Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số

 ĐẶT VẤN ĐỀ 
 Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy 
số là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , Học sinh thường 
phải đối mặt với nhiều dạng toán khó liên quan đến vấn đề này và gặp khó 
khăn trong vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số. Đặc 
biệt ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quát của 
dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết
 Để đáp ứng được một phần đề tài “ Xác định công thức tổng quát 
của dãy số “ và kết hợp với sự tiếp cận “ Lý thuyết phương trình sai 
phân “ qua một số chuyên đề mà bản thân tác giả đã được học 
 Nội dung của đề tài nhằm cung cấp một số phương pháp cơ bản xác 
định công thức tổng quát của dãy số và có sự phân loại ở một số lớp bài 
toán . Đây cũng là đề tài và bài giảng mà tác giả đã dạy cho học sinh , đặc 
biệt là học sinh khá giỏi và lớp chọn, là tài liệu học sinh và đồng nghiệm 
tham khảo
 Trong đề tài này tác giả đã sử dung một số kết quả có tính hệ thống 
của ‘ Lý thuyết phương trình sai phân “ . Tuy nhiên những vấn đề áp 
dụng kiến thức toán học hiện đại chỉ dừng lại ở một số trường hợp đặc biệt 
và giới hạn trong trường số thực .
 Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát 
của một số dãy số , từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ thể . Qua đó, 
người đọc có thể trang bị thêm cho mình phương pháp xác định công thức 
tổng quát của dãy số. Đặc biệt các thầy cô có thể tự kiểm tra kết quả và xây 
dựng cho mình một lớp các bài toán về dãy số được trình bày trong đề tài
 1 trong đó fn là đa thức theo n
Phương pháp giải 
 Giải phương trình đặc trưng a. b 0 ta tìm được  Ta có 
 0 * 0
un un un Trong đó un là nghiệm của phương trình thuần nhất (1.1) và 
 *
un là nghiệm riêng tuỳ ý của phương trình không thuần nhất (2.1) Vậy 
 0 n
un q. q là hằng số sẽ được xác định sau 
 *
Ta xác định un như sau : 
 *
 1) Nếu  #1 thì un là đa thức cùng bậc với fn
 *
 2) Nếu  1 thì un n.gn với gn là đa thức cùng bậc với fn
 *
Thay un vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của 
 *
un
Bài toán 2: Tìm un thoả mãn điều kiện 
 *
 u1 2; un 1 un 2n, n N (2.2)
Bài giải Phương trình đặc trưng  1 0 có nghiệm  1 Ta có 
 0 * 0 n * *
un un un trong đó un c.1 c, un n an b Thay un và phương trình 
(2.2) ta được 
 n 1 a n 1 b n an b 2n (2.3) 
thay n=1và n=2 vào (2.3) ta được hệ phương trình sau 
 3a b 2 a 1
 5a b 4 b 1
Do đó un n n 1 
 0 *
Ta có un un un c n n 1 Vì u1 2 nên 2 c 1 1 1 c 2
 2
Vậy un 2 n n 1 , hay un n n 2
Dạng 3
 Tìm un thoả mãn điều kiện 
 3 *
không thuần nhất a.un 1 b.un f1n , u2n là nghiệm riêng bất kỳ của phương 
