Sáng kiến kinh nghiệm Rèn kỹ năng cho học sinh khi giải bài toán Hình học không gian bằng phương pháp cổ truyền

 Mục lục
1. Mở đầu.
 1.1. Lí do chọn đề tài.
 1.2. Mục đích nghiên cứu.
 1.3. Đối tượng nghiên cứu.
 1.4. Phương pháp nghiên cứu. 
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
 2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
 Giải pháp tổng thể.
 Giải pháp cụ thể: Giới thiệu các kỹ năng thông qua các ví dụ 
 mẫu và phân tích các kỹ năng đó.
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với 
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
3. Kết luận, kiến nghị.
 3.1. Nhận xét kết quả thu được.
 3.2. Bài học kinh nghiệm.
 Tài liệu tham khảo
 Phụ lục
 1 dụng các kỹ năng đã nêu trong đề tài. Xây dựng hệ thống kỹ năng cần thiết theo 
một thứ tự hợp lý nhất. Hướng dẫn áp dụng và hình thành các kỹ năng cần thiết 
khi giải toán hình học không gian.
 + Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Tiến hành 
điều tra nhu cầu của học sinh về nội dung đề tài, điều tra những vấn đề mà học 
sinh vướng mắc có liên quan đến đề tài.
 + Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê nhu cầu của học sinh, 
các vấn đề mà học sinh vướng mắc, tổng hợp và so sánh kết quả học tập, tinh 
thần thái độ với môn học đối với các nhóm được áp dụng và không được áp 
dụng hoặc trước khi áp dụng và sau khi áp dụng nội dung đề tài từ đó rút ra 
những kết luận. Thu thập các phản hồi của các đồng nghiệp cùng bộ môn để 
hoàn thiện đề tài.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
 Toàn bộ kiến thức cơ bản về các vấn đề của hình học không gian như:
 - Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng;
 - Quan hệ song song trong không gian;
 - Véc tơ trong không gian;
 - Quan hệ vuông góc trong không gian;
 - Khoảng cách và góc trong không gian;
 - Thể tích của khối đa diện;
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2.2.1. Về phía giáo viên: Quan tâm nhiều đến việc trang bị kiến thức và trình 
bày các lời giải các bài toán cho học sinh mà chưa thực sự chú trọng việc rèn các 
kỹ năng cần thiết cho học sinh. 
2.2.2. Về phía học sinh: Các em nắm được kiến thức nhưng kỹ năng cần thiết để 
giải toán còn yếu; các em chưa biết phân tích giả thiết để tìm hướng giải quyết, 
các em còn lúng túng trong việc lựa chọn phương pháp giải quyết; khi giải quyết 
xong rồi các em chưa biết phân tích kết luận cũng như thay đổi giả thiết để tìm 
các kết luận mới cũng như chưa tổng kết lại các kiến thức, kỹ năng đã sử dụng 
trong bài và tìm các bài toán quen thuộc. Đặc biệt có những em còn thấy nản trí 
khi học hình học không gian bởi vì các em không biết vận dụng kiến thức đã học 
vào giải quyết các bài toán như thế nào cho hiệu quả.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
 Giải pháp tổng thể: 
 Đối tượng áp dụng là các em học sinh đã và đang học hình học không 
gian. Với các em đang học thì học đến đâu giới thiệu đến đó và cuối cùng dành 
khoảng 3 tiết để tổng hợp lại, với các em đã học xong thì dành thời gian khoảng 
6 tiết để giới thiệu.
 Giải pháp cụ thể: Giới thiệu cho các em các kỹ năng thông qua các ví dụ 
mẫu và sau đó cho các em ví dụ về nhà và kiểm tra tiến độ cũng như kết quả của 
các em.
2.3.1. Kỹ thuật thay đổi giả thiết:
Ví dụ mẫu:
 3 c. Mặt bên hợp với đáy góc 300.
d. Các góc mặt bên đỉnh S bằng 600.
e. Góc giữa hai mặt bên bằng 1200.
f. Đường cao SO hợp với mặt bên góc 300.
g. Khoảng cách từ O đến mặt bên bằng h 2 .
 2
h. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng h 3 .
i. Khoảng cách giữa AB và SC bằng h .
2.3.2. Kỹ thuật dựng hình phụ:
Ví dụ mẫu: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh của Sở GD-ĐT Thanh Hóa năm học 2015-
2016)
 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, biết 
 AB BC a 3 , khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a 2 và 
 S· AB S· CB 900 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai 
đường thẳng SB, AC.
