Sáng kiến kinh nghiệm Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

 Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
 PHẦN MỞ ĐẦU
 Bài toán tìm giới hạn của một dãy cho bởi hệ thức truy hồi là một dạng 
bài toán khó, đòi hỏi nhiều kĩ thuật. Bài toán này thường xuất hiện trong các 
đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi quốc gia và 
quốc tế. Trong quá trình giảng dạy chương trình toán lớp 11 nâng cao và bồi 
dưỡng học sinh giỏi, tôi đã tìm tòi đúc kết và rút ra được một số kĩ thuật tìm 
giới hạn của các bài toán dạng này.
 Hiện nay, các tài liệu chuyên sâu về chuyên đề giới hạn của dãy số cũng 
còn rất hạn chế; với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy bồi dưỡng 
học sinh giỏi các cấp, cung cấp cho các em học sinh, đặc biệt là các em học 
sinh giỏi toán và yêu thích toán có thêm một tài liệu tham khảo về giới hạn 
của dãy số, và những kĩ thuật để tính giới hạn của các dãy cho bởi hệ thức 
truy hồi, tôi nghiên cứu và viết đề tài: “Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy 
cho bởi hệ thức truy hồi”. 
 Xin chân thành cảm ơn!
 Quảng Ngãi tháng 05 năm 2011
 Người thực hiện đề tài
 Huỳnh Đoàn Thuần
 GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 1 Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
 Kĩ thuật 2: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử 
dụng phương pháp đánh giá và nguyên lí kẹp.
 Kĩ thuật 3: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử 
dụng tính đơn điệu và bị chặn của dãy.
 I/ Kĩ thuật 1: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng 
 cách xác định CTTQ của dãy.
 Phương pháp xác định CTTQ của một dãy số cho bởi hệ thức truy hồi 
khá phong phú và đa dạng, trong phạm vi bài viết này tôi chỉ trình bày kĩ 
thuật tìm CTTQ của dãy chủ yếu sử dụng phương pháp đổi biến để đưa dãy 
đã cho về cấp số cộng(CSC) hoặc cấp số nhân(CSN) hoặc tổng hiệu của các 
cấp số cộng, và cấp số nhân. Quay lại bài tập 7 trang 135 sách giáo khoa ĐS 
và GT 11 NC
 u 10
 1
Ví dụ 1: “Cho dãy số (un) xác định như sau: 1
 u u 3,n 1
 n 1 5 n
 15
a) CMR dãy số (vn) xác định bởi v u là một cấp số nhân
 n n 4
b) Tính limun”
Giải: 
a) Ta có (vn) là CSN vn 1 q.vn ( const),q 0,n 1. Thật vậy, ta có
 15 1 15 1 15 3 1
 v u u 3 (v ) v . Nên (vn) là một CSN có 
 n 1 n 1 4 5 n 4 5 n 4 4 5 n
 n 1 n 3
 1 25 n 1 25 1 1 1 
công bội q và v1 . Do đó vn v1.q . . 
 5 4 4 5 4 5 
 n 3
 15 1 1 15 15
b) Từ câu a) suy ra un vn . . Do đó limun .
 4 4 5 4 4
 GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 3 Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
 n
Nhận xét: Có thể tìm CTTQ của dãy (un) bằng phép đổi biếnvn 2 .un ,n 1 
 1 1
Ta có v 2n 1.u 2n 1( u ) v 2n ,n 1 v v 2n ,n 1
 n 1 n 1 2 n 2 n n 1 n
 n 1 n 2
Do đó vn vn vn 1 vn 1 vn 2 .... v2 v1 v1 2 2 ... 2 6
 n 2
 n 1 n 1 
Hay vn 2(2 1) 6 2 4 un 1 
 2 
Ví dụ 3: (Bài 4.73 trang 148 sách bài tập ĐS và GT 11NC, NXBGD 2007)
 u1 1
Cho dãy số (un) xác định bởi u 4
 u n ,n 1
 n 1
 un 6
a) CMR un 4,n 1
 un 1
b) CMR dãy (vn) với vn là một CSN. Tính limun
 un 4
Giải: 
a) Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp un 4,n 1.
