Sáng kiến kinh nghiệm Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPT

 1. Tên sáng kiến: Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn 
hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPT. 
2. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: tháng 2/2021. 
3. Các thông tin cần được bảo mật: Không 
4. Mô tả các giải pháp cũ thường làm: 
 Trường THPT Yên Thế, là một trường thuộc huyện miền núi của tỉnh Bắc 
Giang, với nhiều học sinh là con em các dân tộc thiểu số như: Tày, Nùng, Cao 
lan, Dao, Sán trí, Sán dìu, Sán chay..., còn nhiều hạn chế trong việc tiếp thu kiến 
thức, đặc biệt là kiến thức của các môn đòi hỏi tư duy trừu tượng như môn Toán. 
Phần đông học sinh có học lực môn Toán mức trung bình, yếu. Với đặc điểm 
như trên, để cải thiện chất lượng môn Toán cho đối tượng học sinh cơ bản, tôi 
thường mong muốn tập trung vào giúp các em nắm vững và giải thành thạo các 
bài toán có mức độ khó vừa phải (mức 1, 2, 3) và bám sát các đề kiểm tra giữa 
học kỳ, cuối học kỳ hoặc các bài toán làm cơ sở để phát triển cho các chủ đề 
khác, bài toán giới hạn hàm số là một trong số kiến thức cần thiết. 
 Lượng kiến thức về giới hạn hàm số trình bày trong chương trình sách giáo 
khoa Đại số và Giải tích lớp 11 tương đối ít, nghèo nàn; bài tập chưa phong phú 
và chưa nhiều; chưa có sự phân dạng và đưa ra cách giải cụ thể. Điều này thực 
sự là khó khăn đối với những học sinh có học lực trung bình, yếu. Thực tế trong 
sách giáo khoa chỉ trang bị những kiến thức cơ bản và đưa ra một số bài tập đại 
diện. 
 Qua thực tế giảng dạy trực tiếp ở lớp 11a6 (một lớp cơ bản đối với môn 
Toán), tôi thấy rằng khi ra những bài tập dạng này học sinh thường lúng túng, 
không hiểu đầu bài, không định hướng được cách giải, trong quá trình biến đổi 
và áp dụng các tính chất. Cụ thể, năm học 2018-2019 khi chưa áp dụng sáng 
kiến vào giảng dạy. Tôi tổng hợp kết quả điểm phần giới hạn hàm số qua bài 
kiểm tra cuối học kỳ được kết quả như sau: 
 Lớp Số Điểm tối đa Đạt 75% Đạt 50% Dưới 50% có tính chất thực hành, tổng hợp và sáng tạo. Ngoài ra, nó củng cố, huy động 
nhiều kiến thức và rèn luyện được kỹ năng vận dụng kiến thức cơ bản. 
 Khi giải các bài tập tìm giới hạn hàm số thầy và trò vừa phải nhớ kiến thức 
cơ bản, vừa phải xác định mối quan hệ của các dữ kiện từ đó hướng đến những 
điều cần tìm tòi. Do vậy, người học phải luôn tư duy, suy luận logic, cẩn thận, tỷ 
mỷ, đảm bảo tính chính xác, thúc đẩy người học không ngừng sáng tạo, luôn 
luôn phải cố gắng, tích cực, tự lực. 
 Trong quá trình giảng dạy đối tượng học sinh các lớp cơ bản tôi thấy các 
em còn gặp nhiều khó khăn, lúng túng và nhầm lẫn, sai sót trong việc giải quyết 
một số bài toán tìm giới hạn hàm số. Có thể có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến 
tình trạng nói trên, nhưng theo tôi, nguyên nhân chủ yếu là học sinh chưa biết 
nhận dạng và lựa chọn các phương pháp phù hợp để giải bài toán hữu hiệu. 
 Các bài toán tìm giới hạn hàm số ở lớp 11 là một chủ đề quan trọng và 
xuyên suốt, làm cơ sở để giải nhiều bài toán ở lớp 11, 12, thường được đưa vào 
các bài kiểm tra giữa học kỳ, cuối học kỳ lớp 11, đề thi THPT quốc gia và đề thi 
học sinh giỏi. Vì vậy, việc phân loại và đưa ra phương pháp giải là hết sức quan 
trọng đối với học sinh. 
 Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của Bộ giáo dục và 
đào tạo, trong quá trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người thầy 
phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các 
phương pháp phù hợp với kiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền thụ. 
