Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển, xây dựng một số bài toán trong sách giáo khoa Đại số & giải tích lớp 11 về chủ đề đại số tổ hợp để nâng cao năng lực tư duy học sinh

 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 
1. Lý do chọn đề tài 
 Chương trình tổ hợp xác suất được Bộ Giáo Dục và Đào Tạo đưa vào trong 
chương trình toán đại số và giải tích lớp 11 nhằm cung cấp kiến thức và hình thành, 
phát triễn kỹ năng giải các bài toán đếm, tổ hợp, xác suất thống kê cũng như phát triễn 
các phẩm chất tư duy khác cho học sinh. Đặc trưng của môn học là tính logic cao đem 
lại nhiều khó khăn thách thức cho thầy và trò nhưng cũng chứa đựng nhiều cơ hội cho 
quá trình rèn luyện phát triễn tư duy, trí tưởng tượng, khả năng tìm tòi, óc sáng tạo và 
nhiều kỹ năng khác.Trong đó hai vấn đề lớn xuyên suốt là bài toán đếm và bài toán 
xác suất.Học sinh để làm được bài toán xác suất thì cần làm được bài toán đếm.Như 
vậy bài toán đếm là bài toán cơ bản nhất và quan trọng nhất trong chương trình này. 
 Khi nghiên cứu sách giáo khoa Đại số giải tích lớp 11 (chương trình hiện hành) 
tôi thấy các dạng toán đếm là tương đối đơn giản và sơ lược.Với số lượng ít như vậy 
làm cho giáo viên và học sinh lúng túng trong việc tiếp cận và nâng cao năng lực toán 
học.Đặc biệt học sinh chưa có cơ hội để phân biệt được sự khác nhau giữa các khái 
niệm trong quá trình áp dụng. Học sinh thiếu cơ hội để cọ xát và tiếp cận nhiều dạng 
toán mới đáp ứng nhu cầu tìm tòi phát triển tư duy. Bên cạnh đó, với sự đổi mới cách 
học và thi như hiện nay lại càng gây thêm khó khăn cho học sinh trong quá trình tự 
học, tự sáng tạo. Tuy nhiên khi nghiên cứu kỹ hơn tôi thấy có sự xuất hiện một số bài 
toán mặc dù khá đơn giản nhưng nếu tìm hiểu sâu hơn ta sẽ thấy được bản chất và 
chứa đựng một số nội dung cực kì quan trọng. Nếu người dạy và người học biết cách 
khai thác và phát triển sẽ thu được nhiều vấn đề mới mẻ. Đặc biệt đối với người học, 
nếu được khơi nguồn sáng tạo họ sẽ hăng say tìm tòi và cơ hội tốt để họ phát triển tư 
duy toán học lên một tầm cao mới. 
 Với các ý tưởng như vậy đã thúc đẩy tôi nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm 
dạy học cho năm học 2021-2022 có tên: 
“ Phát triển, xây dựng một số bài toán trong sách giáo khoa đại số & giải tích lớp 
11 về chủ đề đại số tổ hợp để nâng cao năng lực tư duy học sinh”. 
2. Mục đích nghiên cứu 
 Trước những hiện tượng và mâu thuẩn đang tồn tại trong thực tiễn giáo dục trên, 
tôi đã tìm tòi và nghiên cứu đề tài nhằm đạt được những mục đích sau: 
 Thứ nhất: Giúp các em nắm vững lý thuyết về quy tắc đếm, về hoán vị, chỉnh 
hợp, tổ hợp và trang bị cho các em một số phương pháp giải bài toán này. 
 Thứ hai: Củng cố và khắc sâu các kiến thức đại số, hình học có liên quan, rèn 
luyện kỷ năng tính toán, lập luận. 
 1 
 PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 
Chương I. Cơ sở lí luận thực tiển 
I. Một số khái niệm, kiến thức cơ bản và thuật ngữ liên quan đến đề tài. 
1. Năng lực toán học 
 Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, “năng lực là thuộc tính cá nhân 
được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho 
phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân 
khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, thực hiện thành công một loại hoạt động nhất 
định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”. 
 Thông qua chương trình môn Toán, học sinh cần hình thành và phát triển được 
năng lực toán học, biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán. Năng lực toán học 
bao gồm các thành tố cốt lõi sau: Năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô 
hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; 
năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. 
 Tùy vào từng đối tượng học sinh, yêu cầu cần đạt của từng khối lớp, năng lực 
toán học của mỗi học sinh được biểu hiện ở các mức độ khác nhau. 
Dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh là chuyển đổi từ việc “học sinh cần 
phải biết gì” sang việc “phải biết và có thể làm gì” trong các tình huống và bối cảnh 
khác nhau. Do đó dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh chú trọng lấy học 
sinh làm trung tâm và giáo viên là người hướng dẫn, giúp các em chủ động trong việc 
đạt được năng lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với đặc điểm cá nhân. 
