II trong 
sách giáo khoa hình học lớp 11 ban cơ bản đã trình bày “Đại cương về đường 
thẳng và mặt phẳng”. Mặt khác hầu hết các bài toán hình học không gian đều liên 
quan đến hai đối tượng này. Do vậy nếu học sinh thành thạo giải bài toán tìm giao 
điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian thì sẽ góp phần giải quyết 
được rất nhiều bài toán hình học không gian khác như: bài toán tìm giao tuyến, bài 
toán tìm thiết diện, bài toán liên quan đến khoảng khoảng cách, bài toán phân chia 
và lắp ghép khối đa diện, Như vậy nội dung của bài toán là một trong những nội 
dung cơ sở, nội dung mở đầu của hình học không gian, nên nó đóng vai trò quan 
trọng trong hình học không gian. Nếu học sinh không thành thạo bài toán này sẽ 
dẫn đến sự lúng túng khi học các nội dung tiếp theo (chẳng hạn như không vẽ 
được hình, không xác định được giao tuyến, thiết diện,..).
 Bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng không phải là bài 
toán khó trong mảng hình học không gian, nhưng không phải học sinh nào cũng 
thành thạo bài toán này. Trong quá trình dạy học và quan sát học sinh giải bài 
toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng tác giả thấy các em còn mắc 
phải một số khó khăn như: khả năng tưởng tượng hình không gian chưa tốt, chưa 
có con đường rõ ràng để chỉ ra mặt phẳng phụ chứa đường thẳng và cắt mặt phẳng 
theo giao tuyến nào đó, chưa biết cách quan sát và kiểm tra một đường thẳng có 
thuộc một mặt phẳng hay không  Bên cạnh đó các em còn có tâm lí tránh né các 
câu hình trong các bài kiểm tra cũng như trong các đề thi tập trung. Nguyên nhân 
của thực trạng này là do các em không có kiến thức nền tảng vững chắc về hình 
học không gian, chưa có phương pháp tư duy phù hợp, khả năng tư duy trừu tượng 
và tưởng tượng hình không gian của các em chưa tốt, Thêm vào đó là còn một 
số giáo viên có quan niệm chỉ tập trung dạy phần Đại số và giải tích mà coi nhẹ 
phần Hình học. Với lí do phần Đại số và giải tích chiếm nhiều điểm hơn phần 
Hình học trong các đề thi, và cho rằng học sinh khó lấy điểm nội dung Hình học 
hơn là nội dung Đại số và giải tích, dẫn đến việc các em ít được rèn luyện nội dung 
này.
 Từ điều kiện hoàn cảnh như vậy tác giả đã nảy sinh sáng kiến: “Một số giải 
pháp khắc phục khó khăn cho học sinh khi giải bài toán tìm giao điểm của đường 
thẳng và mặt phẳng trong không gian”. Với mong muốn giúp các em giảm bớt khó 
khăn khi bắt đầu làm quen với nội dung hình học không gian. Tác giả hy vọng 
rằng sáng siến kinh nghiệm của bản thân sẽ góp một phần nhỏ để nâng cao chất 
lượng giảng dạy môn Toán cho nhà trường nói riêng và cho các em học sinh nói 
chung. Từ đó góp phần nhỏ bé của mình nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện 
của trường THPT Lý Nhân Tông nói riêng của tỉnh Nam Định nói chung .
 2
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông -Học sinh hiểu và tìm được mặt phẳng (  ) trong cách 2.
 2.3. Sự khác biệt của giải pháp mới so với giải pháp cũ: 
 Trong giải pháp cũ học sinh không được chỉ ra khó khăn và cách khắc phục 
khó khăn trong quá trình giải toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. 
Còn trong báo cáo này tác giả đưa ra việc chú trọng làm rõ và hướng dẫn học sinh 
giải quyết một số khó khăn trong quy trình giải toán tìm giao điểm của đường 
thẳng và mặt phẳng, góp phần giúp các em tự tin trong quá trình giải toán hình học 
không gian.
2.4. Cách thức thực hiện, các bước thực hiện của giải pháp một cách cụ thể, 
rõ ràng, cũng như các điều kiện cụ thể để áp dụng giải pháp.
2.4.1: Chuẩn bị các kiến thức liên quan.
*Một số tính chất thừa nhận:
 Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
 Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt không 
 thẳng hàng.
 Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một 
 mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng.
 Tính chất 4: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có một 
 điểm chung khác nữa.
 Từ đó suy ra: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một 
đường thẳng chung đi qua điểm chung đó. Đường thẳng chung đó gọi là giao 
tuyến của hai mặt phẳng. Mọi điểm chung của hai mặt phẳng đều nằm trên giao 
tuyến của hai mặt phẳng.
*Một số cách xác định một mặt phẳng:
 Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng 
 hàng.
 Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa 
 một đường thẳng không đi qua điểm đó.
 Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt 
 nhau.
 Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng song 
 song.
*Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian:
 4
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông 2.4.2. Nêu, phân tích và giải pháp khắc phục một số khó khăn mà học sinh 
thường gặp khi giải toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong 
không gian.
a) Khó khăn thứ nhất: Học sinh lúng túng không biết với bài toán cụ thể thì nên 
dùng theo cách 1 hay cách 2.
 Sở dĩ các em gặp khó khăn này là do các em chưa phân biệt được khi nào thì 
nên làm theo cách 1 và khi nào thì nên làm theo cách 2. Để khắc phục khó khăn 
này giáo viên có thể gợi ý cho các em: Hãy quan sát trong mặt phẳng ( ), nếu có 
ngay đường thẳng d ' thì ta dùng cách 1 còn nếu không có d ' thì ta chuyển sang 
cách 2. Ở đây lại đặt ra vấn đề là hướng dẫn các em nên quan sát như thế nào để 
tránh ngộ nhận hình? Vì thực tế có nhiều học sinh chỉ ra đường thẳng d ' chưa 
đúng?