 Các bài toán tìm giới hạn hàm số là phần kiến thức rất đa dạng, phong 
phú, cần có tư duy lô gíc, khả năng ước lượng và độ chính xác cao. Để học tốt 
được phần này học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, thường xuyên làm 
bài tập để học hỏi, trau rồi phương pháp, kĩ năng khi biến đổi. Kiến thức, bài tập 
ở phần này tương đối dễ với đối tượng học sinh khá, giỏi, nhưng đối với học 
sinh trung bình, yếu thì khá khó khăn trong việc phân loại các dạng toán và vận 
dụng phương pháp phù hợp. Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của đồng nghiệp và bản thân trong 
quá trình dạy học. Đặc biệt là kinh nghiệm của những giáo viên có chuyên môn 
cao về vấn đề nghiên cứu của đề tài. 
Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm có đối chứng song song, tổ chức 
thực nghiệm ở lớp ôn thi đại học, so sánh kết quả học tập của học sinh ở khóa 
trước khi chưa áp dụng sáng kiến. 
Phương pháp thống kê: Sử dụng phương pháp thống kê toán học để phân tích 
kết quả. 
- Kết quả khi thực hiện giải pháp: 
+ Sản phẩm được tạo ra từ giải pháp: Cơ sở lý thuyết để giải quyết bài toán tìm 
giới hạn hàm số ở lớp 11 THPT. 
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1) Giới hạn của hàm số tại một điểm 
a) Giới hạn hữu hạn 
Cho hàm số f x xác định trên khoảng a; b , có thể trừ điểm x0 a; b . Nếu 
với mọi dãy số xn mà xn a; b \ x0 ; lim x n x 0 ta đều có lim f xn L thì ta 
nói hàm số f x có giới hạn là số L khi x dần đến x0 . Khi đó ta kí hiệu 
 lim f x L hoặc f x L khi x x0 . 
 x x0
b) Giới hạn vô cực 
Tương tự như các điều đã nêu trong phần a, nếu L là thì ta nói f x có giới 
hạn vô cực khi x x0 và kí hiệu lim f x hay f x khi x x0 . 
 x x0
2) Giới hạn của hàm số tại vô cực 
Cho hàm số f x xác định trong khoảng a; . Khi đó nếu với mọi dãy số 
 xn với xn a  n, lim x n ta đều có lim f xn L (hoặc , ) ta nói hàm số 
 f x có giới hạn là L (hoặc , ) khi x dần tới vô cực. Khi đó viết lim L 
 x 
(hay ) hoặc f x L (hay ) 
Khi x hàm số f x trong ; b , với mọi dãy xn mà xn blim x n ta 
đều có lim f xn L (hay ) thì ta có lim f x L (hay ) hoặc f x L 
 x 
(hay ) khi x 
Một số giới hạn của hàm số tại vô cực 
 1 1
* lim 0, lim 0 
 x x x x
* lim xk (với ); lim xk nếu k chẵn và nếu k lẻ. 
 x x Nếu A x , B x đều chứa nhân tử x x0 ta sẽ tiếp tục phân tích thành các nhân 
tử. 
Chú ý: 
- Với f x , g x là đa thức (thường là hàm số bậc hai, bậc ba, bậc bốn) thì ta 
phân tích nhân tử bằng việc giải phương trình f x g x 0 
- Với f x , g x là căn thức, ta sẽ sử dụng phương pháp nhân liên hợp (liên hợp 
số hoặc liên hợp biến) để phân tích nhân tử. 
- Sử dụng các hằng đẳng thức, nhóm số hạng, phân tích ra thừa số bậc 2, chia đa 
thức, sơ đồ Hoócne, 
- Chia tách thành các phân thức bằng cách thêm bớt đại lượng đơn giản nhất 
theo x hoặc hằng số mà các giới hạn mới vẫn giữ nguyên dạng vô định 0 . 
 0
- Nếu limf x ; lim g x thì lim x g x ; lim x . g x 
 x x0 x x 0 x x0 x x 0
3. Dạng 3: Dạng vô định 
 f x 
Bài toán : Tính lim khi limf x lim g x , trong đó f x , g x là các 
 x g x x x 
đa thức và căn thức. 
Phương pháp giải: 
Chia cả tử và mẫu cho xn với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x trong mẫu 
thức. Nếu f x , g x có chứa biến x trong dấu căn thức thì đưa xk ra ngoài dấu 
căn (với k là số mũ bậc cao nhất của x trong dấu căn). 
