Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu - Tơn

 SỞS GD&ĐTỞ GD&ĐT VĨNH VĨNH PH PHÚCÚC 
 TRƯTRƯỜNGỜNG THPT .NGUYỄN THỊ GIANG 
 =====***==========***===== 
 BÁO BÁOCÁO CÁO K KẾTẾT QUẢ QUẢ 
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 
 Tên sáng kiến:....................................................... 
 Tác giả sáng kiến:................................................. 
Tên sáng kiến: Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu-tơn 
 Môn: . 
 Trường THCS: .. 
Tác giả sáng kiến: Hồ Thị Kim Thúy 
Mã sáng kiến: 25.52. 
 Vĩnh phúc, năm 2018 
 Vĩnh phúc, năm 2018 
 BÁO CÁO KẾT QUẢ 
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 
1. Lời giới thiệu 
 Toán học có vai trò lớn trong đời sống, trong khoa học và trong công 
nghệ hiện đại; kiến thức Toán học là công cụ để học sinh học tốt các môn khoa 
học khác. Với tư cách là cố vấn cho quá trình học tập, người giáo viên cần có sự 
đầu tư về thời gian để nghiên cứu bài học, tìm tòi kiến thức để hướng dẫn cho 
học sinh tiếp cận với tri thức, xóa bỏ rào cản của học sinh khi học môn Toán. 
 Để hoàn thành tốt môn học này các em cần nắm vững kiến thức cơ bản từ 
thấp đến cao. Rèn luyện kỹ năng bằng cách chăm chỉ làm các bài tập trong sách 
giáo khoa, sách bài tập và các sách nâng cao. Ngoài ra, học tốt môn Toán cần 
chú ý đến việc hệ thống hóa kiến thức. Khi làm một bài toán cần nhanh chóng tư 
duy xem bài đó thuộc dạng nào để tìm ra cách giải. 
 Nhị thức Niu - tơn là một trong những nội dung kiến thức hay và có nhiều 
điểm có thể huy động khai thác tư duy của học sinh. Việc học và rèn luyện nội 
dung này cũng hết sức quan trọng và cần thiết để học sinh có sự chuẩn bị chu 
đáo cho kỳ thi THPT quốc gia hiện nay khi đề thi có mở rộng sang nội dung 
toán 11. Tuy nhiên do hạn chế về thời gian lên lớp và đối tượng học sinh không 
đồng đều nên sách giáo khoa chỉ đưa ra những tình huống cơ bản của Nhị thức 
Niu- tơn, do đó học sinh gặp nhiều hạn chế về kiến thức cũng như khả năng 
phân tích khi giải các bài toán này. 
 Đối với đối tượng học sinh khá giỏi thì việc phân dạng bài toán này nhằm 
nâng cao kiến thức và khả năng vận dụng kiến thức Nhị thức Niu-tơn một cách 
hiệu quả trong các kì thi là thật sự cần thiết. 
 Chính vì vậy tôi xin mạnh dạn trình bày "Phương pháp giải bài tập Nhị 
thức Niu - tơn" làm sáng kiến kinh nghiệm cho mình. Với hy vọng đề tài này sẽ 
là một tài liệu tham khảo phục vụ tốt cho việc học tập của các em học sinh nói 
riêng và cho công tác giảng dạy của đồng nghiệp nói chung. 
2. Tên sáng kiến: 
 “Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu – tơn”. 
 1 
 khuôn máy móc do đó mà học sinh dễ dàng tiếp thu để giải quyết các bài toán lạ, 
các bài toán khó liên quan đến “Nhị thức Niu tơn”. 
6.4. Phương pháp thực hiện 
 - Bước 1: Khảo sát tư liệu 
 Nghiên cứu hệ thống lý thuyết, các dạng bài tập. Tìm hiểu các đề kiểm tra 
của học sinh và các nguồn tư liệu khác có liên quan tới quá trình dạy học phần 
“Nhị thức Niu tơn”. 
