Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải bài tập trắc nghiệm hình học không gian lớp 11 - Chuyên đề các bài toán khoảng cách

 I. MỞ ĐẦU:
1. Lí do chọn đề tài:
 Sự ưu việt của phương pháp thi trắc nghiệm đã và đang được chứng minh 
từ những nước có nền giáo dục tiên tiến trên thế giới, bởi những ưu điểm như: 
tính khách quan, tính bao quát và tính kinh tế .
 Theo chủ trương của Bộ giáo dục & đào tạo, kì thi THPT quốc gia môn 
toán sẽ chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, đây là một sự thay đổi lớn trong 
việc kiểm tra đánh giá đối với bộ môn toán. Khi thi trắc nghiệm, đòi hỏi học 
sinh phải có sự hiểu biết thật sâu sắc về kiến thức và phải biết sắp xếp trình tự tư 
duy logic hơn, nhanh hơn để đáp ứng thời gian hoàn thành một câu trả lời trong 
vòng 1,8 phút nhanh hơn gấp 10 lần so với yêu cầu kiểm tra đánh giá cũ.
 Trong chương trình toán THPT, "Hình học không gian" được giới thiệu 
trong SGK lớp 9 và được giải quyết hoàn thiện trong chương trình SGK hình 
học lớp 11. Môn học này là một trong những môn học khó nhất đối với học sinh 
THPT bởi tính trừu tượng của nó. Các bài toán về khoảng cách trong hình học 
lớp 11 là một trong những bài toán định lượng quan trọng nhất của bộ môn hình 
học không gian và hay được sử dụng trong thi THPT quốc gia.
 Với mong muốn giúp các em học sinh THPT tiếp thu tốt các kiến thức cơ 
bản về khoảng cách, đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt kiến thức đó để 
giải toán và áp dụng trong thực tiễn, tôi đã chọn đề tài " Phương pháp giải bài 
tập trắc nghiệm hình học không gian lớp 11 - chuyên đề các bài toán khoảng 
cách " 
2. Mục đính nghiên cứu:
 "Các bài toán về khoảng cách" là một bài tập định lượng quan trọng và 
khó của bộ môn hình học không gian lớp 11. Khi chuyển sang hình thức thi trắc 
nghiệm, học sinh không đơn giản chỉ là "tô" vào một trong 4 đáp án, để có được 
câu trả lời bắt buộc học sinh vẫn phải thực hiện các khâu và các bước làm bài 
giống một bài tự luận bình thường. Vậy để đảm bảo được thời gian của một bài 
thi trắc nghiệm, yêu cầu học sinh phải nắm vững một lớp bài toán theo một sơ 
đồ tư duy logic đã được định hình sẵn trong đầu, và đã được thực hành thuần 
thục nhiều lần. Có như vậy, học sinh mới có thể giải quyết nhanh trong phần thi 
trắc nghiệm.
 Sơ đồ tư duy là một công cụ tổ chức tư duy, là con đường dễ nhất để 
chuyển tải thông tin vào bộ não rồi đưa thông tin ra ngoài bộ não. Đồng thời là 
một phương tiện ghi chép đầy sáng tạo và rất hiệu quả theo đúng nghĩa của nó: 
"sắp xếp" ý nghĩ. Sử dụng sơ đồ tư duy trong dạy và học mang lại hiệu quả cao, 
phát triển tư duy logic, khả năng phân tích tổng hợp, học sinh hiểu bài, nhớ lâu, 
thay cho ghi nhớ dưới dạng thuộc lòng, học vẹt, phù hợp với tâm sinh lí học 
sinh, đơn giản dễ hiểu thay cho việc ghi nhớ lí thuyết bằng ghi nhớ dưới dạng sơ 
đồ chuyển hóa kiến thức.
 Vậy vấn đề đặt ra là: 
 • Cần giúp học sinh tiếp cận hệ thống và ghi nhớ đầy đủ các tính chất 
và khái niệm cơ bản về các loại khoảng cách trong không gian.
 • Cần giúp học sinh biết phân loại và vạch ra sơ đồ tư duy cho các 
bài toán về tính khoảng cách.
 1 II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
 • Căn cứ vào nội dung chương trình của SGK môn hình học lớp 11 
(chương 3)
 • Căn cứ vào hệ thống bài tập ôn tập chương 3 hình học 11 trong 
SGK và các đề trắc nghiệm trên mạng Internet.