Khi n = 1 ta có u1 1 4
Giả sử uk 4,k 1, ta chứng minh uk 1 4. Thật vậy, giả sử ngược lại 
 uk 4
uk 1 4, khi đó 4 uk 4 4uk 24 uk 4 , trái với giả 
 uk 6
thiết quy nạp. Vậy un 4,n 1
b) Từ câu a) suy ra vn luôn xác định với mọi n 1
 u 4
 n 1
 un 1 1 un 6 2(un 1) 2
Ta có v v ,n. Vậy (vn) là 1 CSN lùi 
 n 1 u 4 u 4 5(u 4) 5 n
 n 1 n 4 n
 un 6
 n
 2 2 
vô hạn với công bội q = . Suy ra vn 
 5 5 
 GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 5 Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
 * Bài tập tham khảo:
 u 5
 1
1/ Cho dãy số (un) xác định bởi 2 .Tính limun
 u u 6,n 1
 n 1 3 n
 ĐS: limSn = -18
 u 3
 1 un
2/ Cho dãy số (un) xác định bởi .Tính lim 2n
 2
 un 1 4un 1,n 1
 u 2
 ĐS: lim n 
 22n 3
 u1.u2....un
3/ Cho dãy số (un) xác định bởi u 2 2 .... 2 .Tính lim
 n  2n
 n daucan
 (Đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh Quảng Ngãi năm 2001 – 2002)
 u1.u2....un 2
HD: Tìm được CTTQ của dãy (un) là u 2cos ,n và lim 
 n 2n 1 2n 
4/ Cho dãy số (u ) xác định bởi u 2n. 2 2 .... 2 .Tính limu
 n n  n
 n daucan
 n n 1 
 HD: Từ bài 3 suy ra u 2 . 2 cos 2 .sin . Do đó limun = 
 n 2n 2n 1
 GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 7 Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
 n 1
 1 3 
Mà lim . =0, nên theo nguyên lí kẹp thì limun = 0
 4 4 
Nhận xét: Với ví dụ này, việc xác định CTTQ của dãy (un) như trong kĩ thuật 
1 đã trình bày gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức để đánh 
giá và nguyên lí kẹp thì bài toán được giải quyết rất đơn giản.
 Ví dụ 2: (Bài 4.5 sách bài tập ĐS và GT11 NC, trang 134 NXBGD2007)
 1
 u 
 1 2
Cho dãy số (un) xác định bởi 
 u
 u n ,n 1
 n 1 n 1
 un 1 1
a) CMR: un 0 và ,n
 un 2
b) Tính limun
Giải:
Nhận xét: Việc xác định CTTQ của dãy (un) rất khó khăn, nhưng từ hệ thức 
 u
truy hồi ta thấy có thể đánh giá tỉ số n 1 dễ dàng.
 un
a) Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp được un 0,n 
 u 1 1
Từ hệ thức truy hồi ta có n 1 ,n 1
 un n 1 2
 n
 un un 1 u2 1 1 1 1 1 
b) Từ câu a) ta có 0 un . ....... .u1 . ..... . ,n 1
 un 1 un 2 u1 2 2 2 2 2 
 n
 1 
Mà lim = 0. Nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 0
 2 
Ví dụ 3: (Bài 4.11 sách bài tập ĐS và GT11 NC, trang 135 NXBGD2007)
 u1 10
Cho dãy số (un) xác định bởi . Tính limun
 un 1 un ,n 1
Giải:
 GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 9 Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
 1 1
 u 2 a2 u 2 1 a2 1 
 n n 2 2
 un 1 a 1
 u 1 1
Nên 0 u 1 n (u 1),n 1
 n 1 2 2 n
 un 1 a 1
 2
 1 1 
 0 un 1 (un 1 1) (un 2 1)
 a2 1 a2 1 
 n 1
 1 
 .... (u1 1),n 1
 a2 1 
 n 1
 1 
Hay 1 un .(a 1) 1,n 1
 a2 1 
 n 1
 1 1 
Vì 0 1 lim (a 1) 1 1. 
