Sáng kiến kinh nghiệm Một số cách giải bài toán lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo

 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 MỘT SỐ CÁCH GIẢI BÀI TOÁN LẬP 
PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG VUễNG GểC 
 CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 
 CHẫO NHAU 
 Trong khụng gian cho hai đường thẳng chộo nhau d1 và d2 . Lập phương trỡnh đường 
thẳng D là đường vuụng gúc chung của hai đường thẳng chộo nhau d1 và d2 . 
 Bài giải: 
 r
Trong bài này ta giả sử đường thẳng d qua A(x ;y ;z ) cú vectơ chỉ phương (VTCP) a , 
 1 r A A A
đường thẳng d2 qua B(xB ;yB ;z B) cú VTCP b 
 a. Trường hợp đặc biệt : d1^ d 2 
 Ta cú cỏch dựng đoạn vuụng gúc chung của hai đường thẳng chộo nhau d1 và d2 như 
sau: 
 d 
 + Dựng mp (P): (P)ẫ d1 và (P)^ d2 tại M 2
 + Dựng MN : MN^ d1 tại N 
 M d1 
 + Đường thẳng MN là đường vuụng gúc chung của d1 và d2 P N 
Chứng minh : “Đường thẳng MN là đường vuụng chung của hai đường thẳng chộo nhau d1 và 
d2” 
Ta cú: d1 ^ MN tại N và d2 ^ MN tại M nờn MN là đường vuụng chung của hai đường 
thẳng chộo nhau d1 và d2 
Nờn ta cú cỏch lập phương trỡnh đường vuụng gúc chung trong trường hợp d1^ d 2 này là: 
 d2 
B1: Lập phương trỡnh mp(P) : (P)ẫ d và (P)^ d r
 1 2 u 
B2: Tỡm M: M= (P) ầ d2 
 r r r
 ộ ự M 
B3: Khi đú D là đường thẳng qua M và cú VTCP u= ở a,b ỷ d1 
 P 
 b. Trong cỏc trường hợp khỏc ta cú thể sử dụng một trong cỏc cỏch sau 
 Cỏch 1: 
 Ta chứng minh D là đường vuụng gúc chung của d1 và d2 
 uuuur r
 ùỡMN^ a
 Ta cú ớuuuur r nờn d1 ^ D và d2 ^ D 
 ợùMN^ b
D ầd1 = M và D ầd2 = N 
 Vậy D là đường vuụng gúc chung của d1 và d2 
 Cỏch 3: 
 r r r r r r r
 ộ ự
B1: Tớnh u= ở a,b ỷ khi đú u^ a và u^ b 
 r r D d1 
B2: Lập phương trỡnh mặt phẳng (P):(P) ẫ d1 và (P) cú cặp VTCP ( a,u ) 
 P 
 M= d ầ (P)
B3: Tỡm M: 2 r
 r r r u 
B4: Khi đú D là đường thẳng qua M và cú VTCP u= ộ a,b ự 
 ở ỷ d 
 M 2
 Ta chứng minh D là đường vuụng gúc chung của d và d 
 r r r r 1 2
Vỡ u^ a và u^ b nờn d1 ^ D và d2 ^ D 
D ầd2 = M 
 r r
 D là đường thẳng qua M và cú VTCP u và M ẻ(P) , (P) cú VTCP u nờn D è (P) 
 r r
d1 ,D đồng phẳng và u;a khụng cựng phương nờn d1 cắt D. 
