Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp hướng dẫn học sinh học tốt quan hệ vuông góc trong hình học không gian

 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM
 SÔÛ GIAÙO DUÏC ÑAØO TAÏO BÌNH PHÖÔÙC
 TRÖÔØNG THPT HUØNG VÖÔNG
 SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄM
 MOÂN TOAÙN 
 ÑEÀ TAØI:MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
 HƯỚNG DẪN HỌC SINH HỌC TỐT 
 QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG 
 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
 GV : TRAÙC THÒ HUYØNH LIEÂN
 GV : TRAÙC THÒ HUYØNH LIEÂN
 NAÊM HOÏC 2011 - 2012
NĂM HỌC 2011-2012 1 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM
 B/ PHAÀN NOÄI DUNG
 Dạng 1 : Caùch xaùc ñònh ñoïan vuoâng goùc haï töø ñieåm M ñeán maët phaúng ( )
 TH1 : Ta có định lý : « Neáu từ M coù caùc ñoïan xieân daøi baèng nhau thì hình chieáu cuûa chuùng 
 phải baèng nhau và ngược lại », căn cứ vào định lý này ta xác định chân đường vuông góc hạ từ 
 điểm M 
 TH2 : Neáu từ M khoâng coù caùc ñoïan xieân daøi baèng nhau thì : 
 + Choïn maët phaúng ( ) qua Mvaø ( )  ( )
 + Tìm c = ( )  ( )
 + Töø M haï ñöôøng vuoâng goùc MH ñeán ñöôøng giao tuyeán c MH  ( )
 Ứng dụng 1 : Khoảng cách từ điểm M đến maët phaúng ( ): là độ dài MH
 2a 3
 Ví duï 1: Cho hình choùp S.ABC coù ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a , SA = SB = SC = 
 3
 a/ Tính khoaûng caùch töø S ñeán maët phaúng (ABC) ?
 b/ Tính goùc giöõa SA vaø maët phaúng ( ABC) ?
 Giải:
 S
 Nhận xét:Do SA = SB = SC nên bài toán này thuộc TH1
 Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC)
 Do SA = SB = SC nên HA = HB = HC
 H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
 Do tam giác ABC đều nên H là trọng tâm tam giác ABC
 d( S, (ABC)) = SH
 a 3
 Ta có HA = 
 3
 2 2
 Xét tam giác SAH: SH SA AH a A H C
 1 a3 3
 VSABC = S .SH = 
 3 ABC 12
 B
 b/ SA, ABC SA, AB S· AH
 AH 1
 cos S· AH = S· AH 600
 SA 2
 Từ cách xác định ở TH1 ta đi đến một nhận xét cho hình chóp đa giác đều:
 “ Trong hình chóp đa giác đều thì hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng đáy phải trùng với 
 tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy”
 Ví duï 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh 
 bên bằng a 2 ,Tính thể tích khối chóp đều S.ABCD 
NĂM HỌC 2011-2012 3 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM
 BM  CD 
 AB  CD  CD  (ABM ) (ACD)  (ABM)
 BM , AB  (ABM )
 Mà (ABM)  (ACD) = AM
 Kẻ BK  AM BK  ( ACD)
 Vậy khoảng cách từ B đến (ACD) là BK
 Xét tam giác ABM vuông tại B
 1 1 1 1 4 7 a 3
 d( B,(ACD)) = BK = 
 BK 2 BA2 BM 2 a2 3a2 3a2 7
 Cách 2 : Nhận xét : ta có BA = BC = BD = a nếu K là hình chiếu vuông góc của B trên (ACD) 
 thì KA = KC = KD K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD
 a 3
 Do AC = AD = a 2 nên K nằm trên AM, tính BK = 
 7
 Ứng dụng 2 : Khoảng cách từ đường thẳng a đến maët phaúng ( ) song song với a
 Ví duï 3: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, 
 SA  (ABCD), SA = h. Gäi O lµ t©m h×nh vu«ng ABCD. TÝnh kho¶ng c¸ch:
 1) Tõ B ®Õn (SCD) 2) Tõ O ®Õn (SCD) 
 3)Giữa SC và BD 4) Giữa AB và SC 
 Giải:
 1/ Tính d(B,(SCD)) ?