 • Căn cứ vào phân loại các dạng bài tập trong sách tham khảo: Giải 
toán hình học 11 (Tác giả: Trần Thành Minh (chủ biên) - Nhà xuất bản giáo dục 
tháng 8 năm 2004), 
 Tuy nhiên, trong các tài liệu tham khảo trên đa phần đều nặng về lí thuyết, 
chưa phân dạng các bài toán khoảng cách cụ thể và chi tiết, chưa đưa ra được 
kết cấu một bài làm dưới dạng sơ đồ tư duy. Dựa vào các tài liệu trên, tôi đã 
hướng dẫn học sinh phân loại được các dạng toán cụ thể và xây dựng được một 
hệ thống tư duy cho lớp các bài tập khoảng cách. 
 Vì vậy, chỉ cần đọc đề bài là học sinh đã có thể phân loại và nhận dạng 
bài tập cần làm (theo sơ đồ tư duy định sẵn có ở trong đầu đã được học và không 
sa vào chứng minh rườm rà). Khi đó học sinh chỉ cần áp dụng kết quả cuối cùng 
và sử lí theo số liệu cụ thể của đề bài. Đây chính là bí quyết để học sinh rút ngắn 
thời gian làm bài.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
 Sau khi học xong khái niệm, tôi đã cho học sinh thực hành làm bài trắc 
nghiệm 50 câu với phân loại 50 câu đủ ba phần: Câu hỏi nhận dạng, câu hỏi vận 
dụng và câu hỏi vận dụng cao. Thực hiện kiểm chứng trên lớp với 45 học sinh 
11 A1 năm học 2016 – 2017 thu được kết quả sau:
 Nhận biết(nắm vững lý Thông hiểu(có thể vận Vận dụng linh hoạt 
 thuyết) dụng lý thuyết để giải (giải được đa số các bài 
 toán) tập đưa ra)
 Số Phần trăm Số Phần trăm Số Phần trăm
 học sinh học sinh học sinh
 45 100% 20 44,4% 7 15,6%
 Tuy nhiên về thời gian thu được kết quả sau:
 Từ 5 phút/ 1 bài 
 Từ 2 phút/ 1 bài Trên 10 phút / 1 
 1,8 phút / 1 bài đến 10 phút/ 1 
 đến 5 phút/ 1 bài bài
 bài
 Số Số Số Số
 Phần Phần Phần Phần 
 học học học học 
 trăm trăm trăm trăm
 sinh sinh sinh sinh
 2 4,4% 5 11,1% 13 28,9% 20 55,6%
 Đặc điểm của lớp thực nghiệm là:
 Số học sinh của lớp: 45 
 Kết quả học tập về môn toán năm học 2015 – 2016 là: 7 học sinh có học 
lực giỏi, 13 học sinh có học lực khá, 21 học sinh có học lực trung bình 
4 học sinh có học lực yếu.
 3 M bất kì trên a
 (P) là mặt phẳng chứa b 
 và song song với a. 
 • Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một đường 
thẳng:
 Khi tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ta nên gắn khoảng 
cách đó vào một tam giác thường là tam giác vuông và sử dụng các tính chất 
sau:
 Cho ∆ABC vuông tại A.
 AB BC.sin ·ACB 
 AB BC.cos·ABC
 AB AC.tan ·ACB 
 AB AC.cot ·ABC
 1 1 1
 AH 2 AB2 AC 2
3.2. Phương pháp giúp học sinh hệ thống các dạng bài toán về khoảng cách 
trong hình học không gian 11:
 Khi giải một bài toán hình học không gian, học sinh cần thực hiện qua các 
bước cần thiết sau: đọc kĩ đề bài, phân tích giả thiết của bài toán, vẽ hình đúng, 
đặc biệt cần xác định thêm các yêu cầu khác: điểm phụ, đường phụ (nếu cần) để 
phục vụ cho quá trình giải toán.
 Trong hệ thống bài tập cũng như trong thực tiễn cuộc sống ta có thể chia 
"bài toán về khoảng cách" thành các bài toán nhỏ sau: khoảng cách từ một điểm 
đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng 
cách giữa hai đường thẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song 
song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
 Khi chuyển sang hình thức "thi trắc nghiệm" thì bài tập khó nhất của đề 
có thể nói là các bài tập về hình không gian bởi thời gian để thực hiện làm bài đã 
bị hạn chế hơn chỉ bằng 1/10 so với thời gian cũ, trong lúc đó việc dùng máy 
tính để bổ trợ hoặc các thủ thuật loại trừ các đáp án nhiễu hầu như không đáng 
kể. Thực chất, học sinh vẫn phải thực hiện việc giải gần giống một bài tự luận. 