trình không thuần nhất a.un 1 b.un f2n
Bài toán 4: Tìm un thoả mãn điều kiện 
 2 n *
 u1 1; un 1 2un n 3.2 , n N (4.2)
Bài giải Phương trình đặc trưng  2 0 có nghiệm  2 Ta có 
 0 * * 0 n * 2 * n
un un u1n u2n trong đó un c.2 , un a.n b.n c , u2n An.2
 * 2
Thay un vào phương trình un 1 2.un n , ta được 
 a n 1 2 b n 1 c 2an2 2bn 2c n2
Cho n=1 , n=2 ta thu được hệ phương trình 
 2a c 1 a 1
 a b c 4 b 2
 2a 2b c 9 c 3
 * 2 * n
Vậy u1n n 2n 3 thay u2n vào phương trình un 1 2.un 3.2 Ta được 
 3
 A n 1 2n 1 2An.2n 3.2n 2A n 1 2An 3 A 
 2
Vậy
 3
 u* n.2n 3n.2n 1
 2n 2
 n 2 n 1
Do đó un c.2 n 2n 3 3n.2 . Ta có u1 1 nên 
 n 1 2
1 2c 2 3 c 0 Vậy un 3n.2 n 2n 3
 B. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI
 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân 
dạng 
 *
 u1 , u2 , a.un 1 bun c.un 1 fn , n N
 5 u1 , u2  , a.un 1 b.un c.un 1 fn , n 2, (6.1)
trong đó a # 0, fn là đa thức theo n cho trước
Phương pháp giải 
 Giải phương trình đặc trưng a. 2 b. c 0 để tìm  . Khi đó ta 
 0 * 0
có un un un , trong đó un là nghiệm tổng quát của phương trình thuần 
 *
nhất a.un 1 b.un c.un 1 0 và un là một nghiệm tuỳ ý của phương trình 
 a.un 1 b.un c.un 1 fn
 0 *
Theo dạng 1 ta tìm được un , trong đó hệ số A, B chưa được xác định , un 
được xác định như sau :
 *
 1) Nếu  #1 thì un là đa thức cùng bậc với fn
 *
 2) Nếu  1 là nghiệm đơn thì un n.gn , gn là đa thức cùng bậc với fn
 * 2
 3) Nếu  1 là nghiệm kép thì un n. gn , gn là đa thức cùng bậc với
 fn ,
 * *
Thay un vào phương trình , đồng nhất các hệ số, tính được các hệ số của un . 
 0 *
Biết u1 , u2 từ hệ thức un un un tính được A, B
Bài toán 6: Tìm un thoả mãn điều kiện 
 u1 1; u2 0, un 1 2un un 1 n 1, n 2 (6.2)
Bài giải Phương trình đặc trưng  2 2 1 0 có nghiệm kép  1 Ta 
 0 * 0 n * 2
có un un un trong đó un A B.n .1 A Bn, un n a.n b 
 *
Thay un vào phương trình (6,2) , ta được 
 2 2 2
 n 1 a n 1 b 2n a.n b n 1 a n 1 b n 1
Cho n=1 , n=2 ta thu được hệ phương trình 
 7 *
Thay un vào phương trình , dùng phương pháp đồng nhất thức các hệ số sẽ 
 0 *
tính được hệ số k . Biết u1 , u2 từ hệ thức un un un tính được A,B 
Bài toán 7: Tìm un thoả mãn điều kiện 
 n
 u1 0; u2 0, un 1 2un un 1 3.2 , n 2
Bài giải Phương trình đặc trưng  2 2 1 0 có nghiệm kép  1 Ta 
 0 * 0 n * n
có un un u1n trong đó un A B.n .1 A Bn, un k.2 
 *
Thay un vào phương trình , ta được 
 k.2n 1 2k.2n k.2n 1 3.2n k 6
 * n n 1 0 * n 1
Vậy un 6.2 3.2 . Do đó un un un A bn 3.2 . (1) Thay 
u1 1, u2 0 vào phương trình ta thu được 
 1 A B 12 A 2
 0 A 2B 24 B 13
Vậy 
 n 1
 un 2 13n 3.2
Dạng 4
 Tìm un thoả mãn điều kiện 
 u1 , u2 , aun 1 bun c.un 1 fn gn , n 2 (8.1) 
 n
trong đó a # 0 , fn là đa thức theo n và gn v.
