Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 11 – THPT thông qua việc giải một số bài toán định lượng trong hình học không gian bằng phương pháp véc tơ

 A. ĐẶT VẤN ĐỀ
 Hình học không gian (HHKG) là một môn học tương đối khó đối với học 
sinh THPT nói chung và học sinh lớp 11 nói riêng, nhất là đối với các học sinh 
có học lực trung bình khá trở xuống. Những nội dung các em học sinh lớp 11 
thường gặp khó khăn trong khi giải các bài toán HHKG đó là các nội dung liên 
quan đến tính toán, chẳng hạn: tính tỉ số đoạn thẳng, tính độ dài đoạn thẳng, tính 
góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau,mà tác giả gọi là “Các 
bài toán định lượng trong hình học không gian”.
 Sau nhiều năm giảng dạy ở các lớp mũi nhọn ôn thi HSG, ôn thi ĐH-CĐ, 
tôi nhận thấy để có được kết quả tốt trong giảng dạy nội dung HHKG ở trường 
THPT thì phải tạo ra tâm lý “thích học hình không gian” của học sinh, nhất là 
học sinh lớp 11; phải tìm cách tiếp cận HHKG đơn giản, dễ hiễu và có “thuật 
giải” rõ ràng để có thể áp dụng cho nhiều bài tập, tránh trường hợp mỗi bài vận 
dụng mỗi cách khác nhau gây tâm lý hoang mang cho học sinh khi mới tiếp cận 
HHKG; phương pháp giải phải gần gũi với các nội dung đại số, phương trình, 
hệ phương trình – là các nội dung được học rất nhiều trong chương trình THPT 
và có thể nói là nội dung “sở trường”, là điểm mạnh của đại đa số học sinh. 
 Phương pháp véc tơ đáp ứng được các yêu cầu nói trên. Tuy nhiên trong 
chương trình SGK Hình học lớp 11 NC, phương pháp véc tơ chỉ được đề cập ở 
hai bài đầu tiên của Chương III với thời lượng 4 tiết là quá ít so với nội dung đồ 
sộ của phần HHKG. Chính vì vậy Phương pháp véc tơ đôi khi bị xem nhẹ, trang 
bị không đầy đủ, thiếu tính hệ thống làm cho học sinh không biết vận dụng vào 
giải quyết các bài toán hình học.
 Vì những lí do trên, tôi đã chọn đề tài SKKN mang tên “Phát triển tư duy 
thuật giải, tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 11 – THPT thông qua việc giải 
một số bài toán định lượng trong hình học không gian bằng phương pháp 
véc tơ ” với mục đích trang bị cho học sinh các kiến thức và kỹ năng vận dụng 
phương pháp véc tơ vào giải toán HHKG, hình thành cho học sinh phương pháp 
tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo, tạo tâm lý hứng thú khi học HHKG, góp phần 
nâng cao chất lượng dạy và học HHKG ở trường THPT nói chung cũng như 
Trường THPT Triệu Sơn 3 nói riêng. Đồng thời tác giả cũng mong muốn được 
trao đổi ý tưởng và cách làm tới các đồng nghiệp trong và ngoài đơn vị và hy 
vọng cách làm này sẽ được tiếp tục bổ sung và hoàn thiện hơn. 
 1 Thứ hai: Biết vận dụng thành thạo và có sáng tạo phương pháp véc tơ trong 
quá trình học tập môn HHKG, có tâm lý tự tin và hứng thú khi giải các bài tập 
về HHKG.
 Thứ ba: Hình thành và phát triển tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo.
3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài:
 Để có cơ sở đánh giá về hiệu quả của việc áp dụng đề tài vào thực tế dạy 
học, tôi chọn 2 lớp theo ban KHTN của Trường THPT Triệu Sơn 3 năm học 
2012-2013, cụ thể: lớp đối chứng: 11G2, lớp thực nghiệm:11G7.
 Các lớp được chọn tham gia nghiên cứu cho đề tài có nhiều điểm tương 
đồng nhau về tỉ lệ giới tính, kết quả và ý thức học tập của học sinh,... đặc biệt là 
năng lực học tập và kết quả điểm kiểm tra môn Toán trước khi tác động.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
 Thực trạng dạy và học HHKG ở trường THPT nói chung và trường THPT 
Triệu Sơn 3 nói riêng thể hiện ở một số điểm sau:
 Thứ nhất: Đối với giáo viên, việc dạy HHKG thường mất nhiều thời gian 
và công sức, đồng thời nội dung HHKG trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi 
đại học, đề thi HSG thường là những nội dung khó, có tính chất phân loại cao và 
chỉ chiếm tỉ lệ từ 10%-15% số điểm của toàn bài thi, do đó có tâm lý “xem nhẹ” 
nội dung này trong quá trình dạy học, ôn tập.
 Thứ hai: Đối với học sinh, để học tốt môn HHKG thì cần phải nắm vững 
kiến thức về hình học phẳng ở chương trình THCS, đồng thời phải có tư duy 
trừu tượng, khả năng đoán nhận tốt. Thực tế điều này lại là điểm yếu của không 
ít học sinh THPT nói chung và học sinh THPT Triệu Sơn 3 nói riêng, kể cả học 
sinh khá giỏi, do đó dẫn đến tâm lý “sợ” học HHKG, “ngại” học HHKG.
 Thứ ba: Các tài liệu trình bày về phương pháp véc tơ còn hạn chế, chưa có 
tính hệ thống, chuyên sâu và hệ thống bài tập chưa đa dạng gây nhiều khó khăn 
cho người dạy và người học.
III. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
 Tư tưởng chủ đạo để xác định các giải pháp là vận dụng quan điểm triết học 
trong câu nói của Chủ tịch Hồ Chí Minh : “Dĩ bất biến, ứng vạn biến”.
1. Giải pháp thứ nhất: Xây dựng các thuật giải – các đối tượng “bất biến”: 
Thực chất là các quy trình, các bước thực hiện cố định để tìm ra đáp số của một 
lớp các bài toán có yêu cầu tương tự nhau. Thông qua việc hình thành và xây 
 3 Lời giải Bài 1.1.
+) Chọn hệ véc tơ 
 A b
    D
 a AB,b AD,c AA1
   