Chú ý: 
* Khi x thì ta xử lý giống như với giới hạn của dãy số. 
* Khi x ta cần lưu ý khi đưa x2k ra ngoài dấu căn thức bậc chẵn. 
Dạng hay gặp chính là x2 x x khi x và x khi x 
 f x 
*Xét hàm số h x có hệ số của hạng tử bậc cao nhất của f x , g x lần 
 g x 
lượt là a, b 
Và kí hiệu degf x , deg g x lần lượt là bậc của f x , g x 
 f x 
- Nếu degf x deg g x thì lim 
 x g x Điều tra thực tiễn: Quan sát việc dạy và học phần kiến thức này qua các hình 
thức như dự giờ, sử dụng phiếu điều tra, phỏng vấn trực tiếp 
Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của đồng nghiệp và bản thân trong 
quá trình dạy học. Đặc biệt là kinh nghiệm của những giáo viên có chuyên môn 
cao về vấn đề nghiên cứu của đề tài. 
Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm có đối chứng song song, tổ chức 
thực nghiệm ở lớp ôn thi đại học, so sánh kết quả học tập của học sinh ở khóa 
trước khi chưa áp dụng sáng kiến. 
Phương pháp thống kê: Sử dụng phương pháp thống kê toán học để phân tích 
kết quả. 
- Kết quả khi thực hiện giải pháp: 
+ Sản phẩm được tạo ra từ giải pháp: Thực hành, phân loại và vận dụng 
phương pháp giải bài tập tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 
THPT. 
I. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA 
1. Dạng 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số và những quy tắc cơ bản 
Ví dụ 1. Tính giới hạn của các hàm số 
 2x 3
a) f x 2 x 10 khi x 3 b) f x khi x 3 
 x2 6
 Lời giải: 
a) Tập xác định của hàm số là  5; . Chọn dãy số xn với xn  5; sao 
cho limxn 3. Theo định nghĩa lim 2x 10 lim 2 xn 10 
 x 3 n 
Theo định lí về giới hạn của dãy số, ta có 
 2.limxn 10 2. 3 10 4 2 . Vậy lim 2x 10 2 
 n x 3
b) Tập xác định của hàm số là nên chọn dãy số xn sao cho 
 2.limx 3
 2x 3 2x 3 lim(2xn 3) n 2.3 3 3
Ta có limf ( x ) lim lim n n n . 
 x 3 x 3 2 n 2 2 2 2
 3 6xn 6 lim( x n 6) limxn 6 3 6 5
 n n 
 2x 3 3
Vậy lim 
 x 3 x2 6 5 Lời giải: 
 6 
 2 
 2x 6 x 
a) lim lim 2 
 x 4 x x 4
 1 
 x 
 17 
b) lim 2 0 
 x x 1 
 1 1 1 1 
 2 2 2 2 
 2x x 1 x xx2 x x 2 
c) lim lim lim x 
 x 3 x x x 3 x 3
 1 1 
 x x 
Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau 
 2
 3 1 x 2 x x 4 x 1
a) lim 2x 3 b) lim 2x 3 x 4 c) lim d) lim 2 
 x 2 x 2 x 3 x 1 x 1 x x 1
 Lời giải: 
a) lim 2x 3 lim 2.2 3 7 
 x 2 x 2
b) lim 2x3 3 x 4 lim 2. 2 3 3 2 4 6 
 x 2 x 2 
 1 x 2 x 1 3 2. 3 
c) lim lim 2 
 x 3x 1 x 3 3 1
 x2 4 x 1 1 2 4.1 1
d) lim lim 6 
 x 1x2 x 1 x 1 1 2 1 1
Ví dụ 6. Tính các giới hạn sau 
 x2 25 1 x 2 x x2 4 x 1
a) limx 2 3 x b) lim c) lim d) lim 
 x 1 x 5 x 2 x 3 x 1 x 1 x2 x 1
 Lời giải: 
a) limx 2 3 x lim 1 2 3 1 0 
 x 1 x 1 
 x2 25 5 2 25
b) lim lim 0 
 x 5x 2 x 5 5 2
 1 x 2 x 1 3 2 3 
c) lim lim 2 
 x 3x 1 x 3 3 1
 x2 4 x 1 1 2 4.1 1
d) lim lim 6 
 x 1x2 x 1 x 1 1 2 1 1
2. Dạng 2. Khử dạng vô định 0 
 0