Nhận xét: 
 1. Về hình thức đề bài cho một hình chóp tam giác chưa xác định rõ hình 
chiếu của đỉnh trên mặt đáy, đây là một dạng toán khó đối với học sinh.
 2. Trong quá trình dạy, ta cần hình thành ý thức tách một khối đa diện ra 
nhiều khối đa diện; ghép thêm các khối đa diện vào một hình để sau này gặp các 
hình có những tính chất đặc biệt ta có thể dựng thêm hình phụ để đưa bài toán lạ 
về bài toán quen thuộc đã gặp, đã làm.
 3. Một dạng quen thuộc ta hay gặp là bổ sung hình chóp tam giác thành 
hình chóp tứ giác trong đó dạng đặc biệt là bổ sung hình chóp có đáy là tam 
vuông cân thành hình chóp có đáy là hình vuông. Rất có thể điểm thêm vào là 
hình chiếu của đỉnh trên mặt đáy.
 4. Hướng dẫn học sinh bổ sung để có hình chóp sau:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S
S trên mp(ABC). 
Ta có: K
 SH  (ABC) 
  HA  AB . 
 SA  AB (gt)
Tương tự HC  BC I
Suy ra tứ giác HABC là một hình H C
vuông
+Tacó: O
 AH / /BC  (SBC) AH / / (SBC) A B
 d A,(SBC) d H,(SBC) a 2
 BC  HC
Dựng HK  SC tại K (1) . Do  BC  (SHC) BC  HK (2) 
 BC  SH 
Từ (1) và (2) suy ra HK  (SBC) , nên d H,(SBC) HK a 2 
 1 1 1 1
 Ta có: HS a 6 
 HS 2 HK 2 HC 2 6a2
 5 Rõ ràng so với cách giải quyết ở cách 1 cách giải quyết này rất hiệu quả.
Ví dụ mẫu: (Đề thi Đại học khối D năm 2008)
 Cho lăng trụ đứng ABC.A ’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC 
= a, cạnh bên AA ’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể 
tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và 
B’C.
Lời giải:
Từ giả thiết suy ra tam giác ABC B' A'
vuông cân tại B. Thể tích khối lăng trụ 
 3
 ' a 2
là: V ' ' ' AA .S . C'
 ABC.A B C ABC 2
Cách 1: E
 Gọi E là trung điểm của BB’. 
Khi đó mặt phẳng (AME) song song 
với B’C nên khoảng cách giữa hai 
 ’
đường thẳng AM và B C bằng khoảng B
cách giữa B’C và mặt phẳng (AME). A
Nhận thấy khoảng cách từ B đến mặt M
phẳng (AME) bằng khoảng cách từ C
C đến mặt phẳng (AME). Gọi h là khoảng cách từ B đến (AME). Do tứ diện 
BAME có BA, BM, BE đôi một vuông góc nên:
 1 1 1 1 a 7
 h .
 h2 BA2 BM 2 BE 2 7
Cách 2: Bảo toàn thể tích:
 3V 3V a 7
 d(AM , B'C) d(B'C;(AME)) d(C;(AME)) C.AME E.ACM .
 S AME S AME 7
Nhận xét: 
 Rõ ràng so với cách giải quyết ở cách 1, cách giải quyết này rất hiệu quả, 
vừa ngắn gọn lại vừa dễ hiểu, ta không cần phải phát hiện tứ diện BEAM vuông 
tại đỉnh B. Nếu học sinh không biết cách chuyển khoảng cách từ C đến (AEM) 
bằng khoảng cách từ B đến (AEM) hoặc nếu học sinh không nhớ tính chất của 
tứ diện vuông thì làm theo cách 1 quả là gian nan vô cùng.
Ví dụ mẫu: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh của Sở GD-ĐT Thanh Hóa năm học 2011-
2012)
 Cho hình chóp S.ABCD. Đáy là hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a, 
(SAB) vuông góc với đáy, các mặt (SBC) và (SCD) cùng tạo với đáy một góc 
bằng nhau. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng 2a .
 6
a. Tính VS.ABCD
b. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SA và BD.
Lời giải
 7 về mặt phẳng, có thể hiểu ngắn gọn là làm việc với mặt phẳng nào thì ta tách 
mặt phẳng đó ra.