 Nhận xét : Từ B ta không có các đoạn xiên bằng nhau đến S
 mặt phẳng (SCD) và cũng không tìm được một mặt phẳng chứa 
 B và vuông góc với (SCD), nhưng B nằm trên cạng AB và 
 AB//CD nên AB//(SCD) H
 Do đó d(B,(SCD)) = d(AB,(SCD))= d(A,(SCD))
 Ta có : 
 CD  AD  I
 CD  SA  CD  (SAD) (SCD)  (SAD) E
 AD, SA  (SAD) 
  A
 Mà (SAD)  (SCD) = SD
 D
 Kẻ AH  SD AH  ( SCD)
 O
 Vậy khoảng cách từ B đến (SCD) là AH K
 Xét tam giác SAD vuông tại A B
 2 2
 1 1 1 1 1 a h ah C
 2 2 2 2 2 2 2 AH = 
 AH SA AD h a a h a2 h2
 2/ Tính d(O,(SCD)) ?
NĂM HỌC 2011-2012 5 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM
 ah 2
 AE 
 2a2 h2
 ah
 Vậy khoảng cách giữa SC và BD là OH = 
 2 2a2 h2
 4/ Tính khoảng cách giữa AB và SC
 Ta có AB // (SCD) nên d ( AB,SC) = d( AB, (SCD)) = d( A, (SCD))
 Vì CD  (SAD) (SCD)  (SAD) 
 SAD  SCD SD , kẻ AI  SD AI  (SCD)
 1 1 1 1 1 a2 h2
 Xét tam giác SAD : 
 AI 2 SA2 AD2 h2 a2 a2 h2
 ah
 Vậy d ( AB,SC) = d( A, (SCD)) = AI = 
 a2 h2
 Ứng dụng 4:xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 
 Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)thì :
 Bước1:Xác định giao điểm cuả a và (P) , giả sử là điểm A
 Bước2:Trên a chọn điểm M khác điểm A, từ M ta xác định đoạn vuông góc MH 
 đến mặt phẳng (P)
 Bước3:Xác định hình chiếu của a trên mặt phẳng (P)là b, từ đó xác định góc 
 giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)
 Ví duï 4: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, 
 SA  (ABCD), SA = a 3 . Gäi O lµ t©m h×nh vu«ng ABCD. Tính góc tạo bởi 
 a/ SD và (ABCD) b/ SC và (SAB) c/ SB và (SAC)
 Giải:
 a/ Nhận xét : SD và (ABCD) có điểm chung là D, chọn điểm S S
 Từ S ta có SA  (ABCD)
 SD là đường xiên có hình chiếu trên (ABCD) là AD 
 (SD,(ABCD)) (SD, AD) S· DA
 Xét tam giác SAD vuông tại A
 SA a 3
 tan S· DA = 3 S· DA 600
 AD a
 b/ Nhận xét : SC và (SAB) có điểm chung là S, chọn điểm C
 Từ C ta tìm đường vuông góc với mặt phẳng (SAB) A
 CB  AB  D
 Ta có CB  SA  CB  (SAB) O
 SA, AB  (SAB) B
 SC là đường xiên có hình chiếu trên (SAB) là SB C
 (SC,(SAB)) (SC, SB) C· SB
 Xét tam giác SBC vuông tại B có SB = SA2 AB2 2a
NĂM HỌC 2011-2012 7 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM
 Dạng 2: Vẽ mặt phẳng thỏa điều kiện về song song hay vuông góc
 Trong dạng toán này ta chỉ cần nắm vững một dạng cơ bản là veõ maët phaúng ( ) qua M vaø ( ) // a , 
 ( ) // b , các dạng khác ta đều đưa về dạng cơ bản để vẽ .Phương pháp này giúp học sinh học tốt hơn vì 
 không cần phải nhớ nhiều, ngoài ra dạng cơ bản được hình thành từ một định lý rất quen thuộc với các em 
 trong bài đường thẳng song song với mặt phẳng , đó là định lý “ Nếu một đường thẳng a song song với 
 một mặt phẳng (P) thì bất kỳ mặt phẳng (Q) nào chứa a và cắt (P) theo một giao tuyến b thì b//a”
 Dạng cơ bản: Veõ maët phaúng ( ) qua M vaø ( ) // a , ( ) // b .tìm thieát dieän ?
