Sáng kiến kinh nghiệm Phép đối xứng trục trong một số bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

 A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài.
 Trong cấu trúc đề thi THPT Quốc gia hay các kì thi chọn học sinh giỏi 
luôn có bài toán hình học về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Đó là phần bài 
tập khó, có tính phân loại, vì vậy đa số học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc 
giải quyết các bài toán này.
 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng là chương trình hình học 10, là phần 
tiếp nối với hình học phẳng ở THCS nhưng nhìn dưới quan điểm đại số và giải 
tích. Như vậy mỗi bài toán hình học tọa độ phẳng đều mang bản chất của một bài 
toán hình học phẳng nào đó. Tuy nhiên khi giải các bài toán hình học tọa độ trong 
mặt phẳng, học sinh thường khó vận dụng được các tính chất của hình học phẳng 
vì hình học phẳng thường khó và các tính chất đó thường khó phát hiện trong các 
bài toán về phương pháp tọa độ. Bên cạnh đó phép biến hình là mảng kiến thức 
khó, học sinh ngại học. Vì vậy, thực tế yêu cầu phải trang bị cho học sinh một hệ 
thống các phương pháp suy luận để giải các bài toán hình học phẳng hiệu quả 
hơn. 
 Với những lý do đó, tôi đưa ra sáng kiến kinh nghiệm “ Phép đối xứng 
trục trong một số bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” nhằm giúp 
học sinh có định hướng tốt hơn để giải các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng và 
nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy, giúp học sinh đạt kết quả cao hơn trong các 
kì thi.
2. Mục đích nghiên cứu.
 Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh trường THPT. Làm cho 
học sinh hiểu, dễ nhớ và vận dụng được các tính chất của hình học phẳng vào giải 
quyết các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng. Học sinh tìm được mối liên hệ giữa 
các tính chất của phép đối xứng trục với các tính chất hình học phẳng, với bản 
chất hình học của bài toán tọa độ trong mặt phẳng.
3. Phạm vi nghiên cứu.
 Nghiên cứu và vận dụng một số tính chất của phép đối xứng trục vào giải 
các bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh khối 10, khối 
11 và học sinh ôn thi đại học. 
 1 trong quá trình giải toán hình học toạ độ trong mặt phẳng, người giáo viên cần 
tạo cho học sinh thói quen xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, khai thác các yếu 
tố đặc trưng hình học của bài toán để tìm lời giải. Trong đó việc hình thành cho 
học sinh khả năng tư duy theo các phương pháp giải là một điều cần thiết. Việc 
trải nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định 
hướng và giải toán.
 Cần nhấn mạnh một điều rằng, đa số các học sinh sau khi tìm được một lời 
giải cho bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng thường không suy nghĩ, đào 
sâu thêm. Học sinh thường không chú ý đến bản chất hình học phẳng của bài 
toán nên mặc dù làm rất nhiều bài toán hình học toạ độ nhưng vẫn không phân 
loại được dạng toán cơ bản cũng như bản chất của bài toán. Thậm chí một bài 
toán tương tự nhau xuất hiện trong nhiều đề thi mà học sinh vẫn làm miệt mài 
như lần đầu tiên giải nó, bởi không nhận biết được dạng toán này đó từng làm.
 Với thực trạng đã chỉ ra, thông thường học sinh sẽ dễ dàng cho lời giải đối 
với các bài toán có cấu trúc đơn giản. Còn khi đưa ra bài toán khác một chút cấu 
trúc cơ bản học sinh thường tỏ ra rất lúng túng và không biết định hướng tìm lời 
giải bài toán. Từ đó, hiệu quả giải toán của học sinh bị hạn chế rất nhiều. Trước 
thực trạng đó của học sinh, tôi thấy cần thiết phải hình thành cho học sinh thói 
quen xem xét bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng theo bản chất hình học 
phẳng. Và vì vậy song song với các lời giải cho bài toán hình học toạ độ trong 
mặt phẳng, tôi luôn yêu cầu học sinh chỉ ra bản chất và bài toán hình phẳng tương 
ứng, từ đó phân tích ngược lại cho bài toán vừa giải.
 Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đưa ra một số nội dung vận dụng 
phép đối xứng trục để tìm ra bản chất, tính chất hình học của bài toán tọa độ 
phẳng, để định hướng, tìm lời giải cho các bài toán đó. Qua đó giúp học sinh 
nhận thức được rằng: “Mỗi bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng luôn chứa 
đựng một bài toán hình phẳng tương ứng”. Vì vậy phân tích bản chất của bài toán 
hình học phẳng để bổ trợ cho việc giải bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng 
là một suy nghĩ có chủ đích, giúp học sinh chủ động hơn trong việc tìm kiếm lời 
giải cũng như phân loại một cách tương đối các bài toán hình học toạ độ trong 
mặt phẳng.
 Trên thực tế, tôi đã khảo sát chất lượng học tập của học sinh (về vấn đề 
giải các bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng) và đã thu được kết qua 
như sau:
 3 A
 B
 d M
 A'
 MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B. Vậy MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi A’, 
M, B thẳng hàng hay M là giao điểm của đường thẳng A’B với d.
Từ đó, ta có thể áp dụng cách giải trên vào các bài toán tọa độ trong mặt phẳng 
như sau:
 Bài 1. 
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: 
2x – y + 5 = 0 và hai điểm A(2; - 1), B(1; 2).
 Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho chu vi ∆MAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Giáo viên hướng dẫn:
 - Yêu cầu học sinh xác định dạng toán, phân tích giả thiết của bài toán.
 - Kiểm tra xem A và B có cùng phía với d hay không?
 - Từ đó có thể vận dụng bài toán tổng hợp ở trên.
Tiến hành giải toán:
 Vì (2.2 + 1 + 5)(2.1 – 2 + 5) > 0 nên A và B nằm cùng phía so với d.
 Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d, H là giao điểm của AA’ và d.
 AA’ có phương trình: 1(x – 2) + 2(y + 1) = 0 hay x + 2y = 0
 2x y 5 0
 Tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình: H(-2; 1)
 x 2y 0
 Vì H là trung điểm của AA’ nên A’(-6; 3)
 Với mọi M thuộc d, ta có MA = MA’ 
 Chu vi ∆MAB được xác định: MA + MB + AB ≥ A’B + AB 
 Chu vi ∆MAB đạt giá trị nhỏ nhất khi A’, M, B thẳng hàng hay M là 
giao điểm của A’B và d.
 Đường thẳng A’B có phương trình: x + 7y – 15 = 0.
 5 18 1 
 N ; 
 5 5 
 Gọi P là điểm đối xứng với M qua trục Oy P(- 2; 3)
 Khi đó NP có phương trình: 4x + 7y – 13 = 0
 4x 7y 13 0 26 13 
 Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình: A ; 
 x 2y 0 15 15 
 4x 7y 13 0 13 
 Tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình: B 0; 
 x 0 7 
Bài 3.
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ∆ABC có A(1; 6), B(-3; -2), C(4; 1).
 Tìm tọa độ các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho 
chu vi ∆MNP đạt giá trị nhỏ nhất.
Định hướng:
 - Bài toán này có dạng chung như hai bài toán trên. Điểm khác là ∆MNP 
có ba đỉnh chưa được xác định. 
 - Có thế sử dụng bài 2 như sau: Giả sử tìm được M thuộc BC thỏa mãn yêu 
cầu bài toán (M cố định). Bây giờ tìm N thuộc AC, P thuộc AB sao cho chu vi 
∆MNP đạt nhỏ nhất. Sau đó tính chu vi đó theo AM.
 - Tìm vị trí của M trên BC sao cho AM nắn nhất.
 E
 B
 K
 P
 M
 H C
 A
 N
 F
Cách giải:
 Giả sử tìm được M thuộc BC thỏa mãn yêu cầu bài toán.
