Sáng kiến kinh nghiệm Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác

 Một số sai lầm của học sinh khi giải toỏn lượng giỏc 
 A.PHẦN MỞ ĐẦU 
I.Tờn đề tài: Một số sai lầm của học sinh khi giải toỏn lượng giỏc. 
II. Lý do chọn đề tài: 
 Mụn Đại số và giải tớch 11 gồm nhiều nội dung. Trong đú, lượng giỏc là một 
nội dung quan trọng đối với học sinh. 
 Lượng giỏc là mụn học mà đa số học sinh cho rằng khú . Bởi vỡ kiến thức 
tương đối nhiều cả cụng thức lẫn bài tập. Một bài toỏn cú thể vận dụng rất nhiều 
cụng thức khỏc nhau và cú thể giải theo nhiều cỏch khỏc nhau. Việc kết hợp nghiệm 
cũng là một vấn đề khụng đơn giản đối với cỏc em. Do đú việc mắc sai lầm là điều 
đương nhiờn sẽ xảy ra đối với cỏc em. 
 Là giỏo viờn giảng dạy , ai cũng mong muốn học sinh của mỡnh học thật tốt , 
cú nhiều lời giải hay, phong phỳ, chớnh xỏc.Tuy nhiờn,điều đú chỉ đạt được đối với 
một số ớt học sinh, cũn phần đụng cỏc em cũn mắc phải một số sai lầm khi giải toỏn. 
Giỳp cỏc em nhận thấy sai lầm và kịp thời sửa chữa là một việc làm hết sức cần 
thiết,từ đú cỏc em nhớ lõu hơn cỏch giải cũng như cụng thức để lần sau nộ trỏnh 
những sai lầm trờn. 
III. Nhiệm vụ của đề tài: 
 Trong chương trỡnh mụn toỏn lớp 11, lượng giỏc cú một vị trớ rất quan 
trọng. Lượng giỏc cú rất nhiều cụng thức, một bài toỏn lại cú nhiều cỏch giải khỏc 
nhau, mỗi một cỏch giải lại vận dụng nhiều cụng thức , việc lẫn lộn cỏc cụng thức là 
điều khụng thể trỏnh khỏi. Giỳp cỏc em nhận ra sai lầm, nguyờn nhõn sai lầm là một 
việc làm hết sức cần thiết.Thấy được sai lầm cỏc em sẽ cú hướng khắc phục từ đú 
nhớ lõu hơn cỏch giải cũng như cụng thức để lần sau nộ trỏnh những sai lầm trờn. 
 Giải được tốt cỏc bài toỏn giỳp cỏc em hứng thỳ trong học tập, tự mỡnh 
tỡm tũi ra những cỏch giải khụng những đỳng mà cũn rất hay. 
 Khi giải toỏn núi chung và giải toỏn lượng giỏc núi riờng, học sinh phải 
biết tập trung vào cỏi bản chất của bài toỏn, gạt bỏ những cỏi thứ yếu, biết xõu chuỗi 
những cỏi đó cho và cỏi cõn tỡm từ đú phõn tớch để tỡm ra mối liờn hệ giữa cỏc cụng 
thức, chọn ra cụng thức thớch hợp,nhờ đú phỏt huy tớnh sỏng tạo và tạo thúi quen 
làm việc một cỏch khoa học cho học sinh. 
 Rốn luyện tớnh kiờn trỡ, tự lực vượt khú, cẩn thận, chu đỏo.Tập cho học sinh 
thúi quen lập luận chặc chẽ, chớnh xỏc khi giải toỏn. 
IV. Giới hạn của đề tài: 
 Lượng giỏc khụng những được học ở lớp 11 mà cả ở lớp 10 và lớp 12 cỏc em 
cũng gặp rất nhiều bài toỏn lượng giỏc như tớnh giỏ trị lượng giỏc của một gúc,tỡm 
giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của một hàm số lượng giỏc, tớnh đạo hàm của một 
hàm số lượng giỏc... 
 Trong đề tài này tụi chỉ giới hạn trong việc chỉ ra sai lầm thường gặp của học 
sinh và sửa sai lầm khi giải toỏn lượng giỏc lớp 11. 
V. Phương phỏp nghiờn cứu: 
 -Phương phỏp quan sỏt. 
Voừ Thũ Thuyứ Trang 1 Một số sai lầm của học sinh khi giải toỏn lượng giỏc 
dụng sai kớ hiệu, ngụn ngữ diễn đạt. thiếu cơ sở, khụng chớnh xỏc , nguyờn 
 nhõn dẫn đến cỏc sai lầm đú. 
