Sáng kiến kinh nghiệm Nâng cao kĩ năng tính giới hạn hàm số cho học sinh lớp 11 thông qua việc phân tích các sai lầm thường gặp

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT LÊ VIẾT TẠO
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
NÂNG CAO KỸ NĂNG TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ 
 CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA 
VIỆC PHÂN TÍCH CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP
 Người thực hiện: Nguyễn Thị Thuận
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN môn: Toán
 THANH HÓA, NĂM 2017 1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
 Theo A. A. Stoliar: Dạy toán là dạy hoạt động toán học. Ở trường phổ 
thông, đối với học sinh, giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. 
Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không 
thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, 
hoàn thiện kỹ năng, kỹ xảo. 
 Ở cấp học Trung học Phổ thông (THPT), môn Toán được chia thành ba 
phân môn: Hình học, Đại số và Giải tích, trong đó Giải tích là một phân môn 
khó và hoàn toàn mới mẻ. Nếu Đại số đặc trưng bởi kiểu tư duy “hữu hạn”, “rời 
rạc”, “tĩnh tại” thì khi học Giải tích, kiểu tư duy chủ yếu được vận dụng liên 
quan đến “vô hạn”, “liên tục”, “biến thiên” khiến cho học sinh gặp nhiều khó 
khăn. Phân môn Giải tích trong chương trình THPT được bắt đầu bằng khái 
niệm “giới hạn” ở đầu học kỳ II của lớp 11. Lúc này, các em học sinh bước từ 
“mảnh đất hữu hạn” sang “mảnh đất vô hạn” với những đại lượng vô cùng bé, 
vô cùng lớn rất trừu tượng. Có thể nói đây là các khái niệm nền móng cho các 
khái niệm khác của Giải tích. Và trong phạm vi chương trình THPT, một lớp các 
bài toán quan trọng như đạo hàm, tính biến thiên, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tiệm 
cận  của hàm số đều có liên quan chặt chẽ với bài toán giới hạn. Với ý nghĩa 
quan trọng, thiết thực như vậy nhưng quá trình học khái niệm “Giới hạn” và làm 
một lớp các bài toán về giới hạn, các em học sinh lại rất dễ bị mắc sai lầm. 
 Nhà tâm lý và giáo dục học J. A. Komensky đã khẳng định: “Bất kì một sai 
lầm nào cũng có thể làm cho học sinh học kém đi nếu như giáo viên không chú 
ý ngay tới sai lầm đó, bằng cách hướng dẫn học sinh nhận ra và sửa chữa, khắc 
phục sai lầm”. A. A. Stoliar nhấn mạnh: “Không được tiếc thời gian để phân tích 
trên lớp những sai lầm của học sinh”. 
 Bắt đầu từ năm học 2016- 2017, kì thi THPT Quốc gia môn Toán được đổi 
mới với hình thức thi trắc nghiệm, mỗi câu hỏi trong đề có bốn phương án trả lời 
để học sinh lựa chọn, trong đó chỉ có một phương án đúng và ba phương án gây 
nhiễu, hơn nữa thời gian trả lời câu hỏi ngắn, do đó chỉ một chút sai lầm cũng 
khiến học sinh lựa chọn phương án sai. 
 Vì vậy, nhằm giúp cho các em học sinh biết cách tránh những sai lầm đáng 
tiếc khi làm các bài toán về giới hạn của hàm số để các em học tập phân môn 
Giải tích có hiệu quả cao, từ đó chất lượng dạy học môn Toán tốt hơn, tôi xin 
đóng góp sáng kiến kinh nghiệm: 
 “Nâng cao kĩ năng tính giới hạn hàm số cho học sinh lớp 11 thông qua 
 việc phân tích các sai lầm thường gặp”
1.2. Mục đích nghiên cứu
 Nghiên cứu các sai lầm thường gặp của học sinh lớp 11 khi giải bài toán về 
tính giới hạn của hàm số, đồng thời đề xuất biện pháp sửa chữa các sai lầm này, 
nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 11 THPT. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 Các sai lầm thường gặp khi giải bài toán tính giới hạn hàm số thuộc 
 1 bài toán tính giới hạn của học sinh, tôi đã thực hiện các giải pháp sau:
 Một là trang bị đầy đủ, chính xác những kiến thức cơ bản về khái niệm, 
định nghĩa, định lý giới hạn cho học sinh.