2. Tư duy 
2.1. Khái niệm 
 Hiện nay, tư duy còn là một khái niệm chưa thống nhất bởi chưa có một định 
 nghĩa nào thể hiện được trọn vẹn hết các đặc điểm, tính chất, vai trò ở tư duy. Từ 
 trước đến nay đã có nhiều công trình nghiên cứu về phát triển tư duy, xong người 
 nghiên cứu cũng không hề đưa ra một định nghĩa tư duy cụ thể mà chỉ đưa ra cách 
 hiểu của bản thân bởi như vậy sẽ không làm hạn chế năng lực tư duy hay gói gọn suy 
 nghĩ trong một phạm vi cụ thể. Mỗi lĩnh vực khác nhau lại nghiên cứu tư duy dưới 
 những góc nhìn khác nhau. Theo quan điểm của các nhà tâm lý học Mác - xít dựa trên 
 nền tảng là chủ nghĩa duy vật biện chứng đã khẳng định: tư duy là sản phẩm của một 
 cơ quan vật chất sống có tổ chức cao là bộ óc con người; được hình thành trong quá 
 trình hoạt động thực tiễn của con người. Theo “Từ điển bách khoa Việt Nam”, tập 4 
 (Nhà xuất bản Từ điển bách khoa, Hà Nội): Tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất 
 được tổ chức một cách đặc biệt – bộ não con người. Tư duy phản ánh tích cực hiện 
 3 
2.3. Các giai đoạn của tư duy 
 Quá trình tư duy của con người nhằm mục đích giải quyết một nhiệm vụ cụ thể 
phát sinh trong quá trình nhận thức hoặc trong hoạt động thực tiễn. Đây là quá trình 
gồm nhiều giai đoạn, được nhà tâm lý học K.K.Platonôv sơ đồ hóa. 
 Như vậy, các giai đoạn của quá trình tư duy bắt đầu từ việc nhận thức được vấn 
đề trong các tình huống có vấn đề rồi thông qua các giai đoạn khác nhau nhằm mục 
đích giải quyết được vấn đề để từ đó bắt đầu một hành động tư duy mới. 
 Nhận thức vấn đề là giai đoạn đầu tiên trong các giai đoạn (quá trình) của tư 
duy. Nó chỉ nảy sinh trong những tình huống mà con người cho là “có vấn đề”. Nhận 
định về tính có vấn đề của mỗi người lại khác nhau, tùy thuộc vào góc nhìn, kinh 
nghiệm sống, kiến thức và nhu cầu cá nhân ở mỗi người. Trong cùng một tình huống, 
có người thấy có vấn đề thì quá trình tư duy băt đầu và ngược lại nếu không thấy có 
vấn đề thì không có quá trình tư duy. Đây là giai đoạn mở đầu và quan trọng nhất của 
cả quá trình tư duy. Tiếp đến là giai đoạn cá nhân người tư duy huy động những kinh 
nghiệm và kiến thức sẵn có của bản thân và người khác vào vấn đề vừa được nhận 
thức để làm xuất hiện các liên tưởng có liên quan đến vấn đề. 
 Giai đoạn này được gọi là xuất hiện các liên tưởng. Sàng lọc các liên tưởng và 
hình thành giả thuyết là giai đoạn thu hẹp phạm vi các kinh nghiệm, kiến thức tìm 
được trước đó để phù hợp với nhiệm vụ giải quyết vấn đề. Từ đó, chủ thể tư duy có 
thể đưa ra các phương án giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng và tiết kiệm thời 
gian. Kiểm tra giả thuyết là khâu kiểm tra tính khả thi và phù hợp thực tiễn của các 
phương án được đề xuất. Trong quá trình kiểm tra, chủ thể tư duy sẽ phát hiện được 
đâu là phương án đem lại hiệu quả cao nhất. Đây cũng là giai đoạn mà sau đó người 
kiểm tra đôi khi sẽ phát hiện nhiệm vụ mới cần giải quyết. Giai đoạn cuối cùng là giải 
quyết vấn đề. Bằng việc thực hiện phương án tối ưu nhất được lựa chọn trong các giả 
thuyết để giải quyết vấn đề thì việc giải quyết vấn đề được đặt ra lúc ban đầu sẽ có kết 
quả là câu trả lời hoặc đáp số. Những vấn đề mới có thể nảy sinh sau khi đã giải quyết 
vấn đề ban đầu nên để giải quyết vấn đề mới phát sinh thì cũng cần một quá trình tư 
duy mới. Những trường hợp khác nhau thì các giai đoạn của quá trình tư duy có thể 
đổi khác nhưng không được thay đổi thứ tự của các quá trình tư duy. 
2.4. Các thao tác của tư duy 
 - Coi quá trình tư duy là một hành động thì các giai đoạn của quá trình hành 
động đó mới chỉ thể hiện được cấu trúc bên ngoài của việc tư duy. Phần nội dung bên 
trong của từng giai đoạn lại diễn ra dựa vào cơ sở các thao tác tư duy. Đây là các thao 
tác trí tuệ được chủ thể thực hiện ở trong đầu, nên còn được gọi là những quy luật bên 
trong của tư duy, bao gồm: 
 5 
 STT Lớp Số phiếu phát ra Số phiếu thu về 
 1 11C1 36 36 
 2 11C2 40 40 
 3 11C3 41 41 
 4 11C4 40 40 
 Phiếu điều tra gồm 2 câu hỏi, được soạn dưới hình thức trắc nghiệm cho học 
 sinh đánh dấu. 