 -Tập cho học sinh thúi quen giải toỏn 
 phải cú cơ sở lớ luận và phải thật đầy đủ.
 Hiểu được vấn đề nhưng khi diễn đạt - Chỉ cho học sinh sai lầm, hướng khắc 
sai, kết luận vội vàng thiếu cơ sở lớ luận phục. 
 - Giỏo viờn tập cho học sinh thúi quen 
 kiểm tra lại lời giải. 
 -Rốn luyện cho cỏc em tớnh cẩn thận, 
 chớnh xỏc khụng được vội vàng trong 
 quỏ trỡnh giải toỏn.
 Khụng xột hết cỏc khả năng xảy ra Giỏo viờn cần nờu cho học sinh thấy 
của bài toỏn được tất cả cỏc khả năng cú thể xảy ra 
 của bài toỏn.
 II. Thực trạng giảng dạy: 
 1. Đặc điểm tỡnh hỡnh lớp dạy: 
 a. Về phớa giỏo viờn: 
 -Thường núng vội sợ mất thời gian nờn kiểm tra khụng kỹ do đú 
khụng phỏt hiện ra nhầm lẫn của học sinh. 
 - Thường tập trung làm việc nhiều với học sinh khỏ, giỏi mà khụng 
chỳ ý quan tõm giỳp đỡ những học sinh trung bỡnh, yếu nhằm phỏt hiện sửa chữa 
kịp thời những sai lầm. 
 b. Về phớa học sinh: 
 -Thường đọc qua loa đề bài rồi vội giải ngay, khi giải thỡ vội vàng, lập 
luận khụng chặc chẽ thậm chớ vận dụng kiến thức khụng đỳng. 
 -Việc học lý thuyết chưa được quan tõm đỳng mức nờn khụng nắm 
vững những cụng thức, thường lẫn lộn những cụng thức với nhau. 
 - Khụng nắm được phộp biến đổi nào dẫn đến phương trỡnh tương 
đương, phộp biến đổi nào dẫn đến phương trỡnh hệ quả. 
 2. Một số bài toỏn mà học sinh giải dẫn đến kết luận sai: 
 2.1. Sai sút về kiến thức toỏn học: 
 Vớ dụ 1: Giải phương trỡnh: tg5x.tgx=1(1) 
 (Bài tập 4- trang 65- SGK) 
* Sai lầm thường gặp: 
 ⎡⎧ π ⎡⎧ π kπ
 5x = + kπ x = +
 ⎢⎪ 4 ⎢⎪ 20 5
 ⎡ tg5x = 1 ⎢⎨ ⎢⎨
 ⎧ ⎢ π ⎢ π ⎡ π
 ⎢⎨ ⎪x = + k'π ⎪x = + k'π x = + k'π
 ⎩tgx = 1 ⎢⎩⎪ 4 ⎢⎩⎪ 4 ⎢ 4
 (1) Ù ⎢ ⇔ ⇔ ⇔ 
 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
 ⎧tg5x = −1 ⎢⎧ π ⎢⎧ π lπ ⎢ π
 ⎢⎨ ⎪5x = − + lπ ⎪x = − + x = − + l'π
 ⎢ tgx = −1 ⎢⎪ 4 ⎢⎪ 20 5 ⎣⎢ 4
 ⎣⎩ ⎢⎨ ⎢⎨
 π π
 ⎢⎪x = − + l'π ⎢⎪x = − + l'π
 ⎣⎢⎩⎪ 4 ⎣⎢⎩⎪ 4
Voừ Thũ Thuyứ Trang 3 Một số sai lầm của học sinh khi giải toỏn lượng giỏc 
 1− cos 4x 2sin 2 2x sin 2x
 lim = lim =lim2 2 =2 2 
 x→0+ x x→0+ x x→0+ 2x
 1− cos 4x 1− cos 4x
 Vỡ lim ≠ lim 
 x→0− x x→0+ x
 Vậy khụng tồn tại giới hạn tại điểm x=0. 
 2.2. Sai sút về phương phỏp suy luận,sử dụng sai kớ hiệu, ngụn ngữ 
diễn đạt. 
