Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp tính Tổ hợp – Xác suất

 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
 TRƯỜNG THPT SÁNG SƠN
 =====***=====
 BÁO CÁO KẾT QUẢ 
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
 Tên sáng kiến: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔ HỢP – XÁC SUẤT 
 Tác giả sáng kiến: Hoàng Trung Hiếu
Mã sáng kiến: 18.52.06
 Vĩnh phúc, năm 2019
 1 các dạng toán có ít ví dụ minh họa, như vậy chỉ phù hợp với những học sinh có 
học lực khá trở lên, còn như vậy đối với học sinh có học lực yếu hơn sẽ không nắm 
được hết các công thức, các kĩ năng tính toán. Trong đề tài này thì các dạng bài tập 
được trình bày theo dạng, có phân tích kỹ khi sử dụng công thức. Sáng kiến trình 
bày những nội dung chính sau:
 - Kiến thức cơ bản về qui tắc đếm gồm có qui tắc cộng và qui tắc nhân
 - Kiến thức cơ bản hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
 - Các dạng bài tập cơ bản và nâng cao
 Sáng kiến này có thể áp dụng rộng rãi đối với nhiều đối tượng học sinh với 
những điều kiện học tập khác nhau.
 + Với mục đích viết sáng kiến nhằm nâng cao chuyên môn, khả năng sư 
phạm và quan trọng hơn đó là mong muốn làm sao truyền tải được đến các em học 
sinh phần kiến thức này một cách dễ hiểu nhất, giúp các em hiểu bài, tự làm được 
bài tập, tạo hứng thú cho các em trong quá trình học tập và nâng cao khả năng tự 
học. Sáng kiến còn là tài liệu cần thiết trong quá trình dạy học của bản thân, là tài 
liệu để học sinh có thể tự học vì có nhiều ví dụ có lời giải dễ hiểu, và còn là tài liệu 
tham khảo cho đồng nghiệp.
 MÔ TẢ SÁNG KIẾN
 Tổ hợp - xác suất là một phần học đòi hỏi sự tư duy cao, học sinh cần phân 
biệt rõ từng khái niệm, phân biệt sự khác nhau khi sử dụng từng khái niệm đó vào 
bài tập. Đây là phần tương đối khó. Đòi hỏi học sinh phải có tư duy tốt về cả hai 
phần là phần khái niệm và áp dụng . Vì vậy học sinh học phần này cảm thấy rất 
khó khăn. Đặc biệt đối với học sinh có học lực chỉ từ trung bình khá trở xuống.
 Để khắc phục tình trạng trên khi dạy phần này giáo viên cần có những phương 
pháp cụ thể như: chia các dạng toán hợp lý, đưa ra những phân tích, so sánh và 
nhận xét cho từng phần, có ví dụ tương ứng với các dạng toán. Với các ví dụ phù 
hợp, có lời giải chi tiết giúp học sinh nắm được kiến thức một cách nhẹ nhàng. 
 Để học tốt phần này thì học sinh cần phải nắm được các phần chính sau:
 - Các khái niệm 
 - Các công thức
 - Các dạng bài tập
 Sáng kiến “Phương pháp tính Tổ hợp – Xác suất” này sẽ phần nào giải quyết 
được các vấn đề trên và nó còn phù hợp với nội dung chương trình giảm tải. 
 3 n!
 Số các tổ hợp chập k của n phần tử: Ck 
 n k!(n k)!
 0
 Qui ước: Cn = 1
1.2. Các dạng bài tập
 Sau đây là một số dạng bài tập sử dụng các qui tắc cộng, qui tắc nhân và các 
khái niệm về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Bài tập được phân thành một số dạng sau:
1.2.1. Bài toán lập số, lập mã số
a) Một số ví dụ đơn giản.
Ví dụ 1: Trên thẻ nạp tiền của mạng vinaphone có 12 chữ số xếp thứ tự được lấy từ 
các chữ số từ 0 đến 9. Hỏi có thể lập được bao nhiêu thẻ nạp tiền như vậy?
Giải: Gọi mã số cần lập có dạng: a1 a2 a12, ai 0,1,...,9
Để lập mã số ta cần thực hiện liên tiếp các hành động
 Chọn a1 có 10 cách
 Chọn a2 có 10 cách
 Chọn a12 có 10 cách
Theo qui tắc nhân có 1012 =1.000 000 000 000 (mã số)
Ví dụ 2: Một cánh cửa phòng được thiết kế đóng mở tự động bằng một bảng điều 
khiển gồm 10 phím số từ 0 đến 9. Nếu muốn cửa mở thì cần nhập một mật khẩu 
gồm 3 phím số khác nhau được nhấn liên tiếp. Hỏi có bao nhiêu cách để nhập một 
mật khẩu như vậy?