 2 2 
 a 1 a 1 
Do đó theo nguyên lí kẹp ta được limun = -1
 * Bài tập tham khảo
 u1 1
Bài 1: Cho dãy số (un) xác định bởi 1
 un 1 un n ,n 1
 2
 1
a) CMR u u ,n 1
 n 1 n 2n 1
b) Tính limun
 (Đề thi HSG lớp 11 cấp tỉnh tỉnh Hà Tĩnh năm học 2009 – 2010)
 un 0
Bài 2: Cho dãy số (un) xác định bởi 2
 un un un 1,n 1
 1
a) CMR u ,n 1
 n n
b) Tính limun
 (Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2007 – 2008)
 GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 11 Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
 III/ Kĩ thuật 3: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng
 cách sử dụng tính đơn điệu và bị chặn
 * Cơ sở lí thuyết:
 - Trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao, trang 154 có nêu 
định lí 4 như sau:
“ a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn
 b) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn”
 - Nếu dãy số (un ) thõa mãn điều kiện un M ,n và tồn tại giới hạn 
 limun thì limun M ; nếu dãy số (un ) thõa mãn điều kiện un m,n và tồn 
tại giới hạn limun thì limun m
 - Giả sử dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn thì lim un lim un 1
 n n 
 Áp dụng các tính chất trên, ta có thể tính được giới hạn của các dãy cho 
bởi hệ thức truy hồi. Dạng bài tập này khá phổ biến trong các đề thi HSG cấp 
tỉnh, các đề thi Olympic 30/4, các đề thi HSG cấp Quốc gia và Quốc tế. 
Phương pháp này tỏ ra rất hiệu quả khi giải quyết các bài toán tìm giới hạn 
của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. Sau đây ta xét một số ví dụ minh họa.
 u1 2
Ví dụ 1: Cho dãy số (un ) xác định bởi . Tính limun
 un 1 2 un ,n 1
Giải:
Trước hết ta sẽ chứng minh dãy số (un ) tăng và bị chặn trên.
Chứng minh dãy (un ) tăng bằng quy nạp, tức là un 1>un ,n 1
Khi n = 1 ta có u2 2 u1 2 2 2 u1
 GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 13 Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi
Nên dãy (un) là dãy số dương tăng un u1 1,n 1
Hơn nữa, ta thấy n 3, un un 1 un 2 un un 2 un
 2
Hay un 4un un 4(do un 0) . Nên (un) bị chặn trên bởi 4
Do đó dãy số (un) có giới hạn hữu hạn. Giả sử limun = a, khi đó a 1
Từ hệ thức truy hồi suy ra limun 1 lim un lim un 1
Hay a a a a2 4a . Do a 1> 0 nên a = 4
Vậy limun 4 .
 u1 2010
Ví dụ 3: Cho dãy số (un ) xác định bởi 2
 un 2un.un 1 2011 0 ,n 1
Chứng minh rằng dãy (un) có giới hạn và tính giới hạn đó.
 (Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2010 – 2011)
Giải:
Trước hết ta nhận xét rằng un > 0, với mọi n, 
Thật vậy, ta có u1 = 2010 >0. Giả sử uk 0,k 1, ta chứng minh uk 1 0
 2
 2 uk 2011
Từ hệ thức truy hồi suy ra 2uk .uk 1 uk 2011 0 uk 1 0
 2uk
 2
 un 2011 1 2011
Do đó ta có un 1 (un ) . Theo bất đẳng thức Cosi, ta có 
 2un 2 un
 2
 un 2011 2011
un 1 un. 2011,n 1.
 2un un
 2
 un 1 un 2011 1 2011 1 1
Mặt khác ta có 2 2 1
 un 2un 2 2un 2 2
 2011 2011 1
(vì un 2011,n 1 2 )
 2un 2.2011 2
Nên (un) là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 2011, do đó dãy (un) có giới 
hạn hữu hạn. Giả sử limun = a, khi đó 0 a 2010
 GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 15