 Vậy D là đường vuụng gúc chung của d1 và d2 
 Cỏch 4: 
 ỡd1 è (P)
B1: Lập phương trỡnh mp(P): ớ D 
 ợd2 / /(P)
 d2 
B2: Lập phương trỡnh đường thẳng d’ là hỡnh chiếu vuụng gúc của 
d2 lờn (P) r
B3: Tỡm M = d 'ầ d1 u 
 r r r d’ 
 ộ ự
B4: Khi đú D là đường thẳng qua M và cú VTCP u= ở a,b ỷ 
 M 
 P d1 
 Vậy D là đường vuụng gúc chung của d1 và d2 
3. Vớ dụ minh họa 
Vớ dụ1: Trong khụng gian cho hai đường thẳng chộo nhau d1 và d2 cú phương trỡnh lần 
lượt là: 
 ỡx= 8 + t
 ù x--- 3 y 1 z 1
 d1: ớy= 5 + 2t và d2 : = = 
 ù -7 2 3
 ợz= 8 - t
 Viết phương trỡnh đường vuụng gúc chung của hai đường thẳng đú 
 Bài giải 
 Cỏch 1 
 r
 Đường thẳng d1 qua A(8; 5; 8) cú vectơ chỉ phương là a= (1;2; - 1) ; d2 qua B(3;1;1)cú vectơ 
 r
chỉ phương là b= ( - 7;2;3) 
 r r
 ộ ự
Ta cú : ởa, b ỷ = (8;4;16) 
Gọi D là đường vuụng gúc chung của hai đường thẳng d và d thỡ D cú vectơ chỉ phương 
 r 1 2
u= (2;1;4) 
 r r
Mặt phẳng (P) : (P) ẫ d1 và (P) cú cặp VTCP ( u,a ). Suy ra (P) qua A cú vectơ phỏp tuyến 
 uur r r
là: n=ộ u,a ự = (9;6;3) - 
 1 ở ỷ
Phương trỡnh của mp(P): 3x- 2y - z - 6 = 0 
 r r
Mặt phẳng (Q) :(Q) ẫ d2 và (Q) cú cặp VTCP ( u, b ). Suy ra (Q) qua B cú vectơ phỏp tuyến 
uur r r
n=ộ u,b ự = (5; - - 34;11) , phương trỡnh của mp (Q): 5x+ 34y - 11z - 38 = 0 
 2 ở ỷ
 ỡx= 1 + 2t
 ù
Khi đú : D = (P)ầ (Q) , phương trỡnh tham số của D : ớy= t 
 ù
 ợz= - 3 + 4t
 Cỏch 2: 
Gọi : Mẻẻ d1 ; N d 2 khi đú ta cú: M(8+ t;5 + 2t;8 - t); N(3 - 7t';1 + 2t';1 + 3t') 
uuuur
MN= (5 - - 7t' - t; - 4 + 2t' - 2t; - 7 + 3t' + t) 
 r
 Đường thẳng d1 qua A(8;5;8) cú vectơ chỉ phương là a= (1;2; - 1) , đường thẳng d2 
 r
qua B(3;1;1)cú vectơ chỉ phương là b= ( - 7;2;3) . 
 ỡ(P)ẫ d1
Lập phương trỡnh mp(P): ớ 
 ợ(P) / /d2
 r r
Mặt phẳng (P) qua A(8;5;8) cú cặp vectơ chỉ phương ( a,b ) nờn mp (P) cú vectơ phỏp tuyến 
 r r r
 ộ ự
n = ởa,b ỷ = (8;4;16) . Khi đú mp(P) cú phương trỡnh là: 2x+ y + 4z - 53 = 0 
Gọi đường thẳng d’ là hỡnh chiếu vuụng gúc của d2 lờn mặt phẳng (P). Nờn đường thẳng d’ 
là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đú (Q) là mp chứa d2 và vuụng gúc với mp 
(P) 
 r r
Mặt phẳng (Q) qua B(3;1;1) và cú cặp vectơ chỉ phương ( b, n ) nờn mp(Q) cú vectơ phỏp 
 uur r r
 ộ ự
tuyến n '=ở b,n ỷ = (5;34; - 11) , mp (Q) cú phương trỡnh là: 5x+ 34y - 11z - 38 = 0 
 ỡx= 8 + t
 ù ỡt= - 1
 y= 5 + 2t ù
 ù ùx= 7
Gọi M = d 'ầ d1 , toạ độ điểm M là nghiệm của hệ : ớz= 8 - t Û ớ 
 y= 3
 ù2x+ y + 4z - 53 = 0 ù
 ù ợùz= 9
 ợù5x+ 34y - 11z - 38 = 0
Vậy M(7;3;9) 
 r r r uur
 ộ ự
Khi đú D là đường thẳng qua D và cú VTCP u= ở a,b ỷ = (8;4;16) hay u '= (2;1;4) 
 ỡx= 7 + 2t
 ù
 Vậy phương trỡnh tham số của đường thẳng D:ớ y = 3 + t 
 ù
 ợz= 9 + 4t
 Cỏch 5: 
 r
 Đường thẳng đi qua điểm A(8;5;8) cú vectơ chỉ phương là a= (1;2; - 1) ; d2 qua B(3;1;1)cú 
 r
vectơ chỉ phương là b= ( - 7;2;3) 
+ Gọi (P) là mặt phẳng qua A(8;5;8) và vuụng gúc với d , (P) cú vectơ phỏp tuyến 
r 1
a= (1;2; - 1) 
(P) : x+ 2y - z - 10 = 0 
 b. Lập phương trỡnh mặt phẳng (P) đi qua d1 và vuụng gúc với d2. 
 c. Lập phương trỡnh đường thẳng vuụng gúc chung của d1 và d2. 