 Hai là chia các bài toán tính giới hạn theo dạng và nêu phương pháp 
giải cho từng dạng.
 Ba là thông qua các sai lầm của học sinh khi tính giới hạn, tôi phân tích 
nguyên nhân sai lầm và nêu lời giải đúng để từ đó, học sinh thêm một lần 
nắm vững nội dung định nghĩa, định lí và thành thục kĩ năng tính giới hạn 
hàm số, tránh được những sai lầm ở các bài toán tiếp theo. 
 Cụ thể:
 Đầu tiên, cần trang bị cho học sinh hệ thông kiến thức cơ bản. 
2.3.1. Hệ thống kiến thức cơ bản
2.3.1.1. Các định nghĩa 
Giả sử K là một khoảng và điểm x0 K , f(x) là một hàm số xác định trên K 
hoặc trên K \ x0.
- Định nghĩa 1 (Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm): Ta nói hàm số f(x) 
có giới hạn là số thực L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn ) bất kì, 
 xn K,xn x0 và 
 xn x0 , ta có limf (xn ) L . Kí hiệu: lim f (x) L
 x x0
- Định nghĩa 2 (Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực): Giả sử hàm số f(x) 
xác định trên khoảng (a, ) . Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số thực L khi x 
dần tới nếu với dãy số (xn ) bất kì, xn a và xn , ta có limf (xn ) L .
Kí hiệu: lim f (x) L
 x 
Định nghĩa tương tự đối với giới hạn: lim f (x) L
 x 
 - Định nghĩa 3 (Giới hạn vô cực của hàm số): Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là 
dương vô cực khi x dần tới x nếu với dãy số ( x ) bất kì, x K,x x và 
 0 n n n 0 
 xn x0 , ta có limf (xn ) .
Kí hiệu: lim f (x) 
 x x0 
Định nghĩa tương tự đối với giới hạn: lim f (x) 
 x x0 
- Định nghĩa 4 (Giới hạn một bên): 
 • Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (x0 ,b) . Ta nói hàm số f(x) có 
 giới hạn phải là số thực L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn ) bất kì, 
 x (x ,b) và x x , ta có limf (x ) L. Kí hiệu: lim f (x) L.
 n 0 n 0 n 
 x x0
 • Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a,x0 ) . Ta nói hàm số f(x) có 
 giới hạn trái là số thực L khi x dần tới x nếu với dãy số (x ) bất kì, 
 0 n
 x (a,x ) và x x , ta có limf (x ) L. Kí hiệu: lim f (x) L.
 n 0 n 0 n 
 x x0
 3 f (x)
 - Rút gọn biểu thức ở mức tối đa các nhân tử chung dạng (x x0 ) để đưa 
 g(x)
về dạng giới hạn áp dụng được các quy tắc đã học. 
Trường hợp 2: Nếu f(x), g(x) chứa các căn thức cùng bậc (thường chứa căn bậc 
hai hoặc căn bậc ba) thì phương pháp giải là: nhân cả tử và mẫu với biểu thức 
liên hợp nhằm trục các nhân tử (x x0 ) ra khỏi căn thức. 
 Chú ý cho học sinh các biểu thức liên hợp.
Trường hợp 3: Nếu f(x) hoặc g(x) chứa các căn thức không cùng bậc, ví dụ 
 f (x) m u(x) n v(x) (m n,m,n ¥ \ 0) thì phương pháp giải là: 
 m n
- Xác định hằng số c u(x0 ) v(x0 ). 