Vậy để đáp ứng được hình thức kiểm tra đánh giá mới thì vấn đề đặt ra là giáo 
viên phải biết hướng dẫn học sinh nắm vững được nội dung trọng tâm nhất, bài 
toán mấu chốt để các bài toán nhỏ khác có thể đưa về nó. Và việc sử dụng sơ đồ 
tư duy tỏ ra có hiệu quả khi đảm bảo một lời giải ngắn gọn nhất, logic nhất và 
nhanh nhất.
Bài toán 1: Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).
 Gồm 2 phương pháp chính: Tính trực tiếp và tính gián tiếp.
 Phương pháp 1: Tính trực tiếp
 Trực tiếp 1:( Có sẵn đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt 
phẳng (P))
 d (A; (P)) = AH
 5 Trong đó d(B;(P)) dễ tính hơn hoặc biết trước. 
 Gián tiếp 2: (Gián tiếp cắt)
 Cùng phía:
 d(A;(P)) AH AC
 d(B;(P)) BK BC
 trong đó: AH  (P) (H (P))
 BK  (P) (K (P))
 AB  (P) = C
 Khác phía:
 d(A;(P)) AH AC
 d(B;(P)) BK BC
 Trong đó: AH  (P) (H (P))
 BK  (P) (K (P))
 AB  (P) = C
Bài toán 2: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
 Cho a // (P)
 d(a;(P)) = d(A;(P)) = AH
 Với AH  (P), H (P)
 Như vậy bài toán tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song 
đã đưa về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Bài toán 3: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
 Cho (P) // (Q)
 d((P);(Q)) = d(A;(Q))
 Với A (P)
Như vậy bài toán tính khoảng cách giữa hai mặt 
phẳng song song đã đưa về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt 
phẳng.
Bài toán 4: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
 Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b
 Có hai phương pháp chính để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo 
nhau là:
Phương pháp 1: Tính trực tiếp (Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc 
chung)
 7 • Sơ đồ tư duy định hình hướng làm khi tiếp cận bài toán này:
 Chọn phương án
 Trực tiếp Gián tiếp
 Trực tiếp 1: Có sắn Gián tiếp 1: song song
 đường vuông góc
 Trực tiếp 2: Có sẵn Gián tiếp 2: cắt
 mặt vuông góc
 Trực tiếp 3: Dựng
 Bước đầu sử dụng sơ đồ tư duy trên học sinh sẽ định hình nhanh được 
cách giải, áp dụng luôn công thức để tính ra đáp án mà không cần mất thời gian 
cho việc chứng minh quan hệ vuông góc vì phần chứng minh đã nằm trong bài 
toán tổng quát. Ta sẽ thấy rõ được lợi ích qua các ví dụ sau với lời giải ngắn 
gọn, logic và kết quả chính xác. Đấy là cách rút ngắn thời gian cho việc làm bài, 
đảm bảo về thời gian của bài trắc nghiệm.
 • Sơ đồ tư duy trong thực hành giải toán:
 Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA 
vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) tính theo a 
bằng:
 a a 2
A. B. a 2 C. D. a
 2 2
 Chọn phương án: Trực tiếp 1
 BO  (SAC)
 (O = AC  BD)
 d(B;(SAC)) = BO = a 2 
 2
 Học sinh gắn BO vào ∆ ABC để tính.
 Vậy đáp án cần chọn là C.
 9 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. Mặt bên (SAB) 
vuông góc với đáy và ∆ SAB đều. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) tính 
theo a bằng:
 12 a
 A. a B. a C. a 12 D. 
 7 7
 Chọn phương án: Gián tiếp 1
 d(A;(SCD))=d(H;(SCD))
 Chọn phương án: Trực tiếp 2
 (K CD: KC = KD)
 Dựng HI  SK (I SK)
 (SHK)  (SCD)
 12
 d(H;(SCD) = HI = a 
 7
 Học sinh gắn HI vào ∆ SHK để tính 
 Vậy đáp án cần chọn là A.
 Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA 
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a 3 . G là trọng tâm của ∆ SAB. 
Khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SAC) tính theo a bằng:
 a a a 2
 A. B. C. D. a 2 
 6 6 6
 Chọn phương án: Gián tiếp 2
 d(G;(SAC))= 1 d(B;(SAC))
 3
 Chọn phương án: Trực tiếp 1
 O = AC  BD; BO  (SAC)
 Học sinh tính BO trong Y ABCD 
 d(G;(SAC)) = 1 d(B;(SAC)) = BO = a 2 
 3 3 6 Vậy đáp án cần chọn là C
 11