 1
 Vớ dụ 3: Giải phương trỡnh: cosx. cos2x = (2) 
 4
* Sai lầm thường gặp: 
 (2) Ù4 sinxcosx.cos2x=sinx 
 Ùsin4x =sinx 
 ⎡4x = x + k2π
 Ù ⎢ 
 ⎣4x = π − x + l2π
 ⎡ k2π
 x =
 ⎢ 3
 Ù ⎢ (k,l ∈ Z) 
 π l2π
 ⎢x = +
 ⎣⎢ 5 5
* Nguyờn nhõn sai lầm: 
 Nhõn hai vế của phương trỡnh với sinx ta được phương trỡnh hệ quả chứ khụng 
phải phương trỡnh tương đương, do đú xuất hiện nghiệm ngoại lai x=kπ . 
* Biện phỏp khắc phục: 
 Khi giải xong phải loại nghiệm x=kπ ra khỏi họ nghiệm của phương trỡnh , 
* Lời giải đỳng: 
 Ta thấy x=kπ khụng phải là nghiệm phương trỡnh (2) 
 ⎧4sin x.cos x.cos 2x = sin x ⎧sin 4x = sin x
 (2)Ù ⎨ Ù ⎨ 
 ⎩sin x ≠ 0 ⎩sin x ≠ 0
 ⎡ 2π
 ⎧⎡ k2π x = ± + k2π
 x = ⎢ 3
 ⎪⎢ 3 ⎢
 ⎪⎢ ⎢ π
 Ù ⎨⎢ π k'2π Ù x = ± + m2π (k,m,n∈ Z) 
 x = + ⎢ 5
 ⎪⎣⎢ 5 5 ⎢
 ⎪ ⎢ 3π
 ⎩x ≠ kπ x = ± + n2π
 ⎣⎢ 5
 Vớ dụ 4: Giải phương trỡnh: logsin2x( cos2x-cos4x) =1 (3) 
* Sai lầm thường gặp: 
 (3) Ù cos2x-cos4x= sin2x Ù2 sinx. sin3x= 2 sinx.cosx 
 ⎡
 ⎢x = kπ
 ⎡sin x = 0 ⎢
 ⎡sin x = 0 ⎢ ⎢ π mπ
 Ù ⎢ ⇔ π ⇔ x = + (k,m,n∈ Z) 
 ⎣sin 3x = cos x ⎢sin 3x = sin( − x) ⎢ 8 2
 ⎣ 2 ⎢ π
 ⎢x = + nπ
 ⎣ 4
* Nguyờn nhõn sai lầm: 
Voừ Thũ Thuyứ Trang 5 Một số sai lầm của học sinh khi giải toỏn lượng giỏc 
 12 1
 = - (sinA +sin B +sinC ) 
 3 3
 3 3
 Mà sinA.sinB.sinC ≤ 
 2
 12 1 3 3 7 3
 Nờn T ≥ − . = 
 3 3 2 2
 7 3 3 π
 Vậy Min T= khi sinA=sinB=sinC= hay A=B=C= 
 2 2 3
 2.3. Hiểu được vấn đề nhưng khi diễn đạt sai, kết luận vội vàng thiếu 
cơ sở lớ luận: 
 Vớ dụ 6: Giải phương trỡnh : sin3x=cos2x (4) 
 ( Bài tập 3-trang 65-SGK) 
* Sai lầm thường gặp: 
 π
 (4) Ùsin3x = sin( -2x) 
 2
 ⎡ π ⎡ π 2π
 3x = − 2x + k2π x = + k
 ⎢ 2 ⎢ 10 5
 Ù ⎢ ⇔ ⎢ 
 π π
 ⎢3x = + 2x + k'2π ⎢x = + k'2π
 ⎣⎢ 2 ⎣⎢ 2
 ⎡ π 2π
 x = + k
 ⎢ 10 5
 Vậy phương trỡnh (4) cú hai họ nghiệm : ⎢ ( k,k'∈ Z) 
 π
 ⎢x = + k'2π
 ⎣⎢ 2
* Nguyờn nhõn sai lầm: 
 π π k2π
 Thật ra , họ nghiệm x= + k'2π chứa trong họ nghiệm x= + 
 2 10 5
 π k2π
 Vậy phương trỡnh (4) cú một họ nghiệm :x= + . 
 10 5
*Biện phỏp khắc phục: 
 Khi giải xong cần kiểm tra lại cỏc họ nghiệm của phương trỡnh . 
* Lời giải đỳng: 
 ⎡ π ⎡ π 2π
 3x = − 2x + k2π x = + k
 π ⎢ 2 ⎢ 10 5 π k2π
(4) Ùsin3x = sin( -2x) Ù ⎢ ⇔ ⎢ Ùx= + . 
