Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp sử dụng điểm đặc biệt trong bài toán tính khoảng cách

 MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài...2
1.2 Mục đích nghiên cứu....2
1.3 Đối tượng nghiên cứu...3
1.4 Phương pháp nghiên cứu..3
2. NỘI DUNG
2.1 Cơ sơ lí luận.4
2.2 Thực trạng của đề tài6
2.3 Biện pháp thực hiện..7
2.4 Kết quả nghiên cứu.18
3. KẾT LUẬN
Kết luận20
Tài liệu tham khảo................20
 1 gọi là “điểm đặc biệt” của bài toán. Vì vậy, trong bài viết này tác giả giúp học sinh 
phát hiện, xác định “điểm đặc biệt” của bài toán và kĩ năng quy khoảng cách cần tìm 
về tính khoảng cách đối với “điểm đặc biệt”. 
1.3 Đối tượng nghiên cứu
 Đề tài nghiên cứu một số vấn đề như sau:
 Nêu hướng giải quyết các bài toán tìm khoảng cách trong không gian:
1.3.1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
1.3.2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
1.4 Phương pháp nghiên cứu
1.4.1 Tìm hiểu thực tế giảng dạy, học tập ở một số trường trong tỉnh.
1.4.2 Nghiên cứu tài liệu.
1.4.3 Thực nghiệm.
1.4.4 Nhận xét.
 3 M
 M
 H
 H d
 P
 2.1.3 Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song, giữa hai 
mặt phẳng song song.
 Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng 
cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P) . 
(Định nghĩa 2- SGK Hình học nâng cao 11- trang 113).
 B
 A
 a
 K
 H
 P
 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì 
của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
(Định nghĩa 3- SGK Hình học nâng cao 11- trang 114).
 A
 B
 P
 H
 K
 Q
2.1.4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của 
hai đường thẳng đó.(Định nghĩa 4- SGK Hình học nâng cao 11- trang 115).
 a
 J
 P
 K
 b
 Q
2.1.5 Một số tính chất cần lưu ý
Tính chất 1: 
Nếu A , B , I thẳng hàng, I thuộc mặt phẳng (Q) và AI k.BI thì ta có 
 d(A,(Q)) kd(B,(Q)) .
 5 khác gần như không có “lối đi” cho loại bài toán này. Đề tài này tác giả mong muốn 
giúp các em từng bước giải quyết vấn đề trên.
2.3 Biện pháp thực hiện 
 2.3.1 Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
 Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) . Chúng ta thực hiện các 
bước suy luận như sau:
 Tìm điểm đặc biệt của mặt phẳng (P) .
 Tìm cách quy việc tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) về tính 
khoảng cách từ điểm đặc biệt đến mặt phẳng (P) . (nhờ tính chất 1, 2).
 Ví dụ 1:
 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA 
vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SB tạo với đáy một góc bằng 600 . Tính 
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a .
 Phân tích:
 Trong trường hợp này điểm A chính là điểm đặc biệt của mặt phẳng (SBC) . Nên ta 
thực hiện việc xác định hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng (SBC) và tính. Cụ thể ta 
có lời giải như sau:
 Giải:
 S
 H
 A C
 I
 B
 Gọi I là trung điểm BC , H là hình chiếu của A lên SI .
Ta có BC  AI, BC  SA BC  (SAI) . Suy ra BC  AH , do đó AH  (SBC)
Nên d(A,(SBC)) AH . Mặt khác do SA vuông góc với đáy.
 a 3
Nên SBA 600 SA AB.tan 600 a 3 , và AI .
 2
 SA.AI a 15
Suy ra d(A,(SBC)) AH .