Giải: Mỗi mật khẩu là một chỉnh hợp chập 3 của 10 phần tử
 3
Số mật khẩu lập được là A10 720 (mật khẩu)
Nhận xét: Nếu lập mã số thì chữ số đứng đấu có thể bằng 0
Ví dụ 3: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Lập được bao nhiêu số tự nhiên
 a) gồm 3 chữ số 
 5 4
 Số các số cần tìm là A7 840
c) Để lập số tự nhiên thỏa mãn đề bài ta thực hiện liên tiếp các hành động sau:
 4
 Chọn 4 chữ số khác nhau trong 7 chữ số đã cho có C7 cách
 Sắp xếp 4 chữ số đã cho sao cho chữ số bên phải lớn hơn chữ số bên trái có 
1 cách
 4
 Theo qui tắc nhân có tất cả C7 35 (số)
Nhận xét: Các ý sử dụng hoán vị hoặc chỉnh hợp để đếm thì vẫn có thể sử dụng qui 
tắc nhân để tính nhưng sẽ dài dòng hơn. Học sinh muốn sử dụng hoán vị, chỉnh 
hợp thì cần phải hiểu rõ khái niệm và điều kiện để áp dụng được các khái niệm đó. 
b) Lập số chia hết cho một số
Nhận xét: Một số dấu hiệu chia hết cho một số thường gặp
- Dấu hiệu chia hết cho 2: Số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8
- Dấu hiệ số chia hết cho 5: Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
- Dấu hiệu chia hết cho 3: Số có tổng các chữ số chia hết cho 3
- Dấu hiệu chia hết cho 9: Số có tổng các chữ số chia hết cho 9
- Dấu hiệu chia hết cho 6: Số chia hết cho 2 và 3.
Ví dụ 1: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lập được bao nhiêu 
a) số tự nhiên lẻ gồm 3 chữ số khác nhau
b) số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau.
Giải:
a) Gọi số tự nhiên cần lập là abc,a 0,a,b 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,c 1, 3, 5, 7
Để lập số thỏa mãn yêu cầu ta thực hiện liên tiếp các hành động sau :
 Chọn c có 4 cách
 Chọn a có 7 cách
 7 Vậy số các số lập được là 16.3! = 96 (số).
Ví dụ 3: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau 
và chia hết cho 6?
Giải: Số chia hết cho 6 là số chia hết cho 2 và 3
+) Ta có các bộ 3 số khác nhau có tổng chia hết cho 3 là : {1, 2, 3}, {1, 3, 5}, 
{2, 3, 4}, {3, 4, 5}
+) Mỗi bộ số {1, 2, 3}, {3, 4, 5} lập được 2 số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác 
nhau
+) Bộ số {2, 3, 4} lập được 4 số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau
+) Bộ số {1, 3, 5} không lập được số tự nhiên chẵn.
Vậy có tất cả 2.2 + 4 = 8 (số chia hết cho 6)
c) Lập số lớn hơn hoặc nhỏ hơn một số cho trước
Ví dụ 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 100?
Giải: 
+) Số các số tự nhiên nhỏ hơn 100 có một chữ số lập được là 6 (số)
+) Số các số tự nhiên nhỏ hơn 100 có hai chữ số khác nhau lập được là 6.5 = 30 
(số)
Vậy có tất cả 30 + 6 = 36 (số)
Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ 
số khác nhau và nhỏ hơn 5400?
Nhận xét: Giáo viên cần phân tích rõ cho học sinh các trường hợp có thể có của a 
để chia trường hợp cho hợp lý.
Giải: Gọi số tự nhiên cần lập là abcd 5400; a,b,c,d thuộc {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
TH1: a = 5. Ta thực hiện liên tiếp các hành động sau
 Chọn b có 3 cách
 Chọn c có 5 cách
 9 Theo qui tắc nhân có tất cả 2.3.2 = 12 (số)
d) Lập số bắt đầu từ chữ số cho trước; có mặt chữ số yêu cầu; chữ số đứng cạnh 
nhau
Ví dụ 1: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 
chữ số khác nhau và bắt đầu bằng chữ số 23?
Giải: Gọi số tự nhiên cần lập có dạng 23abc,a,b,c {0, 1, 4, 5, 6, 7}
Mỗi số tự nhiên cần lập là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử
 3
Vậy số các số lập được là: A6 120 (số)
Ví dụ 2: Biển số đăng kí xe máy của các tỉnh trong cả nước hiện nay ngoài 2 chữ 
số kí hiệu mã tỉnh đầu tiên thì nó gồm 2 nhóm, nhóm 1 gồm 1 chữ cái trong 26 chữ 
cái (không dùng chữ cái I và O) và một số trong các số từ 1 đến 9, nhóm 2 gồm 4 
chữ số trong các số từ 0 đến 9 (ví dụ: 34 M4 2578). Hỏi trong một tỉnh số xe máy 
được đăng kí nhiều nhất theo biển xe kiểu này là bao nhiêu?