+) Đặt AM xAB x a c a 
 1 c
   
 C
 A1N yA1C1 y a b B
     
Ta có MN MA AA1 A1N
 A1
= y x a yb 1 x c (1) D1
  M
và BD1 a b c N
 B1 C
   1 
+) Vì MN//BD1 nên tồn tại số thực k sao cho MN kBD1 ka kb kc (2)
 y x k
 2 1 1 AM 2
So sánh (1) và (2) ta có hệ y k x ,y ,k . Vậy .
 3 3 3 AB1 3
 1 x k
Bài 1.2. Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các 
cạnh BC, BD, AC sao cho BC 4BM,BD 2BN,AC 3AP . Mặt phẳng (MNP) 
 AQ
cắt đường thẳng AD tại Q. Tính tỉ số .
 AD
 Lời giải Bài 1.2.
    
+) Chọn hệ véc tơ a AB,b AC,c AD
 A 
  1  1 
+) Ta có BM BC b a , c
 4 4 a
 Q
  1  1  1  1 P
 AP AC b , BN BD c a 
 3 3 2 2 b
   N
+) Đặt AQ xAD xc . Khi đó B D
    1 M
 PQ AQ AP b xc (1)
 3
 C
    
Mặt khác ba véc tơ PQ,PM,PN đồng phẳng nên tồn tại các số thực m, n sao cho 
          
 PQ mPM nPN m AP AB BM n AP AB BN 
 5 2
  1 2 1  2 1 2 1 3
+) Khi đó PQ a b c PQ PQ a b c .
 3 3 3 3 3 3 3
Bài 1.4. Cho hình lập phương ABCDA 1B1C1D1 có cạnh bằng 2. Gọi I là trung 
điểm của AB và O là tâm của mặt BCC 1B1, M là điểm trên cạnh AD sao cho 
   
 AD 5AM , P là trung điểm của BB1 và K là điểm sao cho A1K kA1C .
 CK
a) Tìm số k và tỉ số biết đường thẳng MK song song với mp (PDC1).
 CA1
     
b) Gọi E và F lần lượt là các điểm thỏa mãn AE mAP,CF nCI sao cho O, E, 
F thẳng hàng. Tìm các số m, n và độ dài EF.
 Lời giải Bài 1.4.
+) Chọn hệ véc tơ F
    
 a BA,b BB1,c BC . 
Khi đó: a b c 2 và 
 A I a
 B
 a.b b.c c.a 0 M 
  c 
a) +) Ta có A1C c b a E b
     