 SA2 AI 2 5
 7 Phân tích:
 Trường hợp này điểm B cũng không là điểm đặc biệt của mặt phẳng (SAC) , 
nên đầu tiên ta cần tìm điểm đặc biệt của mặt phẳng (SAC) . Giả sử H là hình chiếu 
của S lên đáy thì H là điểm đặc biệt của mặt phẳng (SAC) . Nên bước tiếp theo ta tìm 
cách quy việc tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) về tính khoảng cách 
từ H đến mặt phẳng (SAC) , (nhờ tính chất 1,2). Cụ thể ta có lời giải như sau:
Giải:
 S
 K
 H C
 B
 I
 A
Gọi H là hình chiếu của S lên BC , do (SBC)  (ABC) SH  (ABC) .
Ta có BH BS.cos300 3a, HC a BC 4HC nên d(B,(SAC)) 4d(H,(SAC)) .
Gọi I là hình chiếu của H lên AC , K là hình chiếu của H lên SI .
Ta có AC  HI, AC  SH AC  (SHI) AC  HK do đó HK  (SAC) .
Suy ra d(H,(SAC)) HK
Mặt khác, sử dụng tính chất đồng dạng của hai tam giác HIC và ABC ta có 
 HI HC AB.HC 3a SH.HI 3a 7
 HI , SH SB.sin 300 a 3 . Suy ra HK .
 AB AC AC 5 SH 2 HI 2 14
 6a 7
Vậy d(B,(SAC)) 4HK .
 7
Ví dụ 4:
 Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy là tam giác vuông tại A , AB a , BC 2a . 
Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm của tam giác 
 ABC , góc giữa đường thẳng CC 'với mặt đáy bằng 60 0. Tính theo a khoảng cách 
từ điểm B ' đến mặt phẳng (AA'C'C) .
Phân tích:
 Ở ví dụ này B ' không phải là điểm đặc biệt của mặt phẳng (AA'C'C) , mà điểm đặc 
biệt của mặt phẳng này là trọng tâm G của tam giác ABC . Như vậy, để tính được 
khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (AA’C’C) ta cần thực hiện liên tiếp các bước quy từ 
việc tính khoảng cách điểm B’ về điểm B, rồi tiếp là về điểm đặc biệt G.
(nhờ tính chất 1, 2). Cụ thể ta có lời giải như sau:
 9 Giải: 
 S
 H
 K
 A M D
 B C
 I
 SH SH.SB SA2 2 2
Ta có SH SB .
 SB SB2 SA2 AB2 3 3
 2
Do đó d(H,(SCD)) d(B,(SCD)) .
 3
Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AB và CD, ta có B là trung điểm AI.
Suy ra 
 1 1
 d(B,(SCD)) d(A,(SCD)) d(H,(SCD)) d(A,(SCD))
 2 3
Gọi M là trung điểm AD. Ta có MA MD MC AC  CD .
Gọi K là hình chiếu của A lên SC. Khi đó CD  AC,CD  SA CD  (SAC) CD  AK .
Mà AK  SC AK  (SCD) , suy ra d(A,(SCD)) AK .
 1 AK a
Mặt khác: AC AB2 BC 2 a 2 AK SC a . Vậy d(H,(SCD)) .
 2 3 3
Ví dụ 6: ( Đề thi đại học khối B, năm 2011).
 Cho lăng trụ ABCD.A' B 'C ' D ' có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a, AD a 3 . 
Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm 
của AC và BD . Tính theo a khoảng cách từ điểm B ' đến mặt phẳng (A' BD) .
Phân tích:
 Do mặt phẳng (ABCD)  (A' BD) nên mọi điểm nằm trong mặt phẳng đáy đều là điểm 
đặc biệt của mặt phẳng (A’BD). Nên ta sẽ quy việc tính khoảng cách từ điểm B’ đến 
mặt phẳng (A’BD) về một điểm nào đó trong mặt phẳng (ABCD), ở ví dụ này ta có thể 
quy về tính khoảng cách từ A hoặc C đến mặt phẳng (A’BD), tác giả sẽ trình bày lời 
giải quy khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) về tính khoảng cách từ điểm 
C đến mặt phẳng (A’BD). Cụ thể lời giải như sau:
 11 S
 H
 A D
 M
 d
 B C
Gọi d là đường thẳng qua B và song song với AC.