 Phương pháp: +Choïn maët phaúng (  ) qua M vaø (  ) chöùa ñöôøng thaúng a 
 ( )  ( ) c .Vaäy a// c 
 + laøm töông töï cho ñöôøng thaúng b 
 Ví duï 1: Cho h×nh chãp S.ABCD có ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a; mÆt bªn 
 SAB lµ tam gi¸c ®Òu; SC = SD = a 3 . M lµ ®iÓm trªn c¹nh AD. MÆt ph¼ng 
 (P)qua M song song với AB và SC cắt BC , SB, SA lần lượt tại tại N, P, Q
 a/Chøng minh MQ//SD
 b/ Tứ giác MNPQ hình gì?
 c/ §Æt AM = x 0 x a . TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c MNPQ theo a vµ x. T×m x ®Ó 
 diÖn tÝch nµy nhá nhÊt
 Giải: Nhận xét:Để vẽ được mặt phẳng (P) trước hết ta chọn một mặt phẳng chứa M và AB 
 hoặc SC, ở đây ta thấy mặt phẳng (ABCD) thỏa điều kiện chứa M và AB , nên ta sử dụng (P)//AB
 a/Chøng minh MQ//SD
 P // AB 
 * ABCD  AB  P  ABCD MN // AB (N BC)
 M P  ABCD 
 Nhận xét:Lúc này ta có hai điểm M, N nằm trong (P), tiếp tục ta chọn một mặt phẳng chứa
 M hay N và chứa AB hoặc SC, ở đây ta thấy mặt phẳng (SBC) thỏa điều kiện chứa N và SC , 
 nên ta sử dụng (P)//SC
 P // SC  S
 * SBC  SC  P  SBC NP // SC (P SB)
 N P  SBC
  Q
 Nhận xét:Lúc này ta có ba điểm M, N,P nằm trong (P),
 P
 tiếp tục ta chọn một mặt phẳng chứa một trong ba điểm M, N,
 P và chứa AB hoặc SC, ở đây ta thấy mặt phẳng (SAB) thỏa 
 điều kiện chứa P và AB , nên ta sử dụng (P)//AB
 P // AB 
 M
 * SAB  AB  P  SAB PQ // AB (Q SA) A
 D
 P P  SAB 
 P  SCD MQ B
 N C
NĂM HỌC 2011-2012 9 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIÉN KINH NGHIỆM
 */ Tìm x để diện tích MNPQ là nhỏ nhất ?
 Ta có 0 x a 2a x 0
 2
 2a x x 2
 Theo bất đẳng thức Cô Si ta có 2a x x a
 2 
 a2 11
 S .Dấu « = » xảy ra khi 2a – x = x x = a, khi đó M trùng D
 MNPQ 4
 Vấn đề : Veõ maët phaúng ( ) qua M và ( )// ( ) ø.tìm thieát dieän ?
 ( ) //( )
 Phương pháp : + Söû duïng tính chaát : a //( ) quay veà daïng cơ bản
 a  ( )
 Ví duï 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a, AD 
 = 2a, tam giác SAB vuông cân tại A.M là điểm trên cạnh AD sao cho AM = x 
 (0< x< a). Mặt phẳng (P) qua M song song với mặt phẳng (SAB) cắt BC, SC, SD lần 
 lượt tại N, P, Q
 a/ Tứ giác MNPQ hình gí?
 b/ Tính diện tích MNPQ theo a và x.
 Giải : 
 a/ Do (P) //( SAB) nên (P)//SA, (P)//SB và (P)//AB
 P // AB 
 * ABCD  AB  P  ABCD MN // AB (N BC)
 M P  ABCD 
 P // SB 
 * SBC  SB  P  SBC NP // SB (P SC) S
 N P  SBC 
 P // SA 
 * SAD  SA  P  SAD MQ // SA (Q SD)
 Q
 M P  SAD 
 P  SCD PQ
 P M
 Vì MN//AB, AB//CD nên MN//CD, suy ra A
 P // CD  D
 SCD  CD  PQ // CD suy ra MN//PQ
 B
 P  SCD PQ N C
NĂM HỌC 2011-2012 11 GV TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN