Sáng kiến kinh nghiệm Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ vuông góc trong không gian

 MỤC LỤC
1. Mở đầu......................................................................................... Trang 1
 + Lí do chọn đề tàiTrang 1 
 +Mục đích nghiên cứu. Trang 1 
 +Đối tượng nghiên cứu Trang 2
 +Phương pháp nghiên cứu Trang 2
2. Nội dung sang kiến kinh nghiệm.. Trang 2
 2.1 Cơ sở lí luận của sang kiến kinh nghiệm.Trang 2
 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sang kiến kinh nghiệm......Trang 2
 2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề Trang 3
 2.3.1: Bài toán 1:. Trang 3
 2.3.2: Bài toán 2:. Trang 6
 2.3.3: Bài toán 3:.. Trang 8
 Bài tập:.. Trang 10
 2.4 Hiệu quả của sang kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản 
 thân, đồng nghiệp và nhà trường. Trang 14
3. Kết luận, kiến nghị. . Trang 15
 Tài liệu tham khảo Trang 16
 Phụ lục
 1 Đối tượng nghiên cứu:
 Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 11 qua các năm giảng dạy từ 
trước đến nay và hiện nay.
 Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan đến đề tài, nghiên cứu cấu trúc nội dung chương 
trình SGK Hình học 11, sách bài tập, sách tham khảo,. Nghiên cứu khả năng tiếp thu 
của học sinh để có cách trình bày thật dễ hiểu, phù hợp với từng đối tượng học sinh.
 2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
 Khi giải một bài toán về chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian ngoài 
yêu cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả thiết, vẽ hình đúng ta còn phải chú ý đến nhiều 
yếu tố khác như: Có cần xác định thêm các yếu tố khác trên hình vẽ hay không? Hình 
vẽ thể hiện hết các yêu cầu của đề bài hay chưa? Để giải quyết vấn đề này ta phải bắt 
đầu từ đâu ? Nội dung kiến thức nào liên quan đến vấn đề được đặt ra, trình bày nó như 
thế nào cho chính xác và lôgic có được như thế mới giúp chúng ta giải quyết được 
nhiều bài toán mà không gặp phải khó khăn. Ngoài ra chúng ta còn nắm vững hệ thống 
lý thuyết, phương pháp chứng minh cho từng dạng toán như: chứng minh hai đường 
thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc...
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
 Tôi yêu cầu học sinh thực hiện một số bài tập:
Bài toán: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a, SA vuông góc 
 tan 2 2
với (ABCD). là góc hợp bởi cạnh bên SC với (ABCD) với 3 .
 1. Chứng minh: BD  SC ; (SAD)(SCD)
 2. Chứng minh tam giác SBC vuông.
*/Số liệu cụ thể trước khi thực hiện đề tài 
 Kết quả của lớp 11C12 ( sĩ số 48)
 Làm đúng Làm sai Số h/s không có lời lời giải
 Câu 1 20 18 10
 Câu 2 18 22 8
 3 *) Các ví dụ mẫu:
Phương pháp: Ta thường sử dụng định lý 1 hoặc là các cách chứng minh vuông góc 
có trong hình học phẳng.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, 
 SA  (ABCD) , AD=2a, 
AB=BC=a. Chứng minh rằng: S
tam giác SCD vuông
Giải: Ta có: 
 SA  (ABCD) 
  SA  CD(1)
 CD  (ABCD) I D
  A
+ Gọi I là trung điểm của AD. 
Tứ giác ABCI là hình vuông. 
Do đó, ·ACI 450 (*). Mặt 
khác, CID là tam giác vuông B C
cân tại I nên: B· CI 450 (*).
Từ (*) và (**) suy ra: ·ACD 900 hay AC  CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: CD  (SAC) CD  SC hay ∆SCD vuông tại C
Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng 
của D qua trung điểm SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. CMR: 
 MN  BD
 E S
Giải: Gọi I, P lần lượt là trung điểm của 
AB và SA, O là giao điểm của AC và 
BD. P
 M
 IN / / AC 
Ta có:  BD  IN(1) A
 AC  BD D
 IM / /BE I O
Mặt khác,  IM / /PO(*)
 BE / /PO
  B N C
Mà PO  BD(**) (vì: BPD là tam giác 
cân tại P và O là trung điểm của BD)
 5 Mặt khác, tứ giác ABNH là hình chữ nhật nên K là trung điểm của HB hay 
 MK / /SH (**)
Từ (*) và (**) suy ra: BP  MH (2)
Từ (1), (2) suy ra: BP  (AMN) BP  AM
2.3.2 Bài toán 2: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
 Cách 1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với 
hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng
 a
 b
 c
 P
 b , c cắt nhau , b,c  (P) , a  b, a  c a  (P)
 Cách 2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuông góc với 
mặt phẳng thì đường thẳng kia cũng vuông góc với mặt phẳng
 b a a // b , b  (P) a  (P)
 P
 Cách 3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đường 
thẳng a nằm trong mẵt phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng 
vuông góc với mặt phẳng kia
 Q
 a (P)  (Q) b 
 b  a  (P)
 a  (Q),a  b
 P
 Cách 4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 
ba thì giao tuyến của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó
 7 SA  (ABC) 
d) Từ  AF  SA (7)
 AF  (ABC)
Theo c) SB  (ADE) AF  SB (8). Từ (7) và (8) suy ra: AF  (SAB)
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy 
ABCD là hình vuông, tam giác SAB là S
tam giác đều, (SAB)  (ABCD) . Gọi I, F 
lần lượt là trung điểm của AB và AD. 
Chứng minh rằng: FC  (SID)
 F
 D
 A
Giải: Ta có: H
 SI  AB 
 I
 (SAB)  (ABCD) SI  (ABCD)
 SI  (SAB)  B C
 SI  CF (1)
Mặt khác, xét hai tam giác vuông ADI và DFC có: AI=DF, AD=DC. Do đó, 
 AID DFC từ đó ta có: 
 F
 Iµ Fµ  A D
 1 1 1 2
 ¶ ¶ µ ¶ 0
 D2 C2  F1 D2 90
 H
 Iµ D¶ 900 1
 1 2  I
 · 0
 FHD 90 2
Hay CF  ID (2)
 B C
Từ (1) và (2) suy ra: FC  (SID)
2.3.3 Bài toán 3: Chứng minh mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng.
 . Cách 1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông.
 ( ) ( ) , Ox ( ),Ox , Oy ( ),Oy 
        
 Khi đó:
 x y
 O góc (( );()) góc (Ox;Oy) x·Oy : 0 90o
  ( )  () 90o
 9 cot ·AIM cot(1800 (·AMB C· AD)) 
có: cot(·AMB C· AD) 0
 ·AIM 900
Hay BM  AC (2) . 
+ Từ (1) và (2) suy ra: BM  (SAC) mà BM  (SAC) nên (SAC)  (SMB)
*) Bài tập:
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung 
 a 6
điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I, SD  (ABC),SD . Chứng minh 
 2
rằng:
a) (SBC)  (SAD)
b) (SAB)  (SAC)
Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông tâm O. SA  (ABCD). Gọi 
H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD.
 a) CMR: BC  (SAB), CD  (SAD), BD  (SAC).
 b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra 3 đường thẳng AH, AI, 
 AK cùng nằm trong một mặt phẳng.
 c) CMR: HK  (SAC). Từ đó suy ra HK  AI.
Bài tập 3: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA  (ABC).
 a) Chứng minh: BC  (SAB).
 b) Gọi AH là đường cao của SAB. Chứng minh: AH  SC.
Bài tập 4: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết: SA = SC, 
SB = SD.
 a) Chứng minh: SO  (ABCD).
 11 a) Chứng minh: SA  (ABCD) và tính SA.
 b) Đường thẳng qua A và vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt 
 tại I, J. Gọi H là hình chiếu của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K, L của 
 SB, SD với mp(HIJ). CMR: AK  (SBC), AL  (SCD).
 c) Tính diện tích tứ giác AKHL.
Bài tập 10: Gọi I là 1 điểm bất kì ở trong đường tròn (O;R). CD là dây cung của (O) 
qua I. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) tại I ta lấy 
điểm S với OS = R. Gọi E là điểm đối tâm của D trên đường tròn (O). Chứng minh 
rằng:
 a) Tam giác SDE vuông tại S.
 b) SD  CE.
 c) Tam giác SCD vuông.
Bài tập 11: Cho MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P). Trên đường thẳng vuông 
góc với (P) tại A ta lấy 2 điểm C, D ở hai bên điểm A. Gọi C là hình chiếu của C trên 
MD, H là giao điểm của AM và CC .
 a) Chứng minh: CC  (MBD).
 b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. CMR: K là trực tâm của BCD.
Bài tập 12: Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. 
Trên đường thẳng vuông góc vơi mp(ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a6 . 
Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau.
Bài tập 13: Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với 
đáy (DBC). Vẽ các đường cao BE, DF của BCD, đường cao DK của ACD.
 a) Chứng minh: AB  (BCD).
 b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC).
 c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ADC. CMR: OH  
 (ADC).
 13 a) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông 
 góc với nhau là MN  (SAM). Từ đó suy ra hệ thức liên hệ giữa x và y.
 b) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để góc giữa hai mặt phẳng (SAM) và 
 (SAN) có số đo bằng 300 là a(x + y) + 3 xy = a2 3 .
Bài tập 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh a và có góc 
 a
A bằng 600, cạnh SC = 6 và SC  (ABCD).
 2
 a) Chứng minh (SBD)  (SAC).
 b) Trong tam giác SCA kẻ IK  SA tại K. Tính độ dài IK.
 c) Chứng minh B· KD 900 và từ đó suy ra (SAB)  (SAD).
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, 
đồng nghiệp và nhà trường.
 Là dạng toán hay- các em tỏ ra rất say mê, hứng thú học tập. đó có thể coi là một 
thành công của người giáo viên. Kết thúc đề tài này tôi đã tổ chức cho các em học sinh 
lớp 11C12 làm một đề kiểm tra 45 phút với nội dung là các bài toán về quan hệ vuông 
góc thuộc dạng có trong đề tài . Đồng thời lấy lớp 11C 4 để làm lớp đối chứng cũng với 
đề kiểm tra đó. Kết quả rất khả quan, cụ thể như sau:
 Giỏi Khá Trung bình Yếu
 Lớp 11C12 ( Thực nghiệm) 15% 50% 30% 5%
 Lớp 11C4 ( Đối chứng) 13% 40% 37% 10%
 Râ rµng lµ ®· cã sù kh¸c biÖt gi÷a hai ®èi t­îng häc sinh. Nh­ vËy ch¾c ch¾n 
ph­¬ng ph¸p mµ t«i nªu ra trong ®Ò tµi ®· gióp c¸c em phân loại được bài tập và nắm 
khá vững phương pháp làm và trình bày bài giúp các em tự tin hơn trong học tập cũng 
như khi đi thi .
 15