- Biến đổi bằng cách thêm, bớt hằng số c vào biểu thức của f(x):
 m n 
 f (x) u(x) c v(x) c m u(x) c n v(x) c
 lim lim lim lim 
 x x0 g(x) x x0 g(x) x x0 g(x) x x0 g(x)
đưa về trường hợp 2.
 limf (x) ;
 f (x) x 
Dạng 3 : Giới hạn dạng vô định : lim trong đó 
 x g(x) limg(x) .
 x 
Phương pháp giải: 
- Chia cả tử và mẫu cho x với lũy thừa cao nhất có mặt ở mẫu.
Dạng 4: Giới hạn dạng vô định : limf (x) g(x) trong đó 
 x 
 limf (x) ;
 x 
 limg(x) .
 x 
và f(x) hoặc g(x) có dạng căn thức, đồng thời giới hạn vô cực của f(x) và g(x) 
luôn cùng dấu.
Phương pháp giải:
- Nhân và chia biểu thức [f(x)-g(x)] với liên hợp của nó để đưa giới hạn về dạng 3.
 lim f (x) 0;
 x 
 (x x0)
Dạng 5: Giới hạn dạng vô định .0 : lim f (x).g(x) trong đó 
 x lim g(x) .
 (x x0 ) x 
 (x x0)
Trường hợp 1: Nếu x thì phương pháp giải là biến đổi giới hạn về dạng .
 0
Trường hợp 2: Nếu x x thì phương pháp giải là biến đổi giới hạn về dạng .
 0 0
 Mặc dù đã được học định nghĩa, quy tắc, phương pháp tính giới hạn 
nhưng trong quá trình làm bài học sinh vẫn vấp phải một số sai lầm. Từ chính 
những sai lầm này của học sinh, tôi đã phân tích cho các em thấy lỗi sai ở đâu, 
 5 • Lời giải đúng là: 
 4 x2 (2 x)(2 x)
 lim lim lim(2 x) 2 ( 2) 4.
 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
 • Bài tập tương tự: Tính các giới hạn sau 
 x2 1 x 3
 a) lim ; b) lim 2 ;
 x 1 x 1 x 3 x 2x 15
 x2 5x 6 8x3 1
 c) lim ; d) lim .
 2 1 2
 x 3 x 8x 15 x 6x 5x 1
 2
 2x 5
Ví dụ 3: Tính lim . 
 x x 3
 2x 5 lim (2x 5) 
 • Học sinh giải như sau: lim x 1.
 x x 3 lim (x 3) 
 x 
 • Phân tích sai lầm:
- Học sinh đã nghĩ: giới hạn của thương bằng thương các giới hạn theo như quy 
tắc 1 (giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương) mà không để ý điều kiện áp dụng 
quy tắc là: tử và mẫu phải có giới hạn hữu hạn. 
- Học sinh đã coi như là một số để từ đó rút gọn theo phép toán đại số mà 
không hiểu chỉ là một kí hiệu biểu thị sự vô hạn.
- Học sinh không nắm vững phương pháp giải giới hạn dạng vô định .
 5
 2x 5 2 2 0
 • Lời giải đúng là: lim lim x 2.
 x x 3
 x 3 1 1 0
 x
 • Bài tập tương tự: Tính các giới hạn sau 
 x2 5x 1 x 3
 a) lim 2 ; b) lim 2 ;
 x 3x 10 x x 2x 18
 x2 5x 1 x x2 2
 c) lim ; d) lim .
 x 8x 15 x 5x 1
Ví dụ 4: Tính lim ( x2 1 x).
 x 
 • Học sinh giải như sau: 
 lim ( x2 1 x) lim x2 1 lim x ( ) 0.
 x x x 
 • Phân tích sai lầm:
- Học sinh đã nghĩ: giới hạn của hiệu bằng hiệu các giới hạn theo như quy tắc 1 
(giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương) mà không để ý điều kiện áp dụng quy tắc 
là: các giới hạn được tách phải là giới hạn hữu hạn. 
- Học sinh đã coi như là một số để từ đó triệt tiêu theo phép toán đại số mà 
 7