Giải: Để tạo được một biển số xe như vậy ta phải thực hiện liên tiếp các hành động 
sau:
 Chọn chữ cái trong nhóm 1 có 24 cách (26 chữ cái không dùng hai chữ I và 
O)
 Chọn chữ số trong nhóm 1 có 9 cách (từ 1 đến 9)
 Chọn 4 chữ số ở nhóm 2 có 104 cách
Theo qui tắc nhân có tất cả 24.9.104 = 2 160 000 (xe)
Ví dụ 3: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 
6 chữ số khác nhau chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3?
Giải: Đặt nhóm 2 chữ số 2,3 là x
+) Ta tìm các số có 6 chữ số khác nhau có dạng abcdef có chữ số 2 và số 3 đứng 
cạnh nhau, trong đó chữ số a có thể bằng 0 hoặc khác 0
 Hoán vị x và các chữ số 0, 1, 4, 5 có 5! cách
 Hoán vị chữ số 2, 3 có 2 cách
 11 Các trường hợp chọn thỏa mãn:
 4 0
 Chọn 4 nam, 0 nữ có C23.C17 cách
 3 1
 Chọn 3 nam, 1 nữ có C23.C17 cách
 4 0 3 1
Theo qui tắc cộng ta có C23.C17 +C23.C17 = 38 962 (cách)
Ví dụ 3 : Một đội có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. 
Có bao nhiêu cách chọn một đoàn công tác gồm 3 người trong đó có cả nam và nữ 
và cần có cả nhà toán học và vật lý học.
Giải : Tổng số người trong đội là 5 + 3 + 4 = 12 (người)
Các trường hợp thỏa mãn là
 1 2
 Chọn 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lý nam có C3.C4 cách
 1 1 1
 Chọn 1 nhà toán học nữ, 1 nhà toán học nam, 1 nhà vật lý nam có C3.C5.C4 
cách
 2 1
 Chọn 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lý nam có C3 .C4 cách 
 1 2 1 1 1 2 1
Theo qui tắc cộng ta có C3.C4 +C3.C5.C4 +C3 .C4 = 90 (cách)
Ví dụ 4 : Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có 
bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền 
núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ. 
Giải : Đội có 15 người chia đều cho 3 đội thì mỗi đội có 5 người
Gọi tên ba tỉnh là A, B, C.
Để thực hiện công việc ta thực hiện liên tiếp các hành động sau
 4
 Chọn 4 nam về tỉnh A có C12 cách
 4
 Chọn 4 nam về tỉnh B có C8 cách
 4
 Chọn 4 nam về tỉnh C có C4 cách
 Chia 3 nữ mỗi nữ về một tỉnh có 3! cách 
 13 1 2
TH2: Số tam giác được tạo bởi 1 điểm trên d1 và 2 điểm không thuộc d1 là C6.C7 
tam giác
TH3: Số tam giác được tạo bởi 3 điểm không thẳng hàng từ 7 điểm phân biệt 
 3
không thuộc d1 là C7 tam giác
 2 1 1 2 3
Vậy tổng số tam giác có thể tạo được là C6 .C7 +C6.C7 +C7 =266 (tam giác)
Ví dụ 5: Cho 5 đường thẳng song song và 8 đường thẳng vuông góc với 5 đường 
thẳng song song đã cho đó. Hỏi các đường thẳng đó tạo nên tất cả bao nhiêu hình 
chữ nhật?
Giải:
Mỗi hình chữ nhật được tạo bởi 4 đường thẳng là 2 đường thẳng song song và hai 
đường thẳng vuông góc.
 2 2
Vậy số hình chữ nhật có thể tạo thành là: C5 .C8 280 (hình chữ nhật)
Ví dụ 6. Tính số hình chữ nhật được tạo thành từ 4 trong 20 đỉnh của đa giác đều 
có 20 cạnh nội tiếp đường tròn tâm O
Giải : Nhận thấy các hình chữ nhật được tạo thành có 2 đường chéo là đường kính 
của đường tròn. Vẽ đường thẳng d qua tâm O và không qua đỉnh của đa giác đều 
thì d chia đa giác thành 2 phần, mỗi phần có 10 đỉnh. Suy ra số đường chéo của đa 
giác đi qua tâm O là 10. Chọn 2 trong 10 đường chéo thì lập được 1 hình chữ nhật.
 2
Vậy có C10 = 45 hình chữ nhật.
Ví dụ 7. Cho đa giác đều có 2n cạnh nội tiếp đường tròn tâm O. Biết số tam giác có 
các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh của đa giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các 
đỉnh là 4 trong 2n đỉnh của đa giác. Tính số hình chữ nhật.
Giải :
 2
 +) Lý luận tương tự câu 65 ta có Cn hình chữ nhật.
 3
+) Số tam giác tạo thành từ 3 trong 2n đỉnh của đa giác là C2n .
 (2n)! n!
+) Từ giả thiết ta có: C3 = 20C2 Û = 20
 2n n 3!(2n - 3)! 2!(n - 2)!
 15