Sáng kiến kinh nghiệm Một số giải pháp giúp học sinh trường THPT Thường Xuân 2 giải thành thạo bài toán tìm giới hạn của hàm số

 1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài 
 Luật giáo dục cĩ viết: “Phương pháp giáo dục phổ thơng cần phát huy 
tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của 
từng lớp học, mơn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn ruyện kỹ năng vận 
dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho 
học sinh”.
 Tốn học là một mơn học địi hỏi tư duy và logic, phải biết vận dụng và 
kết hợp nhiều kiến thức lại với nhau. Do đĩ, việc phân dạng và hình thành 
phương pháp giải từng dạng tốn là biện pháp mang lại hiệu quả cao trong giảng 
dạy, đặc biệt với đối tượng học sinh cĩ học lực trung bình, yếu.
 Trong quá trình giảng dạy tơi thấy học sinh cịn gặp nhiều lúng túng trong 
việc giải quyết một số bài tốn tìm giới hạn của hàm số, mặc dù đây là bài tốn 
được đánh giá là tương đối dễ, cĩ thể cĩ rất nhiều nguyên nhân dẫn đến tình 
trạng nĩi trên, nhưng theo tơi, nguyên nhân chủ yếu là học sinh chưa biết nhận 
dạng và lựa chọn các phương pháp phù hợp để tìm giới hạn của hàm số.
 Phần giới hạn của hàm số sẽ cĩ trong nội dung của đề thi THPT Quốc gia 
năm 2018, vì vậy việc tìm ra giải pháp giúp học sinh (đặc biệt là học sinh cĩ học 
lực trung bình hoặc yếu) cĩ thể đạt điểm ở phần này là một việc thực sự cần 
thiết.
 Từ những lí do trên tơi chọn đề tài: “ Một số giải pháp giúp học sinh 
trường THPT Thường Xuân 2 giải thành thạo bài tốn tìm giới hạn của hàm số”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
 Nghiên cứu nội dung các tính chất của giới hạn hàm số để tìm ra phương 
pháp cho từng dạng tìm giới hạn hàm số, giúp học sinh tiếp thu dễ dàng. Từ đĩ 
nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 Đối tượng nghiên cứu mà đề tài hướng tới là:
 - Các dạng tốn và phương pháp tìm giới hạn hàm số. Khám phá, phân 
tích lời giải chi tiết từ đĩ học sinh hồn thiện kiến thức và nắm bắt bài tốn một 
cách thấu đáo và cĩ chiều sâu.
 - Nghiên cứu ứng dụng của máy tính cầm tay trong kiểm tra kết quả các 
bài tốn tìm giới hạn hoặc giải nhanh tập trắc nghiệm.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
 + Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo 
liên quan đến giới hạn hàm số, nghiên cứu chương trình giáo khoa của bộ mơn.
 + Phương pháp nghiên cứu thực tế: thơng qua việc dạy và học giúp học 
sinh nhận dạng và biết cách giải bài tốn tìm giới hạn hàm số.
 + Phương pháp kiểm chứng sư phạm: tiến hành dạy và kiểm tra khả năng 
ứng dụng của học sinh nhằm minh chứng cho hiệu quả của việc sử dụng các giải 
pháp.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
 1 a1. Giới hạn đặc biệt:
 +) lim x x0 ; 
 x x0
 +) lim c c (c: hằng số)
 x x0
a2. Định lí:
 +) Nếu lim f (x) L và lim g(x) M thì: 
 x x0 x x0
 lim  f (x) g(x) L M
 x x0
 lim  f (x) g(x) L M
 x x0
 lim  f (x).g(x) L.M
 x x0
 f (x) L
 lim (nếu M 0)
 x x0 g(x) M
 +) Nếu f(x) 0 và lim f (x) L thì L 0 và lim f (x) L
 x x0 x x0
 +) Nếu lim f (x) L thì lim f (x) L
 x x0 x x0
b. Giới hạn một bên:
 lim f (x) L lim f (x) lim f (x) L
 x x 
 0 x x0 x x0
c. Giới hạn vơ cực, giới hạn tại vơ cực:
c1. Giới hạn đặc biệt:
 k
 +) lim x 
 x 
 k nếu k chẵn
 +) lim x 
 x nếu k lẻ
 c
 +) lim c c ; lim 0
 x x xk
 1 1
 +) lim ; lim 
 x 0 x x 0 x
 1 1
 +) lim lim 
 x 0 x x 0 x
c2. Định lí:
 Nếu lim f (x) L 0 và lim g(x) thì:
 x x0 x x0
 nếu L và lim g(x) cùng dấu
 x x0
 +) lim f (x)g(x) 
 x x nếu L và lim g(x) trái dấu
 0 x x
 0
 3 L 
Dạng 2: Dạng 
 0 
 u x 
Dấu hiệu: Tìm giới hạn lim với lim u(x) L 0, lim v(x) 0 
 x x x x x x
 0 v x 0 0
Phương pháp:
 Bước 1: Tính lim u(x) L , với L 0 
 x x0
 Bước 2: Tính lim v(x) 0 và xét dấu biểu thức v(x) với x x0
 x x0
 u x 
 Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận lim
 x x
 0 v x 
 u x
 lim u(x) L lim v(x) 0 
 x x x x lim
 0 0 x x
 0 v x 
 L > 0 v(x) > 0 
 L > 0 v(x) < 0 
 L 0 
 L < 0 v(x) < 0 
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau:
 2x 7 2x 7
 a) lim b) lim
 x 1 x 1 x 1 x 1
 ( Bài tập 4- tr132, Sách ĐS> 11)
Hướng dẫn:
 lim 2x 7 2.1 7 5 0
 x 1 
a) Ta cĩ: 
 lim x 1 0 va x 1 0, x 1
 x 1 
 2x 7
 Vậy lim 
 x 1 x 1
 lim 2x 7 2.1 7 5 0
 x 1 
b) Ta cĩ: 
 lim x 1 0 va x 1 0, x 1
 x 1 
 5 
 2 1 1
 lim x 1 x lim x 1 1 lim x. lim 1 1 
 x x x2 x x x2 
 .2 
 Bài tập vận dụng:
Tìm các giới hạn sau: 
1) lim (x3 3x 1) 2) lim x2 1 x 
 x x 
3) lim ( 5x4 3x2 1) 4) lim 2x 4x2 x 
 x x 
b. Dạng vơ định:
 0 
Dạng 4: Dạng vơ định 
 0 
 u(x)
Dấu hiệu: Tìm giới hạn lim với lim u(x) 0, lim v(x) 0
 x x x x x x
 0 v(x) 0 0
 u(x)
*) L = lim với u(x), v(x) là các đa thức và u(x0) = v(x0) = 0
 x x0 v(x)
Phương pháp: Phân tích cả u(x), v(x) thành nhân tử và rút gọn nhân tử chung 
 x x0 để đưa về dạng cơ bản.
Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau: 
 x3 8 x2 2x 3 
 a) lim b) lim 
 x 2 x2 4 x 1 2x2 x 1 
 ( Ví dụ 4a- tr156, Sách BT ĐS> 11)
Hướng dẫn: 
 3 2
a) Dễ dàng nhận thấy : lim x 8 0 , lim x 4 0
 x 2 x 2 
Ta phân tích: x3 8 (x 2)(x2 2x 2) và x2 4 (x 2)(x 2) .
Khi đĩ: 
 x3 8 (x 2)(x2 2x 4) x2 2x 4 12
 lim lim lim 3
 x 2 x2 4 x 2 (x 2)(x 2) x 2 x 2 4
 b) Nhận xét tương tự câu a) ta cĩ :
 x2 2x 3 x 1 x 3 x 3 4
 lim lim lim 
 x 1 2x2 x 1 x 1 1 x 1 1 3
 2(x 1)(x ) 2(x )
 2 2
 7 x 3 1 1 3 x 1
3) lim 4) lim
 x 4 x2 3x 4 x 0 3x
Dạng 5: Dạng vơ định ( )
 u(x)
Nhận biết : Tìm giới hạn : lim , với limu(x) , lim v(x) 
 x v(x) x x 
 ( (u(x), v(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn).
Phương pháp:
 +) Nếu u(x), v(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất 
 của x.
 +) Nếu u(x), v(x) cĩ chứa căn thì cĩ thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao 
 nhất của x. ( Chú ý rằng nếu x thì coi như x>0 , nếu x thì coi 
 như x < 0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn).
Ví dụ 7. Tìm các giới hạn:
 2x2 5x 3 2x 3 x2 1
 lim lim
 a) 2 b) c) lim
 x x 6x 3 x x2 1 x x x 1
 ( Ví dụ 4c- tr156, Sách BT ĐS> 11)
Hướng dẫn:
 2x2 5x 3
a) Chia cả tử và mẫu của phân thức cho x2 . Khi đĩ :
 x2 6x 3
 5 3
 2 2 
 2x 5x 3 x x2
 lim lim 2
 x 2 x 6 3
 x 6x 3 1 
 x x2
 2x 3
b) Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho x , chú ý khi x thì ta 
 x2 1 x
 cĩ x x2 . Khi đĩ :
 3
 2 
 2x 3 x
 lim lim 1
 x 2 x 1
 x 1 x 1 1
 x2
 2x 3
c) Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho x , chú ý khi x thì ta 
 x2 1 x
cĩ x x2 . Khi đĩ :
 9 
khi đĩ giới hạn được đưa về dạng :
 x+ x2 x 1 x- x2 x 1
 2 
 lim x+ x x 1 lim 
 x x x- x2 x 1
 1
 2 2 1 
 x - x x 1 x 1 x 1
 lim lim lim 
 x x- x2 x 1 x x- x2 x 1 x + 1 1 2
 1+ 1 
 x x2
 1 1 
c) Nhận thấy lim , lim nên giới hạn này thuộc 
 x 2 x 2 x 2 x2 4 
 dạng ( ) ( ) . Khi đĩ dùng quy đồng mẫu số ta đưa giới hạn đã cho về 
 L 
 dạng . Tức là:
 0 
 1 1 x 1
 lim lim 
 x 2 x 2 x2 4 x 2 x2 4
Bài tập vận dụng:
Tìm các giới hạn sau:
 1. lim(2x3 3x)
 x 
 2. lim( x2 3x 2 x)
 x 
 3. lim( x 2 x 2) 
 x 
 2 2
 4. lim ( x 4x 3 x 3x 2) 
 x 
Dạng 7: Dạng vơ định ( .0)
Nhận biết : 
 Tìm giới hạn lim (u(x).v(x)) với limu(x) 0 ,lim v(x) 
 x x x 
Phương pháp: 
 Ta biến đổi limu x .v x dạng 0. về dạng 
 x 
 Sau đĩ sử dụng phương pháp của dạng để giải.
 Chú ý: A B A2B với A,B 0
 A B A2B với A 0,B 0
 11