 Ta có AC song song mặt phẳng (SB,d), suy ra d(SB, AC) d(AC,(SB,d)) d(A,(SB,d)) .
Gọi M là hình chiếu của A lên d, H là hình chiếu của A lên SM.
Ta có SA  BM , MA  BM AH  BM AH  (SBM ) .Do đó d(A,(SB,d)) AH
 a 2
 SCA 450 SA AC.tan 450 a 2;MA AB cos 450 
Vì nên 2 .
 SA.AM a 10 a 10
Mà AH . Vậy d(SB, AC) .
 SA2 AM 2 5 5
Ví dụ 8: ( Đề thi đại học khối A, năm 2012).
 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc 
của S trên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA 2HB . Góc 
giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai 
đường thẳng SA và BC theo a.
Phân tích:
 Trường hợp này ta cũng chọn một mặt phẳng (P) chứa SA và song song với BC để 
quy bài toán về tính khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng BC đến (P). Vì điểm 
đặc biệt của mặt phẳng (P) là điểm H nên ta có thể chọn điểm B thuộc đường thẳng 
BC để dễ dàng quy về điểm H. Từ đó ta có lời giải cụ thể như sau:
Giải:
 13 Giải:
 S
 N
 E
 K
 A D
 H
 M
 I
 B C
Gọi E là trung điểm của SC, ta có AMEN là hình bình hành, suy ra AN song song ME 
nên AN song song mặt phẳng (SMC).
Do đó d(AN, SC) d(AN,(SMC)) d(A,(SMC)) .
 3 3
Gọi H là giao điểm của AC và DM, ta có AC HC d(A,(SMC)) d(H,(SMC)) .
 2 2
Gọi I là hình chiếu của H lên MC và K là hình chiếu của H lên SI
Ta có MC  HI, MC  SH MC  (SHI) MC  HK HK  (SMC) .
Suy ra d(H,(SMC)) HK .
 1 1 2S 2a 2
Mặt khác: SH AH.tan 600 a; HI d(D, MC) DMC .
 3 3 MC 9
 HI.HS 2a 178 3 3a 178
Suy ra HK . Vậy d(AN, SC) HK .
 HI 2 HS 2 89 2 89
Ví dụ 10: 
 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, 
 AB 2a, BC a . Các cạnh bên của hình chóp bằng a 2 . Gọi M , N, P lần lượt là 
trung điểm của các cạnh SB,CD, SD . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường 
thẳng MN và SP .
Phân tích:
 Đây là bài toán tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau MN và SP, đối 
với bài toán này ta cần tìm hai mặt phẳng song song lần lượt chứa MN và SP. Sau đó 
sử dụng tính chất 4 để quy bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 
về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
 15 2.3.2 Bài tập đề xuất
Bài 1: ( Đề thi đại học khối B năm 2013)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và 
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a khoảng cách từ điểm 
SA đến mặt phẳng (SCD).
Bài 2: ( Đề thi đại học khối A năm 2010)
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là 
trung điểm cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với 
mặt phẳng (ABCD) và SH a 3 . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng DM 
và SC.
Bài 3: ( Đề thi khảo sát chất lượng 12 năm học 2015- 2016 của Sở GD & ĐT Thanh 
Hóa)
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD là đáy lớn, AD = 2a, AB 
= BC = CD = a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc 
đoạn thẳng AC sao cho HC = 2HA. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 
600. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD.
Bài 4:
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC 600 . Cạnh bên 
SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC tạo với đáy một góc bằng 60 0. Gọi G là trọng tâm 
tam giác SAB. Tính theo a khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SCD).
Bài 5: 
 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt 
phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là trung điểm cạnh 
CC’. Tính theo a khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’N).
Bài 6:
 0
 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB 2a,BAC 60 , 
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 3 . Gọi M là trung điểm của AB. 
Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM.
 17