Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm dạy khoảng cách trong hình học không gian

 ************************************************************************************ 
 Sáng kiến kinh nghiệm 
 Một số kinh nghiệm dạy khoảng 
 cách trong hình học không gian 
*************************************************************** 
 GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN 
 MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. 
************************************************************************************ 
 2.1- Khoảng cách giữa 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng song song 12 
 Ví dụ minh họa 4 12 
 Ví dụ minh họa 5 12 
 2.2- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 13 
 Ví dụ minh họa 6 13 
 Bài tập tự luyện 14 
 3- Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau. 14 
 Ví dụ minh họa 7 14 
 3.1- Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau và vuông góc với 
 15 
 nhau 
 Ví dụ minh họa 8 16 
 3.2- Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau và không vuông góc 16 
 Ví dụ minh họa 9 17 
 Ví dụ minh họa 10 17 
 Ví dụ minh họa 11 18 
 Ví dụ minh họa 12 19 
 4-Mở rộng bài toán khoảng cách. 21 
 Ví dụ minh họa 13 21 
 III- Kết quả nghiên cứu 22 
 Phần 3: Kết luận - kiến nghị 25 
 I - Kết luận 25 
 II - Kiến nghị 25 
 PHẦN I: MỞ ĐẦU 
*************************************************************** 3
 GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. 
************************************************************************************ 
 - Nêu hướng giải quyết các bài toán tìm khoảng cách trong không gian:
 + khoảng từ 1 điểm đến 1 đường thẳng 
 + khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng 
 + khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song 
 + khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 
 + khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 
 -Mở rộng bài toán khoảng cách. 
Từ các bước cụ thể , học sinh có thể tiến hành bước đầu làm được các bài tập 
trong SGK, sau đó sẽ làm được những bài toán trong các đề thi Đại học có liên 
quan đến vấn đề khoảng cách. 
III- Kế hoạch nghiên cứu 
 Năm 2006, dạy lớp 11 thí điểm phân ban. Dạy tới bài khoảng cách tôi đã 
soạn bài rất kĩ theo SGK và hướng dẫn của SGV. Học sinh của tôi trong giờ lí 
thuyết rất tập trung và tôi cảm thấy các em hiểu bài. Nhưng đến giờ bài tập rất ít 
học sinh làm được các bài tập trong SGK. Các em đều kêu khó. Tôi rất băn khoăn 
suy nghĩ: khi giảng cách làm cho các em thì các em hiểu, nhưng cho tự làm bài 
các em lại thấy khó. Vậy phải làm thế nào cho học sinh có hướng suy nghĩ cách 
giải quyết cho toán? Từ đó tôi suy nghĩ và hình thành chuyên đề này. 
IV- Phương pháp nghiên cứu 
 Tìm hiểu thực tế giảng dạy, học tập ở một số trường trong tỉnh. 
 Nghiên cứu tài liệu 
 Thực nghiệm 
 Nhận xét 
V- Thời gian hoàn thành 
 Sau năm học thí điểm, tôi vừa làm vừa rút kinh nghiệm thực tế khi giảng 
dạy cho những lớp khác nhau. Một năm học sau tôi đã hoàn thiện được đề tài. 
 PHẦN II: NỘI DUNG 
*************************************************************** 5
 GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. 
************************************************************************************ 
 B
 A
 Q)
 K
 H
 P) 
 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm bất kì 
của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. ( Định nghĩa 3- SGK Hình học nâng cao 11 
- trang 114) 
3- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 
 a
 I
 c
 J
 b
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian là độ dài 
đoạn vuông góc chung của hai đường đó . ( Định nghĩa 4 - SGK Hình học nâng 
cao 11 - trang 115) 
 -khoảng cách giữa hai đường chéo nhau a và b bằng kc giữa a và mp (P) 
chứa b và song song với a. 
 II- Cơ sở pháp lí 
 Vì phương pháp này hoàn toàn dùng các định lí, các tính chất, đã được học, 
 được chứng minh trong SGK nên học sinh được sử dụng trong các kì thi. 
*************************************************************** 7
 GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. 
************************************************************************************ 
tam giác MAB vuông tại M thì tính độ dài MH như thế nào? có thể nhớ lại hệ thức 
 1 1 1
trong tam giác vuông: . Nếu tam giác cân tại M? thì H là 
 MH2 MA 2 MB 2
trung điểm của AB. Nếu tam giác thường? thì tính diện tích tam giác và độ dài 
AB, từ đó suy ra độ dài MH. 
 M
 M M
 B A A B H
 A H H B
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a. Tính 
khoảng cách từ A đến SC. 
 Với ví dụ này học sinh không khó khăn trong việc kẻ AH vuông góc với SC 
( H thuộc SC) và nêu hướng tính AH: 
 SO.AC = AH. SC. Giáo viên thống nhất hướng tính và kết quả . 
 S
 H
 D
 C
 O
 A B
1.2 - Khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng. 
 Sau khi đưa ra định nghĩa, giáo viên cho 1 ví dụ. Chắc chắn là nhiều học 
sinh sẽ lúng túng không biết điểm H nằm trên đường nào. 
*************************************************************** 9
 GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. 
************************************************************************************ 
 + Trong mặt (ABCD), kẻ BH vuông góc với AC (H thuộc AC), thế thì BH 
vuông góc với (ACC'A'). Vậy d(B; (ACC'A')) = BH. 
