Sáng kiến kinh nghiệm Một số kỹ năng giải toán hình học không gian cho học sinh lớp 11

 MỞ ĐẦU 
1. Lý Do Chọn Đề Tài : 
 Trong mơn Tốn ở trường phổ thơng phần hình học khơng gian giữ một vai trị, 
vị trí hết sức quan trọng. Ngồi việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải tốn 
hình học khơng gian, cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người 
lao động mới: cẩn thận, chính xác, cĩ tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi 
dưỡng ĩc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh. 
 Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh lớp 11 rất e ngại học 
mơn hình học khơng gian vì các em nghĩ rằng nĩ trừu tượng, thiếu tính thực tế. Chính 
vì thế mà cĩ rất nhiều học sinh học yếu mơn học này, về phần giáo viên cũng gặp 
khơng ít khĩ khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài 
tập hình học khơng gian. Qua năm năm giảng dạy mơn học này tơi cũng đúc kết được 
một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đĩ mà chất 
lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên. Do đây là phần 
nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh cịn chưa quen với tính tư duy trừu tượng 
của nĩ, nên tơi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt 
phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khĩ khăn mà 
học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nĩi chung và 
mơn hình học khơng gian nĩi riêng. 
 Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống, khơng áp 
đặt hoặc lập khuơn máy mĩc do đĩ học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải quyết các 
bài tốn lạ, các bài tốn khĩ. 
 Từ lý do trên tơi đã khai thác, hệ thống hĩa các kiến thức, tổng hợp các phương 
pháp thành một chuyên đề: “Một Số Kỹ Năng Giải Tốn Hình Học Khơng Gian Cho 
Học Sinh Lớp 11 ” 
2. Đối Tượng Và Phạm Vi Nghiên Cứu; 
 Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh lớp 11C1 và 11C8 năm học 2017 
– 2018. 
 Trang 1 
học sinh khơng biết vẽ hình, cịn lúng túng, khơng phân loại được các dạng tốn, chưa 
định hướng được cách giải. Trong khi đĩ bài tốn liên quan đến chứng minh quan hệ 
song song, quan hệ vuơng gĩc trong hình học khơng gian cĩ rất nhiều dạng bài tập 
khác nhau, nhưng chương trình hình học khơng gian 11 khơng nêu cách giải tổng quát 
cho từng dạng, bên cạnh đĩ thời lượng dành cho tiết luyện tập là rất ít. Qua việc khảo 
sát định kỳ nhận thấy nhiều học sinh trình bày lời giải chưa lơgic hoặc khơng làm được 
bài tập liên quan đến chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuơng gĩc trong hình 
học khơng gian. 
 Khi giải các bài tốn hình học khơng gian các giáo viên và học sinh thường gặp 
một số khĩ khăn với nguyên nhân như sau: Học sinh cần phải cĩ trí tưởng tượng 
khơng gian tốt Học sinh quen với hình học phẳng nên khi học các khái niệm của hình 
khơng gian hay nhầm lẫn, chưa biết vận dụng các tính chất của hình học phẳng cho 
hình khơng gian Một số bài tốn khơng gian thì các mối liên hệ giữa giả thiết và kết 
luận chưa rõ ràng làm cho học sinh lúng túng trong việc định hướng cách giải Bên 
cạnh đĩ cịn cĩ nguyên nhân như các em chưa xác định đúng động cơ học tập. 
 Từ những nguyên nhân trên tơi mạnh dạn đưa ra một số giải pháp nhằm nâng 
cao kỹ năng giải tốn hình học khơng gian cho học sinh lớp 11. 
Chương 3: Biện Pháp Giải Quyết Vấn Đề. 
 Để giải được bài hình học tốt theo tơi nghĩ cĩ một số giải pháp tăng cường kỹ 
năng kiến thức cho học sinh đĩ là: 
 Vẽ hình đúng – trực quan nĩ gợi mở và tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải các 
bài tốn và phát huy trí tưởng tượng khơng gian, phát huy tính tích cực và niềm say mê 
học tập của học sinh. Vẽ đúng – trực quan hình vẽ giúp học sinh tránh được các sai 
lầm đáng tiếc. 
 Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh hiểu rõ các khái niệm trong hình học 
khơng gian như : hình chĩp tứ diện hình chĩp đều hình lăng trụ hình hộp hình hộp 
chữ nhật . quan hệ song song của hai đường thẳng hai mặt phẳng đường thẳng và 
mặt phẳng, 
 Sử dụng đồ dùng dạy học một cách hợp lý như các mơ hình trong khơng gian, 
các phần mềm giảng dạy như: Cabri 3D, GSP, .. 
 Trang 3 
 NỘI DUNG 1: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN – 
 QUAN HỆ SONG SONG 
BÀI TỐN 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG (α) VÀ (). 
1. Phương pháp: 
 Cách 1: Xác định hai điểm chung của hai mặt phẳng. 
 A ()() 
 Nếu thì AB ()()  
 B ()() 
 Hình 1 
 Cách 2: Xác định một điểm chung và song song với một đường thẳng 
 Dựa vào các định l ý sau: 
 ()()  a
 abc////
 * Định lý 2: (SGK trang 57) Nếu ()() b thì 
 abc, , đồng quy
 ()()  c
 ab// d//// a b
 * Hệ quả: Nếu ab(  ), ( ) thì da trùng với 
 ()()  d db trùng với 
 Hình 2 Hình 3 Hình 4 
 a / /( )
 * Định lý 2: (SGK trang 61) Nếu a  () thì a // b (Hình 5) 
 ()()  b
 Trang 5 
 Với câu C) GV cần gợi ý cho HS phát hiện ra được điểm chung thứ hai. 
a) Ta cĩ S SAC SBD (1) ; F AC BD F SAC SBD (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra : SF SAC SBD 
b) Ta cĩ S SAB SCD (1) ; E AB CD E SAB SCD ) 
 Từ (1) và (2) suy ra : SE SAB SCD 
c) Trong mp ADE kéo dài EF cắt AD tại N. 