5. Tập hợp số liệu điều tra. 
 Câu hỏi Nội dung Số ý kiến Tỉ lệ % 
 Em đánh giá như thế nào về việc học các tiết học chủ đề đại số tổ hợp 
 hiện nay? 
 A. Hệ thống lý thuyết dễ học, dễ hiểu. Làm được 
 8 5.10 
 hầu hết các bài tập trong SGK và SBT. 
 Câu 1 B. Hệ thống lý thuyết, phương pháp giải còn hạn 
 chế. Chỉ làm được những bài toán đơn giản và 
 149 94.90 
 thường gặp khó khăn, sai lầm trước những bài toán 
 phức tạp hơn. 
 Em muốn các tiết học tự chọn chủ đề đại số tổ hợp theo hướng nào ? 
 A. Giáo viên dạy theo hướng truyền thống: Giáo 
 4 2.55 
 viên ra đề, học sinh tìm lời giải 
 Câu 2 
 B. Giáo viên dạy theo định hướng phát triển năng 
 153 97.45 
 lực tư duy và lập luận Toán học của học sinh 
 7 
Chương II. Phát triển và xây dựng một số bài toán 
I. Trang bị kiến thức cơ bản 
1. Kiến thức cơ bản 
1.1. Quy tắc cộng 
 a) Định nghĩa: Xét một công việc H . 
Giả sử H có k phương án HHH12, ,..., k thực hiện công việc H . Nếu có m1 cách thực 
hiện phương án H1 , có m2 cách thực hiện phương án H 2 ,.., có mk cách thực hiện 
phương án H k và mỗi cách thực hiện phương án Hi không trùng với bất kì cách thực 
hiện phương án H j (i j; i , j 1,2,..., k) thì có m12+ m +... + mk cách thực hiện 
công việc H . 
b) Công thức quy tắc cộng 
Nếu các tập AAA12, ,..., n đôi một rời nhau. Khi đó: 
 AAAAAA1 2 ... nn = 1 + 2 + ... + ( Ai là số phần tử của tập hợp Ai ) 
1.2. Quy tắc nhân. 
a) Định nghĩa: Giả sử một công việc H bao gồm k công đoạn . Công 
đoạn H1 có m1 cách thực hiện, công đoạn H 2 có m2 cách thực hiện,, công đoạn 
 H k có mk cách thực hiện. Khi đó công việc có thể thực hiện theo m12. m ... mk cách. 
b) Công thức quy tắc nhân 
Nếu các tập AAA12, ,..., n đôi một rời nhau. Khi đó: 
 AAAAAA1 2 ... nn = 1 . 2 ..... . 
1.3. Hoán vị 
1.3.1. Hoán vị 
a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử (n 1). Khi sắp xếp n phần tử này theo 
một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập A. 
Kí hiệu Pn là số hoán vị của n phần tử . 
b) Số hoán vị của tập n phần tử: 
Định lí: Ta có P== n! 1.2.3... n ; chú ý: quy ước 0!= 1. 
 n 
1.3.1. Hoán vị có lặp 
a) Khái niệm: Có vật (n 1) được sắp vào vị trí trong đó: 
 9 
b) Số tổ hợp 
 k
Kí hiệu Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử. 
 n!
Định lí: Ta có: C k = . 
 n (n− k )! k !
2. So sánh, phân biệt, cách dùng các khái niệm Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Các 
sai lầm thường gặp của học sinh: 
2.1. So sánh, phân biệt, cách dùng các khái niệm Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. 
 Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp 
 - Tất cả phần tử đều - Cần chọn phần tử từ - Cần chọn phần tử từ 
 phải có mặt phần tử phần tử. 
 - Mỗi phần tử xuất hiện - Mỗi phần tử xuất hiện - Mỗi phần tử xuất hiện 
 một lần. một lần một lần 
 - Có thứ tự giữa các - phần tử đã cho được - Không quan tâm đến 
 phần tử. sắp xếp thứ tự. thứ tự phần tử đã chọn. 
2.2. Các sai lầm thường gặp của học sinh 
 + Đa số học sinh mắc sai lầm trong việc vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân. 
 + Phân chia trường hợp riêng xẩy ra chưa đầy đủ. 
 + Do hiểu sai khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị. 
 + Không biết phối hợp giữa các công thức, quy tắc. 
II. Phương pháp chung giải bài toán tổ hợp 
1. Phương pháp đếm trực tiếp 
 + Tùy theo bài toán chúng ta có thể chia trường hợp hay không chia trường hợp. 
Nội dung: Đếm các trường hợp thỏa mãn yêu cầu bài toán 
2. Đếm vị trí 
+ Bước 1: Chọn vị trí cho số thứ nhất theo yêu cầu bài toán, suy ra số vị trí cho các 
số tiếp theo. 
+ Bước 2: Sắp xếp các số còn lại 
3. Phương pháp đếm loại trừ 
Nội dung: Đếm loại trừ theo hai bước 
 11