 + BH là đường cao của tam giác nào? HB là đường cao của tam giác vuông 
 1 1 1 ab
ABC nên: 2 2 2 BH 
 BH BA BC a2 b 2
Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng 
a. Gọi M là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ M đến (SCD). 
 Yêu cầu mỗi học sinh làm 1 bước 
 + Mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với (SCD): Lưu ý học sinh chọn mp 
(Q) chỉ cần vuông góc với 1 đường của (SCD). Trong các đường của (SCD) hiện 
nay thấy DC có liên quan nhiều đến quan hệ vuông góc hơn. Yêu cầu hs đọc 
những đường vuông góc với CD. Từ đó hs phát hiện ra mp (SNM) vuông góc với 
CD (N là trung điểm của CD), hay (SNM) vuông góc với (SCD). 
 + Giao tuyến của (SCD) và (SMN) là: SN 
 + Trong (SMN): kẻ MH vuông góc với SN (H thuộc SN) thì MH vuông góc 
với (SCD). Từ đó suy ra d(M; (SCD)) = 
 S
 H
 B
 C
 M
 O N
 A
 D
MH. 
 + MH là chiều cao của tam giác nào? Dựa vào tam giác SMN, học sinh có 
thể đưa ra hướng tính: SO.MN = MH. SN 
III- Thực trạng: 
*************************************************************** 11 
 GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. 
************************************************************************************ 
2- Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song, giữa hai 
mặt phẳng song song. 
2.1- Khoảng cách giữa 1 đường thẳng và một mặt phẳng song song. 
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng 
a. Tính khoảng cách giữa AB và mp(SCD). 
 Hầu như học sinh đều đổi khoảng cách giữa AB và mp(SCD) thành khoảng 
cách từ A (hoặc B) đến (SCD). Sau đó tiến hành theo các bước tính khoảng cách 
từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng. Nhưng việc dựng mặt phẳng qua A và vuông góc với 
(SCD) là hơi phức tạp đối với một số học sinh, một số khác dựng được mặt phẳng 
này nhưng hình vẽ rất rối. 
 Giáo viên gợi ý cho học sinh: đã có sẵn 1 mặt phẳng vuông góc với (SCD) 
(theo ví dụ 3), đó là mặt nào? từ đó gợi ý cho em đổi khoảng cách phải tìm thành 
khoảng cách từ điểm nào tới (SCD)? 
 Qua ví dụ cụ thể trên học sinh có thể dần hình thành "các bước làm để tính 
khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song" như sau: 
 + Tìm mặt phẳng (Q) vuông góc với (P) 
 + Tìm điểm chung M của (Q) và a (nếu a song song với (Q) thì đổi (Q) 
thành (Q') chứa a và song song với (Q)) 
 + Tìm giao tuyến ( ) của (P) và (Q). 
 + Trong (Q): kẻ MH  (H ) . Khi đó MH  (P) và d(a; (P)) = d(M;(P)) 
= MH 
 Nếu là theo các bước đó thì ta dễ dàng biết được khoảng cách trong ví dụ 4 
nên đổi thành khoảng cách từ M ( trung điểm của AB) đến (SCD) chứ không nên 
đổi thành kc từ A hay B đến (SCD). 
Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Tính khoảng cách giữa 
AB’ và mp (A'C'D). 
*************************************************************** 13 
 GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY “KHOẢNG CÁCH” TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. 
************************************************************************************ 
 + Tìm mặt phẳng vuông góc với (A'C'D): đó là mặt phẳng (BDD'B') (vì 
(BDD'B')  A'C') 
 + Giao tuyến của (A'C'D) và (BDD'B'): là DO 
 + Điểm chung của (BDD'B') và (ACB') thuộc đường B'I. 
 + Trong (BDD'B'), kẻ B'H  DO thì khoảng cách phải tìm là B'H. 
 + B'H là đường cao của tam giác B'OD. Từ đó có hướng tính: 
B' H . OD DD '. B ' O 
BÀI TẬP LUYỆN TẬP 
Bài tập 1: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, cạnh bên 2a. M, N lầ lượt 
là trung điểm của AB, AC. Tính khoảng cách giữa BC và (NMC’). 
Bài tập 2: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều AB =2a; BC= 
CD=DA =a. SA vuông góc với mp (ABCD). SA =2a. Tính khoảng cách giữa 
 a) CD và (SAB) 
 b) giữa AB và (SCD) 
 c) giữa BC và (SDO) với O là trung điểm của AB. 
 d) Gọi (P) là mp song song và cách (SAB) một khoảng là a 3 . Tính diện tích 
 4
 của thiết diện tạo thành do cắt hình chóp bởi mp(P). 
Bài tập 3: Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với (ABCD). Tứ giác ABCD là 
hình vuông cạnh a. SA =2a. M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Chứng minh 
rằng MN // (SBD) và tính k/c giữa MN và (DBS). 
3- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 
Sau khi đưa ra định nghĩa khoảng cách giữa hai đường chéo nhau (độ dài đoạn 
vuông góc chung) 
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. 
SA  (ABCD), SA =a. Xác định đoạn vuông góc chung của SA và BC; SA và DB; 
SA và d (trong đó d là đường thẳng nằm trong mp (ABC) và không đi qua A. 
*************************************************************** 15 
 GV: LÊ THỊ THUÝ NGÀ - TRƯỜNG THPT HƯNG YÊN