 C P
 MK MA AA1 A1K D
 1 
 c b k c b a O
 5 K
 1 B1
 kc 1 k b k c (1) A1
 5 
+) Do MK//(PDC1) nên tồn 
tại các số x, y sao cho: 
 D1 C1
         
 MK xPC1 yPD x PB1 B1C1 y PB BC CD 
 b b x y 
 x b c y c a ya b x y c (2)
 2 2 2 2 
 7 2. Thuật giải trong các bài toán tính góc và khoảng cách giữa hai đường 
thẳng chéo nhau. 
Cho hai đường thẳng chéo nhau d 1 và d2. Giả sử d 1 có véc tơ chỉ phương u1 , đi 
qua A; d2 có véc tơ chỉ phương u2 , đi qua B.
a) Thuật giải:
Bước 1: Chọn một hệ ba véc tơ a , b , c không đồng phẳng. Cần chọn a , b , c 
  
khéo léo để có thể tính các giá trị a , b , c , a.b , b.c , c.a
Bước 2: Biểu diễn các véc tơ u1 và u2 theo a , b , c 
* Để tính góc giữa d1 và d2 ta tiếp tục thực hiện theo hai bước sau:
Bước 3: Tính các giá trị u1 , u2 ,u1.u2
 u1.u2
Bước 4: Sử dụng công thức tính góc: cos d1,d2 cos u1,u2 
 u1 . u2
* Để tính khoảng giữa d1 và d2 ta thực hiện theo hai bước sau:
Bước 5: Gọi EF là đoạn vuông góc chung của d 1 và d2 (E d1,F d2 ). Giả sử 
     
 AE x.u1,BF y.u2 . Biểu diễn véc tơ EF theo a , b , c (phụ thuộc vào x, y)
  
 EF.u1 0
Bước 6: Giải hệ phương trình đại số  để tìm nghiệm (x;y)
 EF.u2 0
  
Suy ra có sự biểu diễn EF .a .b .c (các số ,, biết thông qua x,y). 
  2 2
Từ đó tìm được độ dài: d d1,d2 EF EF .a .b .c .
b) Bài tập minh họa:
Bài 2.1. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi tâm O, có độ dài các đường 
chéo AC 4a,BD 2a , SO 2 2a và SO  (ABCD) . Gọi M là trung điểm 
của cạnh SC. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
 Lời giải Bài 2.1.
 9 2
  1 1 1 1 2a 6
 EF a c d SA,BM =EF= a c .
 3 3 3 3 3
Bài 2.2. Cho lăng trụ ABC.A 1B1C1 có tất cả các mặt bên là hình vuông cạnh 
bằng 1. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, A 1C1, B1C1. Tính 
côsin của góc giữa hai đường thẳng A1F, DE và khoảng cách giữa chúng.
 Lời giải Bài 2.2.
+) Chọn hệ véc tơ A C
    
 a A1A,b A1B1,c A1C1 D
Khi đó: a b c 1 và B
 1
 a.b a.c 0, b.c .
 2
+) Ta có a J
    
 1 1 1 c
 A1F A1B1 A1C1 b c
 2 2 2 E C1
 A1 
     1 b I F
 DE DC CC C E a b
 1 1 2
 B1
 2
  2 1 1 3
+) Tính cos A1F,DE : A1F A1F b c , 
 2 2 2
 2
  2 1 5   1 1 1 3
 DE DE a b , A1F.DE b c . a b .
 2 2 2 2 2 8
   
   A1F.DE 15
Suy ra: cos A1F,DE cos A1F,DE .
 A1F.DE 10
+) Tính khoảng cách d A1F,DE : Gọi IJ là đoạn vuông góc chung của A 1F và 
     
DE (I A1F,J DE). Giả sử JE x.DE, A1I y.A1F . Khi đó ta có:
     y x y 1 
 JI JE EA1 A1I x.a b c
 2 2 2 2 
   y x y 1 1 1 3 3 3
 JI.A1F 0 x.a b c b c 0 x y (1)
 2 2 2 2 2 2 8 4 8
 11