 - Bước 2: Đưa ra các dạng bài tập, phương pháp giải, ví dụ và phân tích ví 
dụ minh họa, bài tập tương tự để học sinh luyện tập. 
 - Bước 3: Tiến hành thực nghiệm sư phạm trên đối tượng học sinh (2 lớp 
khối 11). 
 - Bước 4: Thu thập và xử lý số liệu, rút ra kết luận. 
6.5. Nội dung 
Phần 1. Cơ sở lý thuyết 
a) Hoán vị : Cho tập hợp A gồm n phần tử n 1 
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán 
vị của n phần tử đó 
 Pn n! n ( n 1)...2.1 n N * 
* Quy ước : 0! = 1 
b) Chỉnh hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử n 1 
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp 
chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã 
cho 
 k n!
 A 1 k n , n ¥ 
 n n k !
c) Tổ hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử n 1 
Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. 
 k n!
 C 0 k n , n ¥ 
 n k!! n k 
* Chú ý : 
 n
 PAn n 
 3 
 - Bước 1 : Tìm số hạng tổng quát của khai triển 
 n
 n
 k n k k Ck a n k b k
Tk 1 C n a b 0 k n ; n ¥ hoặc biểu diễn a b  n 
 k 0
 Rút gọn số hạng tổng quát với số mũ thu gọn của các biến có trong khai triển. 
- Bước 2 : Căn cứ và yêu cầu của bài toán để đưa ra phương trình tương ứng với 
giái trị của k. Giải phương trình tìm k. 
- Bước 3 : Kết luận về hệ số hoặc số hạng của xk trong khai triển. 
* Một số tính chất của lũy thừa với số mũ thực sử dụng trong loại toán này (để 
thu gọn số mũ của biến) : Cho a, b là những số thực dương, m,n là những số 
thực tùy ý: 
 am. a n a m n 
 am
 am n 
 an
 n
 am a m. n 
 m
 a.. b am b m 
 m
 a am
 m 
 b b
 m
 Cho a là số thực dương, m Z,* n N ta có : n am a n 
c) Ví dụ minh họa : 
 5
 2 
 x10 3
Ví dụ 1 : Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển x 2 với x 0. 
 x 
Lời giải : 
 - Số hạng tổng quát của khai triển : 
 k
 5 k 2 k
 T Ck x3 C k. 2 . x 15 5 k
 k 1 5 2 5 
 x 
 - Số hạng chứa x10 trong khai triển ứng với 
 15 5k 10
 0 k 5 k 1 
 k N
 5 
 5k 14
 2
 3
 0 k 7 k 4 
 k N
 2 4 2 2
 - Vậy hạng tử chứa x trong khai triển là : C7 . x 35 x 
Ví dụ 5 : 
 31
a) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển: x3 xy 
 12
 1 5 
b) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển: 3 x 
 x 
Phân tích bài toán : 
 - Thực hiện theo 3 bước thực hiện bài toán nêu trên. 
 - Khi xác định số hạng chính giữa của khai triển cần chú ý 
 n
 +/ Nếu n là số chẵn thì số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ 1 
 2
 n 1
 +/ Nếu n là số lẻ thì số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ và 
 2
 n 1
 1. 
 2
Lời giải : 
 31
a) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển: x3 xy 
 31 k
 k3k k 93 2 k k
 - Số hạng tổng quát của khai triển : Tk 1 C 31 x xy C 31.. x y 
 - Số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ 16 và số hạng thứ 17 lần 
 lượt ứng với các giá trị k =15 và k = 16 
 15 63 15
 - Số hạng thứ 16 trong khai triển là : C31.. x y và số hạng thứ 17 trong 
 16 61 16
 khai triển là : C31 .. x y 
 12
 1 5 
b) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển: 3 x 
 x 
 12 k
 k 11k 72
 k 1 5 k 2
 - Số hạng tổng quát của khai triển : Tk 1 C 12 3 x C 12. x 
 x 
 - Số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ 7 ứng với k = 6 
 7 
 Kết luận : Hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của 
 5
 x 1 2 x x2 (1 3 x ) 10 là : 
 3 3 4 4
C10.3 + C5 .( 2) = 3320 
 9 10 14
Ví dụ 7 : Cho đa thức p( x ) 1 x 1 x ... 1 x có dạng khai triển là 
 2 3 14
 px( ) a0 axax 1 2 ax 3 ... ax 14 . Tìm hệ số a9. 