 S SAD SEF N SAD SEF 
 Vậy : SN SAD SEF . 
 Bài 2: Cho hình chĩp S.ABCD, cĩ đáy ABCD là hình thang AB CD . 
 a) Tìm giao tuyến của hai mp SAD và SBC . 
 b) Tìm giao tuyến của hai mp SAB và SCD . 
GIẢI: 
a) Ta cĩ S là điểm chung thứ nhất. 
 Trang 7 
 Hình 8 Hình 9 
1. Phương pháp : 
* Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d với mp ta tìm giao điểm của đường 
thẳng với một đường thẳng a nằm trên mp . (Hình 8) 
 Ad 
 Tĩm tắt : Nếu thì A = d  (α) 
 Aa () 
* Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa cĩ trên hình vẽ thì ta tìm giao điểm như sau: 
 - Tìm mp chứa sao cho mp cắt mp . 
 - Tìm giao tuyến a của hai mp và mp . (Hình 9) 
 - Gọi I d a I d α 
* Nhận xét : Vấn đề của bài tốn là xác định cho được đường thẳng a . Nhiệm vụ của 
giáo viên là hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng a và chọn 
mp sao cho phù hợp với từng yêu cầu của bài tốn trong trường hợp đường thẳng 
 chưa cĩ trên hình vẽ. 
2. Ví dụ : 
 Bài 1 : Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và AD 
 2
sao cho AJ AD. Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mp BCD . 
 3
Nhận xét : 
- HS dễ dàng phát hiện ra đường thẳng chính là đường thẳng BD. 
 Trang 9 
 Câu b) - HS gặp khĩ khăn khi khơng nhìn ra được đường nào nằm trong 
mp SBC để cắt IM. 
 - GV cần hướng dẫn HS chọn 1 mp phụ thích hợp chứa IM. 
 Câu c) - Tương tự câu a) ta cần chọn mp phụ chứa SC và tìm giao tuyến của 
mp đĩ với mp IJM .Cĩ mp nào chứa SC ? 
 - GV hướng dẫn HS chọn mp nào cho việc tìm giao tuyến với IJM 
thuận lợi. 
 Lời giải: 
 Trang 11 
 a) Trong mp SCD cĩ SM cắt CD tại N. 
 N SM N() SBM
 N CD () SBM 
 N CD N CD
 b) Trong mp ABCD , ta cĩ: 
 AC BD O
 O AC O() SAC
 SO ()() SAC  SBN 
 O BN O() SBN
 c) Trong mp SBN , ta cĩ BM cắt SO tại I. 
 Mà SO SAC I BM  SAC . 
 d) Trong mp SAC , ta cĩ SC cắt AI tại P. 
 Mà AI ABM P SC  ABM . 
 Trong mp SCD ,ta cĩ PM cắt SD tại K. 
 K PM K() ABM
 PK ( ABM )  ( SCD ). 
 K SD K() SCD
 e) Ta cĩ : ABM  ABCD AB 
 ABM  SBC BP 
 ABM  SCD PK 
 ABM  SAD AK 
 Vậy tứ giác ABPK là thiết diện cần tìm. 
Bài tập rèn luyện : 
 Bài 1 : Cho hình bình hành ABCD nằm trên mp P và một điểm S nằm ngồi 
 mp P . . Gọi M là điểm nằm giữa S và AN, là điểm nằm giữa S và B ; giao 
 điểm của hai đường thẳng AC và BD là O. 
 a) Tìm giao điểm của đường thẳng SO với mp CMN . 
 b) Tìm giao tuyến của hai mp SAD và CMN . 
 Trang 13 
 Lời giải: 
 C'
 H
 A ( AB ' C ') A'
 a) Ta cĩ : B'
 A () ABC
 A là điểm chung của AB'C' và ABC . 
 I
 B' C '/ / BC
 Mà B' C ' ( AB ' C ') 
 BC () ABC
 C
 A x
 nên AB'' C ABC Ax và Ax/ / B ' C '/ / BC . 
 B
 b) Ta cĩ tứ giác AA'' CC là hình bình hành 
 Suy ra AC' cắt AC ' tại trung điểm I của mỗi đường 
 Do đĩ IH//' CB ( IH là đường trung bình của CB'' A ) 
 Mặt khác IH AHC ' nên CB'/ / AHC ' . 
 Bài 2 : Cho tứ diện ABCD, gọi MN, lần lượt là trọng tâm của ABD và 
 ACD. Chứng minh rằng: 
 a) MN//. BCD b) MN//. ABC 
 Lời giải : A
 a) Gọi E là trung điểm BD ; F là trung điểm CD. 
 AM 2
 Trong ABD ta cĩ: ( M là trọng tâm ABD ) 
 AE 3 M
 N
 AN 2
 Trong ACD ta cĩ: ( N là trọng tâm ACD ) 
 AF 3 B E D
 F
 AM AN
 Vậy MN// EF 
 AE AF C
 Mà EF BCD MN//. BCD 
 b) Trong BCD cĩ : EF là đường trung bình. 
 EF// BC 
 MN////// EF BC MN ABC 
 Trang 15