Phương pháp giải 
 0 * * 0
 Ta có un un u1n u2n trong đó un là nghiệm tổng quát của phương 
 *
trình thuần nhất aun 1 bun c.un 1 0 , u1n là nghiệm riêng tùy ý của 
 *
phương trình không thuần nhất aun 1 bun c.un 1 fn u2n là nghiệm 
riêng tùy ý của phương trình không thuần nhất aun 1 bun c.un 1 gn
Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 )
Tìm un thoả mãn điều kiện 
 9 Vậy 
 61 n 25 1 1
 u . 1 .3n . n 1 .2n 1
 n 48 48 4 3
 C. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP BA
 Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba là phương trình sai phân 
dạng 
 u1 , u2 ,u3  , a.un 2 bun 1 c.un d.un 1 fn , n 2 (a.1)
trong đó a,b,c, d, , ,  là các hằng số , a # 0 và fn là biểu thức của n 
cho trước
(NX: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba 
luôn có ba nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại 
trong trường số thực , tức là chỉ xét nghiệm thực ) 
Phương pháp giải 
 Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có 
 0 * 0
dạng un un un , trong đó un là nghiệm tổng quát ủa phương trình tuyến 
 *
tính thuần nhất, un là một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không 
thuần nhất 
 Xét phương trình đặc trưng 
 a 3 b 2 c d 0 (a.2)
 1) Xác định công thức nghiệm tổng quát của phương trình sai phân 
 tuyến tính cấp ba thuần nhất
 a) Nếu (a.2) có ba nghiệm thực 1 , 2 , 3 phân biết thì 
 0 n n n
 un a1 .1 a2 .2 a3 .3
 b) Nếu (a.2) có một nghiệm thực bội 2 và một nghiệm đơn 
 (1 2 #3 ) thì 
 0 n n
 un (a1 a2 n)1 a3 .3
 11 1 3 1
Vậy a n 1 .5n 1
 n 16 4 16
 D. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài toán 10: Cho dãy số an được xác định theo công thức sau 
 a1 0; a2 1, an 1 2an an 1 1, n 2 (10.1) 
Chứng minh số A 4.an .an 2 1 là số chính phương
Bài giải Ta có 
 an 1 2an an 1 1 (10.2)
Trong (9.2) ta thay n bởi n-1, ta được 
 an 2an 1 an 2 1 (10.3)
Trừ các vế của (10.1) cho (10.2) ta thu được 
 an 1 3an 3an 1 an 2 0 (10.4)
Phương trình đặc trưng của (10.4) là 
  3 3 2 3 1 0
có nghiệm  1 là nghiệm bội bậc ba
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (10.4) là 
 2 n
 an (c1 c2 n c3 n )1
Cho n=0, n=1, n=2 ta được 
 0 c1 c 0
 1
 1 c2 c2 c3 1
 c2 c3 
 3 c1 2c2 4c3 2
 n n 1 
Ta thu được a và từ đó ta có 
 n 2
 2 2
 A 4an .an 2 1 n 3n 1 
Điều này chứng tỏ A là một số chính phương
 13 8 n 25
 z . 1 .5n (11.6) 
 n 3 3
Từ (11.6) ta suy ra 
 8 25.51996
 z 
 1996 3
Ta cần chứng minh 
 z1996 11 mod1997 
Do 
 51996 11997
 1996
 5 1 3
Nên 51996 1 3.1997 . Từ đó , ta có 51996 3n.1997 1 , và khi đó 
 8 25 3n.1997 1 
 z 25.n.1997 11
 1996 3 3
Vậy z1996 11 mod 1997 
 E. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Xác định công thức của dãy số xn thoả mãn các điều kiện sau
 1) x1 11, xn 1 10.xn 1 9n, n N
 2) x0 2, x1 8, xn 2 8.xn 1 9xn
 2
 3) x0 1, x1 3, 2.xn 2 5xn 1 2xn n 2n 3
 2
 4) x0 0, x1 1, xn 1 4xn 4xn 1 n 6n 5
 5) x1 1, x2 2, xn 2 5xn 1 6xn 4
Bài 2: Cho dãy số an  thoả mãn điều kiện 
 an an 1 2.an 2
 n N n 3 
 a1 a2 1
Chứng minh rằng an là một số lẻ
Bài 3: Cho dãy số bn  xác định bởi 
 15