Phân tích bài toán : 
 2 3 14 9
Vì px( ) a0 axax 1 2 ax 3 ... ax 14 nên a9 tương ứng là hệ số của x . 
 9
Khi đó hệ số a9 bằng tổng tất cả các hệ số của x trong các khai triển 
 9 10 14
 1 x ; 1 x ;...; 1 x 
Lời giải : 
Ta có : 
 9
Hệ số a9 bằng tổng tất cả các hệ số của x trong các khai triển 
 9 10 14
 1 x ; 1 x ;...; 1 x 
 9 9 9
Khi đó : a9 C 9 C 10 ... C 14 3003 
 9
Ví dụ 8 : Tìm hạng tử của khai triển 3 3 2 là số nguyên 
Phân tích bài toán : 
Thực hiện viết số hạng tổng quát của khai triển. Để tìm được hạng tử của khai 
triển là số nguyên thì số mũ của lũy thừa nguyên. 
Lời giải : 
 9 k k
 9 k k
 k3 k 2 3
 - Số hạng tổng quát của khai triển : TCCk 1 9  3  2 9  3  2 
 - Hạng tử Tk 1 là số nguyên 9 k chia hết cho 2 và k chia hết cho 3 
 0 k 9; k N 
 Khi đó k 3;9 
 3 3
 k = 3 thì TC4 9 3  2 4536 
 9 3
 k = 9 thì TC10 9 2 8 
Vậy hạng tử của khai triển là số nguyên là: T4 4536 và T10 8 
 8 1 x2 1 x 8 
Ví dụ 9: Tìm hệ số của x trong khai triển đa thức của: 
Lời giải : Cách 1 : 
 9 
 Bài 1 : Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển: 2 3x 25 
 21
Bài 2 : a) Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau x3 xy 
 20
 1
 b) Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau x4 x 
 3 2 
 xy 
 7
 3 1 
Bài 3 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển x với x 0 
 4 x 
 10
 1 
Bài 4 : Tìm hệ số của số hạng thứ 4 trong khai triển: x 
 x 
 40
 31 1 
Bài 5 : Tìm hệ số của x trong khai triển: x 2 
 x 
 7
Bài 6 : Tìm hạng tử chứa x2 trong khai triển: 3 x 2 x 
 14
Bài 7: Tìm số hạng chính giữa của khai triển x 2 y 
 Loại 2. Nhóm các bài toán tìm hệ số và số hạng trong khai triển thỏa 
 mãn điều kiện cho trước 
a) Bài toán thường gặp : 
 n
Cho khai triển có dạng a b . Cho biết một vài số hạng hoặc các hệ số trong 
tổng thỏa mãn một đẳng thức nào đó hoặc số mũ n thỏa mãn điều kiện cho 
trước. Tìm hệ số hoặc số hạng chứa xk trong khai triển đã cho. 
b) Các bước thực hiện bài toán: 
- Dựa vào đẳng thức đã cho hoặc điều kiện về số mũ ta thực hiện tìm n. 
- Sau khi tìm được n ta thực hiện theo 3 bước như loại 1 đã nêu. 
c) Ví dụ minh họa: 
 n
Ví dụ 11 : Biết rằng tổng tất cả các hệ số của khai triển x2 1 bằng 1024. 
 12
Tìm hệ số a của số hạng ax trong khai triển đó. 
Phân tích bài toán : 
 n
 - Khai triển x2 1 theo công thức Nhị thức Niu- tơn 
 - Tính tổng các hệ số của khai triển và cho bằng 1024 để tìm n 
 - Thực hiện theo 3 bước đã nêu ở dạng 1 
Lời giải : 
 11