 Hướng dẫn: 
 r
 a. Đường thẳng d1 đi qua điểm A(0; 3; 6) cú VTCP a = (1;0;1) , d2 đi qua điểm B(2; 1; 
 r
 2 ) và cú VTCP b =(1; - 1; - 1) . 
 r r
 Ta thấy hai vectơ a = (1;0;1) và b =(1; - 1; - 1) khụng cựng phương và hệ gồm hai 
 phương của hai đường thẳng d1 và d2 vụ nghiệm do đú d1 và d2 chộo nhau. 
 r r
 Ta cú a. b = 1.1 + 0.( - 1) + 1.( - 1) = 0 nờn hai đường d1 và d2 vuụng gúc với nhau 
 r
 b. Măt phẳng (P) đi qua điểm A(0; 3; 6) và cú VTPT là b =(1; - 1; - 1), khi đú (P) cú 
 phương trỡnh là : x- y - z +9 = 0 . 
 c. (Khi làm cõu c ta nờn chọn trường hợp đặc biệt để giải) 
 Gọi D là đường thẳng vuụng gúc chung của d1 và d2. 
 ổ-2 11 14 ử
 Đường thẳng d2 cắt mp(P) tại điểm M ỗ;; ữ 
 ố3 3 3 ứ
 r r
 ộ ự
 Ta cú ởa, b ỷ = (1;2; - 1) . 
 ổ-2 11 14 ử r r
 Đường thẳng D đi qua điểm M ỗ;; ữ và cú VTCP là ộa, b ự = (1;2; - 1) cú 
 ố3 3 3 ứ ở ỷ
 ỡ -2
 x= + t
 ù 3
 ù
 ù 11
 phương trỡnh tham số là: ớy= + 2 t 
 ù 3
 ù 14
 ùz= - t
 ợ 3
4. Một số bài tập rốn luyện 
Bài 1. Viết phương trỡnh đường vuụng gúc chung của cỏc cặp đường thẳng chộo nhau sau: 
 ỡx= - 1 + 2t
 ù x- 2 y + 2 z
 a) d1: ớy= 1 + 3t d2 : = = 
 ù 1 5- 2
 ợz= 2 + t
 ỡx=3 + 2 t
 ù
 Đỏp số cõu b : D:ớy = 1 + t 
 ù
 ợz=1 + 4 t
Cho hai lớp kiểm tra ta thu được kết quả như sau: 
1. Lớp 12A2 sĩ số: 43 
 Điểm 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 
Số lượng 10 8 8 5 3 5 4 0 0 0 
2.Lớp 12B1 sĩ số: 40 
Điểm 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 
Số lượng 1 5 7 2 5 8 5 5 2 0 
 Kiểm tra 20 phỳt 
Đề 1. Cho hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt cú phương trỡnh là 
 ỡx=1 + t
 ù x y--1 z 6
d1 :ớ y= - 2 + t d2 : = = 
 ù 1 2 3
 ợz=3 - t
 a) Xột vị trớ tương đối giữa hai đường thẳng d1 và d2. Tớnh gúc giữa chỳng.(3 điểm). 
 b) Lập phương trỡnh mp(P) chứa d1 và vuụng gúc với d1.(2 điểm) 
 c) Lập phương trỡnh đường vuụng gúc chung của d1 và d2.(5 điểm) 
 Đỏp số: 
 a) Hai đường thẳng chộo nhau . Gúc giữa chỳng là 90o . 
 b) (P): x+y-z+5=0. 
 c) Phương trỡnh đường vuụng gúc chung của d1 và d2 là 
 x+1 y + 1 z - 3
 = = 
 5- 4 1
Sau khi cho hai lớp kiểm tra ta thu được kết quả như sau: 
 1. Lớp 12A2 sĩ số: 43 
 Điểm 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1