Tác giả xin nêu ra giải pháp cho khó khăn này như sau: 
Thứ nhất : Giáo viên cần nhấn mạnh hai đặc điểm của đường thẳng d’ là : d’ nằm 
trong mặt phẳng ( ) và d ' cắt d . 
Thứ hai : Nếu một đường thẳng có hai điểm nằm trên một mặt phẳng thì đường 
thẳng nằm trong mặt phẳng. Từ đó HS chỉ cần nối hai điểm sẵn có hoặc những 
điểm đặc biêt như trung điểm của đoạn thẳng , trong mặt phẳng ( ) thì sẽ có 
được một số đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( ) . 
Thứ ba : d ' và d cắt nhau tức là hai đường thẳng này phải cùng nằm trên một 
mặt phẳng. 
VD1 : Cho tứ diện ABCD,gọi M,N lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh 
AB,AC của tứ diện sao cho MN không song song với BC. Tìm giao điểm của 
đường thẳng MN với mặt phẳng (BCD)
Phân tích bài toán: Trong mặt phẳng (BCD) sẵn có các điểm B,C,D. Nối hai điểm 
trong ba điểm này ta có một số đường thẳng sẵn có trong mặt phẳng (BCD) là: 
BC,BD,CD. Trong ba đường thẳng này chỉ có BC thuộc cùng mặt phẳng (ABC) 
với MN, mặt khác theo giả thiết BC và MN không song song với nhau nên BC cắt 
MN. Vậy BC chính là đường thẳng d '.
 6
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông Cách 1: Chúng ta quan sát xem d có thể cắt hoặc song song với những đường 
thẳng d ' nào thì mặt phẳng chứa d và d ' có thể là mặt phẳng () . 
Cách 2: Tìm những cặp đường thẳng a và b cắt nhau hoặc song song lần lượt 
chứa hai điểm của đường thẳng d. Khi đó mặt phẳng () có thể là mặt phẳng chứa 
 a và b.
Cách 3: Chúng ta chú ý đến hai điểm nằm trên d chẳng hạn hai điểm A và B. Sau 
đó quan sát tiếp một trong hai điểm đó có nằm trên đường thẳng a nào đó không 
(Ví dụ A thuộc a ). Khi đó mặt phẳng () có thể là mặt phẳng chứa a và B.
VD3: Cho tứ diện ABCD, gọi K là trung điểm của AD, G là trọng tâm của tam 
giác ABC. Tìm giao điểm của GK và mặt phẳng (BCD).
 A
 P K
 G
 N
 D
 B
 M
 I
 C
Phân tích và hướng dẫn học sinh tìm lời giải: 
Trước hết chúng ta cần quan tâm xem GK có thể nằm trên mặt phẳng nào? 
Cách 1: Quan sát GK có thể song song hoặc cắt những đường thẳng nào?
 Dễ thấy GK có thể cắt các đường thẳng như: AD, BN,AM,CP. 
-Nếu ta kết hợp GK với AM hoặc AD thì ta có được mp (AMD) chứa GK và cắt 
(BCD) theo giao tuyến DM. Từ đó giao điểm của MD với GK chính là giao điểm 
của đường thẳng GK với (BCD).
-Nếu ta kết hợp GK với CP thì ta mặt phẳng (CPK) chứa GK chứa PK//BD nên 
cắt (BCD) theo giao tuyến đi qua C và song song với BD. cắt GK tại I thì I 
là giao điểm của GK với mp(BCD).
 A
 P K
 G
 B
 D
 M
 I
 C
 8
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông Lời giải: Gọi M là trung điểm của BC. Xét tam giác AMD có: 
 AG AK
 2 1 
 GM DK
Suy ra GK không song song với DM. 
 I DM I (BCD)
Gọi GK  DM I GK (BCD) I
 I GK I GK
Cách 3: Ta có K là trung điểm của AD như vậy K thuộc đường thẳng AD, G là 
trọng tâm của tam giác ABC nên A, G, D không thẳng hàng do đó xác định mặt 
phẳng (AGD) hay (AMD) chứa GK và cắt (BCD) theo giao tuyến MD. Từ đó giao 
điểm I của GK và MD chính là giao điểm của GK với (BCD).
Tương tự như vậy chúng ta có thể chỉ thêm các mặt phẳng (CPK), (BNK) chứa 
GK và cắt (BCD) theo những giao tuyến đã chỉ ra trong cách 1. Từ đó dễ dàng xác 
định được giao điểm của đường thẳng GK và mặt phẳng (BCD).
VD4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tìm giao điểm của AC’ với mặt phẳng 
(BDD’B’).
 A
 B
 D
 C
 A' I
 B'
 D' C'
Phân tích:
Cách 1: Tìm trong mặt phẳng (BDD’B’) một đường thẳng cắt đường thẳng AC’.
 Thật vậy: Trong mặt phẳng (BDD’B’) có BD’ cùng thuộc mặt phẳng (ABC’D’) 
với đường thẳng AC’. Nên giao điểm I của AC và đường thẳng BD’ chính là giao 
điểm của AC với (BDD’B’).
Lời giải:
Trong mặt phẳng (ABC’D’) gọi AC ' BD' I
 I BD' I (BDD'B')
 AC '(BDD'B') I
 I AC ' I AC '
 10
Giáo viên: Lê Thị Hà – THPT Lý Nhân Tông