 2 π π 10 5
 ⎢3x = + 2x + k'2π ⎢x = + k'2π
 ⎣⎢ 2 ⎣⎢ 2
 π k2π
Vậy phương trỡnh (4) cú một họ nghiệm :x= + (k∈ Z). 
 10 5
 ⎧(cot gx −1)(x − a) = 0
 Vớ dụ 7:Tỡm a để hệ ⎨ (I) chỉ cú một nghiệm 
 ⎩−1 < x < 1
* Sai lầm thường gặp 1: 
Voừ Thũ Thuyứ Trang 7 Một số sai lầm của học sinh khi giải toỏn lượng giỏc 
 ⎡a ≥ 1
 ⎢a ≤ −1
 π ⎢
nghiệm hoặc cú nghiệm x= Ù ⎢a = kπ 
 4 ⎢
 π
 ⎢a =
 ⎣⎢ 4
 2.4. Khụng xột hết cỏc khả năng xảy ra của bài toỏn: 
 Vớ dụ 8: Giải phương trỡnh: cos 2x + 1+ sin 2x = 2 sin x + cos x (5) 
* Sai lầm thường gặp : 
 ⎧cos2x ≥ 0 ⎧(cosx − sin x)(cosx + sin x) ≥ 0 ⎧cosx − sin x ≥ 0
Điềukiện: ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ (*) 
 ⎩sin x + cosx ≥ 0 ⎩sin x + cosx ≥ 0 ⎩sin x + cosx ≥ 0
Với điều kiện (*) thỡ 
 (5) Ù (cos x − sin x)(cos x + sin x) + (cos x + sin x) 2 = 2 sin x + cos x 
 Ù cos x + sin x[ cos x − sin x + cos x + sin x − 2] = 0 
 ⎡tgx = −1
 cos x + sin x = 0 ⎡ π
 ⎡ ⎢ ⎡tgx = −1 ⎢x = − + kπ
 Ù ⎢ ⇔ ⎢⎧cos x = 1 ⇔ ⎢ ⇔ 4 
 ⎣cos x + cos 2x = 2 ⎨ ⎣cos x = 1 ⎢
 ⎣⎢⎩cos 2x = 1 ⎣x = 2k'π
* Nguyờn nhõn sai lầm: 
 ⎧(cos x − sin x)(cos x + sin x) ≥ 0 ⎧cos x − sin x ≥ 0
 Phộp biến đổi ⎨ ⇔ ⎨ khụng phải là 
 ⎩sin x + cos x ≥ 0 ⎩sin x + cos x ≥ 0
phộp biến đổi tương đương. 
 cosx+sinx=0 thỡ (cosx+sinx)( cosx-sinx) ≥ 0,∀x ∈ R 
*Biện phỏp khắc phục: 
 Gio viờn chỉ cho học sinh cỏc khả năng cú thể xảy ra của bài toỏn. 
* Lời giải đỳng: 
 ⎧cos2x ≥ 0 ⎧(cos x − sin x)(cos x + sin x) ≥ 0
 Điều kiện: ⎨ ⇔ ⎨ 
 ⎩sin x + cos x ≥ 0 ⎩sin x + cos x ≥ 0
 π
 + Trường hợp 1: Xột cosx+sinx=0 Ùtgx=-1Ù x=- +kπ thoả(5) 
 4
 + Trường hợp 2: Xột cosx+sinx>0 , 
 ⎧cos2x ≥ 0 ⎧(cos x − sin x)(cos x + sin x) ≥ 0 ⎧cos x − sin x ≥ 0
 ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 
 ⎩sin x + cos x > 0 ⎩sin x + cos x > 0 ⎩sin x + cos x > 0
 Khi đú (5) Ù cos x + sin x[ cos x − sin x + cos x + sin x − 2] = 0 
 Ù cos x − sin x + cos x + sin x − 2 = 0 
 Ù cosx + cos 2x =2 
 ⎡cos x = 1
 π
 Ù ⎢ 2 Ù cosx=1 Ù x=k'2 
 ⎣2cos x −1 = 1
 ⎡ π
 x = − + kπ
 Vậy phương trỡnh cú hai họ nghiệm : ⎢ 4 ( k,k' ∈ Z). 
 ⎢
 ⎣x = k'2π
Voừ Thũ Thuyứ Trang 9