 Ví dụ mẫu: (Đề thi Đại học khối A và A1 năm 2012)
 Cho hình chóp S.ABC có S
đáy là tam giác đều cạnh a. Hình 
chiếu vuông góc của S trên mặt 
phẳng (ABC) là điểm H thuộc 
cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc 
giữa đường thẳng SC và mặt 
phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể 
 K
tích khối chóp S.ABC và khoảng 
cách giữa hai đường thẳng SA và 
BC theo a. C
 A
 D
 N
 x H
 B
 Muốn tính thể tích khối chóp 
S.ABC ta cần tính chiều cao SH và 
diện tích đáy ABC. Do tam giác ABC C
là tam giác đều cạnh a nên 
 a2 3
 S ; muốn tính SH ta phải 
 ABC 4
gắn vào tam giác SHC. Ta có góc S· CH 
là góc giữa SC và mặt phẳng (ABC), 
 A B
suy ra S· CH 600 . Bây giờ ta còn phải D H
tìm HC. Để tìm HC ta gắn vào tam 
giác ABC và tách mặt phẳng (ABC).
Gọi D là trung điểm của AB. Xét tam giác vuông CDH vuông tại D ta có 
 a a 3 a 7 a 21
 HD ; CD ; HC HD2 CD2 . Suy ra SH HC tan 600 .
 6 2 2 3
 1 a3 7
V .SH.S .
 S.ABC 3 ABC 12
 Muốn tính khoảng cách giữ SA và BC ta kẻ Ax // BC. Gọi N, K lần lượt là 
 2
hình chiếu vuông góc của H trên Ax và SN. Ta có BC // (SAN) và BA HA 
 3
 3
nên d(SA, BC) d(B,(SAN)) d(H,(SAN)). Ta cũng có Ax  SHN nên Ax  HK . 
 2
Do đó HK  SAN . Suy ra d H,(SAN) HK . Muốn tìm HK ta gắn vào tam giác 
SNH và tách mặt phẳng (SNH).
 2a a 3
Ta có AH , HN AH sin 600 ; 
 3 2
 9 Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên 
SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H 
 AC
thuộc đoạn AC sao cho AH . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. 
 4
Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
2.3.6. Kỹ thuật suy luận ngược và loại trừ:
Nhận xét:
 Cách làm này thường được giáo viên hướng dẫn cho học sinh khi mới bắt 
đầu chứng minh hình học không gian. Khi học Hình không gian học sinh có một 
“ngưỡng” nhất định, khi đạt đến “ngưỡng” đó thì học sinh nhìn vào hình vẽ là 
có thể hình dung con đường để chứng minh, và vì sao lại đi theo con đường đó. 
Để có được điều đó cần cả một quá trình luyện tập lâu dài, còn trước hết giáo 
viên cần tập cho học sinh kỹ thuật suy luận ngược và loại trừ.
Ví dụ mẫu: (Ví dụ trang 101 SGK HH-11 nâng cao)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là S
hình vuông cạnh a; SA  
mp(ABCD). Gọi M, N lần lượt là 
hình chiếu của A trên các đường 
 K
thẳng SB, SD. Chứng minh rằng N
SC  (AMN).
 M
Hướng dẫn: 
 - Đặt câu hỏi 1 cho học 
sinh: Để chứng minh d  (P) ta A D
cần chứng minh điều gì? Mục 
đích để cho học sinh trả lời được: B O
Ta cần chứng minh d vuông góc C
với hai đường thẳng cắt nhau nằm 
trong mặt phẳng (P).
 - Tiếp tục đặt câu hỏi 2: Trong mặt phẳng (AMN) có những đường thẳng 
nào có tên trên hình? Mục đích để học sinh trả lời được: chỉ gồm các đường: 
AM, AN, MN.
 - Đặt vấn ta sẽ thử chứng minh lần lượt từng đường. Đầu tiên ta chứng 
minh SC  AM.
 - Đặt câu hỏi 3 cho học sinh: Để chứng minh a  b ta cần chứng minh 
điều gì? Mục đích để cho học sinh trả lời: Ta cần chứng minh đường thẳng này 
vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia. Vậy để chứng minh SC  AM 
ta có hai con đường, một là chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng chứa AM, 
hai là chứng minh AM vuông góc với mặt phẳng chứa SC. Trước hết ta chứng 
minh SC vuông góc với mặt phẳng chứa AM.
 - Đặt câu hỏi 4 cho học sinh: Nêu các mặt phẳng chứa đường AM? Mục 
đích cho học sinh trả lời: Có hai mặt phẳng là (AMN) và (SAB).
 - Vì ta đang phải chứng minh SC  (AMN) nên ta chỉ còn con đường 
chứng minh được SC  (SAB). Giả sử chứng minh được SC  (SAB) thì SC  
SA dẫn đến tam giác SAC có hai góc vuông (vô lý). Vậy loại trừ đi khả năng 
này.
 11