 Gọi E là điểm đối xứng với M qua AB, F là điểm đối xứng với M qua AC
 Với mọi P thuộc AB, mọi N thuộc AC, ta có: MP = EP, MN = NF
 Khi đó chu vi tam giác MNP đạt nhỏ nhất khi N là giao điểm của EF với 
AC, P là giao điểm của EF với AB và bằng C = EF = 2AM.sin B· AC
 7 x 3y 6 0 6 8 
 Tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình: H ; 
 3x y 2 0 5 5 
 3 11 
 A’ có tọa độ A’ ; 
 5 5 
 Đường thẳng A’B có phương trình: x – 2y + 5 = 0
 x 2y 5 0 9 17 
 Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình: M ; 
 3x y 2 0 5 5 
 Mỗi chúng ta đều biết, nếu d là đường phân giác của x·Oy , thì hai tia Ox 
và Oy đối xứng với nhau qua d hay phép đối xứng trục d biến tia Ox thành Oy 
hoặc ngược lại. Như vậy mỗi bài toán về đường phân giác của một góc, ta đều có 
thể sử dụng phép đối xứng trục để xử lí.
Bài 5.
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình 
đường phân giác trong góc A là x + y + 2 = 0, đường cao kẻ từ B có phương 
trình: 2x – y + 1 = 0. Đường thẳng AB đi qua điểm M(1; 1), diện tích tam giác 
ABC là 27 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
 2
Định hướng: 
 A
 H
 N
 I
 M
 B C
 D
 Từ giả thiết của bài toán, có AD là đường phân giác trong góc A
 AB và AC đối xứng với nhau qua AD
 Mà AB đi qua M AC đi qua N đối xứng với M qua AD
 Xác định được N, ta xác định được A, rồi B.
 Sử dụng giả thiết diện tích tam giác để tìm C. Ở đây, ta tìm được 2 điểm C, 
nhưng chỉ có 1 điểm thỏa mãn, vì B, C nằm về hai phía của AD.
Bài giải
 Qua M, kẻ đường thẳng vuông góc với AD tại I, cắt AC tại N.
 9 5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại C có đường 
 7 7 
phân giác trong góc A là AD, với D ; thuộc BC. Gọi E, F là các điểm lần 
 2 2 
lượt thuộc AB, AC sao cho AE = AF. Đường thẳng EF cắt BC tại K. Biết E
 3 5 
 ; , F có hoành độ nhỏ hơn 3, AK có phương trình: x – 2y – 3 = 0. Viết 
 5 2 
phương trình các cạnh của tam giác ABC.
6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có A(2; 0), đường 
chéo BD đi qua điểm M(- 1; 1), đỉnh C thuộc đường thẳng d: x + y + 4 = 0. Biết 
chu vi của hình thoi bằng 20, đỉnh B có tung độ dương. Tìm tọa độ các đỉnh còn 
lại của hình thoi.
7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có phương trình 
đường chéo AC: x + 7y – 31 = 0, hai đỉnh B, D lần lượt thuộc các đường thẳng 
d1: x + y – 8 = 0, d2: x – 2y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi, biết diện 
tích hình thoi bằng 75(đvdt) và đỉnh A có hoành độ âm.
8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có AD là đường phân 
giác trong góc A, (D BC). Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao 
cho BM = BD, CN = CD. Biết D(2; 0), M(-4; 2), N(0; 6). Hãy viết phương trình 
các cạnh của tam giác ABC.
9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường 
phân giác trong góc A: x + y – 2 = 0, phương trình đường trung tuyến kẻ từ A là 
 3 
4x + 5y – 9 = 0, đường thẳng AC đi qua M ;0 . Biết bán kính đường tròn ngoại 
 2 
 5
tiếp tam giác ABC là R , điểm C có hoành độ dương. Tìm tọa độ các đỉnh của 
 2
tam giác.
10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có B(4; -3), M là 
trung điểm cạnh BC, D là giao điểm của đường phân giác trong góc M· AC và 
cạnh BC. Biết CB = 3CD, AD có phương trình: 3x – 2y – 5 = 0, diện tích tam 
giác ABC bằng 39 , C có hoành độ dương. Tìm tọa độ A và C.
 4
Bài 6. 
 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương 
trình: x2 + y2 – 2x – 4y – 3 = 0, và hai đường thẳng(d): x + y – 1 = 0,(∆): 3x + y – 
 11