Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngược

 SỞSỞ GIÁOGIÁO DỤCDỤC VÀ VÀ ĐÀO ĐÀO TẠO TẠO THANH THANH HOÁ HOÁ 
 TRTRƯỜƯỜNGNG THPT THPT TRIỆỆUU S SƠƠNN 4 4
 SÁNGSÁNG KIẾN KIẾN KINH KINH NGHIỆM NGHIỆM
 RÈN LUYỆN KTÊNĨ N ĂĐỀNG TÀI: GIẢI BÀI TOÁN
HƯỚNGCH DẪỨNNG HỌ MINHC SINH QUAN LỚP 11 H DÙNGỆ VUÔNG SƠ ĐỒ GÓC SUY LUẬN 
 NGTRONGƯỢC TÌM KHÔNG LỜI GI GIANẢI CHO CHO BÀI H TOÁNỌC SINH CH ỨLNGỚP MIN11 
 VUÔNGÓCNHỜ SƠ ĐỒ TRONG TƯ DUY KHÔNG NGƯỢ GIANC
 Người thực hiện: Lê Thị Liên
 NgườiChức thực vụ: Giáohiện: viên Lê Thị Liên
 Chức SKKN vụ: thuộc Giáo môn:viên Toán
 SKKN môn: Toán
 THANH HOÁ NĂM 2015
 THANH HOÁ NĂM 2016 1. MỞ ĐẦU:
LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
 Hình học không gian là một môn học tương đối khó đối với học sinh 
THPT nói chung và học sinh lớp 11 nói riêng, nhất là đối với các học sinh có 
học lực trung bình khá trở xuống. Đây là nội dung chiếm phần lớn chương trình 
hình học lớp 11, cũng là nền tảng để học sinh học chương trình hình học lớp 12: 
Thể tích khối đa diện; Phương pháp tọa độ trong không gian. 
 Trong những năm giảng dạy bộ môn Toán ở trường THPT, tôi thấy đa số 
học sinh rất yếu phần hình học không gian, mà đặc biệt là chương III: Quan hệ 
vuông góc trong không gian, trong đó chứng minh quan hệ vuông góc là các 
bài toán đầu tiên và cơ bản. Do đó một hệ lụy kéo theo là các em sẽ rất khó 
khăn trong các bài toán về “Góc”, “Khoảng cách”, “Thể tích khối đa diện” và 
“Phương pháp tọa độ trong không gian” nên thường không lấy được trọn vẹn 2,0 
điểm ở những nội dung này trong đề thi THPTQG.
 Giải một bài toán hình học không gian lớp 11 nói chung và bài toán “chứng 
minh quan hệ vuông góc trong không gian” nói riêng, theo tôi, thường có ba 
phần: Vẽ hình, tìm hướng giải và trình bày lời giải. Việc hướng dẫn học sinh 
vẽ hình phải được thực hiện xuyên suốt trong quá trình dạy học bộ môn. Tuy 
vậy, học sinh vẽ hình tốt mới chỉ là điều kiện cần để giải được bài toán (trong 
các đề thi thường có câu: hình vẽ sai cơ bản không chấm, nhưng lại không có 
thang điểm cho hình vẽ). Vậy khâu quan trọng nhất đó là tìm hướng giải (hay 
đường lối giải), sau đó là trình bày lời giải. Tuy nhiên, rèn luyện kĩ năng tìm 
hướng giải cho một bài toán mới là khâu có tính chất quyết định đến toàn bộ 
quá trình rèn luyện giải toán và khả năng tư duy cho người giải toán.
 Trong môn Đại số khi hướng dẫn học sinh giải bất phương trình bậc nhất, 
bậc hai một ẩn, bất phương trình tích hay bất phương trình có ẩn ở mẫu ta 
thường hướng dẫn học sinh lập bảng xét dấu hoặc lập trục xét dấu biểu thức ở vế 
trái tạo nên một “quy tắc” giải rất đơn giản. Thiết nghĩ trong hình học chúng ta 
có thể tìm những “quy tắc” tương tự cho các dạng bài tập thường gặp được hay 
không? 
 Trong các năm học 2014-2015 và năm học 2015-2016 tôi đã nghiên cứu và 
đưa vào áp dụng thí điểm đề tài về đổi mới phương pháp dạy học đó là: “Rèn 
luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian 
cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngược” với ý tưởng: Thông qua việc lập 
sơ đồ tư duy ngược để tìm đường lối giải và cũng dựa vào sơ đồ đó để trình 
bày lời giải cho các bài toán chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian. 
Qua thực tế tôi thấy phương pháp này đã góp phần tạo được hứng thú học tập 
cho học sinh và bước đầu thu được kết quả cao. Qua cách lập sơ đồ tìm đường 
lối giải cho bài toán, học sinh sẽ được rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp, so 
sánh và hệ thống hóa kiến thức từ đó khắc sâu kiến thức môn học, phát triển tư 
duy thuật toán và tư duy logic nhằm nâng cao chất lượng dạy học bộ môn góp 
phần đạt được mục tiêu giáo dục toàn diện. 
 Hiện tại tôi chưa thấy tài liệu nào nghiên cứu sâu về vấn đề này. 
 1 Xuất phát từ thực trạng trên, tôi đã mạnh dạn tiến hành đổi mới phương 
pháp về “Rèn luyện kĩ năng giải bài toán chứng minh quan hệ vuông góc 
trong không gian cho học sinh lớp 11 nhờ sơ đồ tư duy ngược” cho hai lớp 
11C3 và 11D4, trong đó 11C3 có chất lượng tương đương 11A4, 11D4 có chất 
lượng thấp hơn, bản thân nhận thấy cách làm này có hiệu quả rõ rệt.
2.3. Các giải pháp thực hiện 
 Tôi thực hiện dạy chương III: Quan hệ vuông góc trong không gian mà 
dạng toán cơ bản là chứng minh quan hệ vuông góc tại ba lớp: Lớp 11A4 và 
11C3 là hai lớp cơ bản A có chất lượng tương đương; Lớp 11D4 có chất lượng 
đầu vào thấp hơn lớp 11A4.
 Năm học 2013 – 2014, tại lớp 11A4, thực hiện theo phương pháp truyền 
thống: Phân dạng và đưa phương pháp giải tương ứng cho các dạng bài tập 
chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian, nhưng trong khi hướng dẫn 
giải các ví dụ và bài tập, giáo viên chỉ yêu cầu một vài học sinh nêu đường lối 
giải (hoặc giáo viên gợi ý đường lối giải) rồi sau đó trình bày lời giải.
 Năm học 2014-2015 tại lớp 11C3 và năm học 2015-2016 tại lớp 11D4 là 
lớp cơ bản có chất lượng thấp hơn tôi cũng dạy những nội dung này và hệ thống 
bài tập tương ứng nhưng với mỗi ví dụ hoặc bài tập, sau khi hướng dẫn học sinh 
vẽ hình, giáo viên dùng hệ thống câu hỏi và gợi ý để hướng dẫn học sinh tiến 
hành giải quyết bài toán theo hai bước:
Bước 1: Lập sơ đồ tư duy ngược để tìm hướng giải (Chỉ làm vào bảng nháp) 
Bước 2: Dựa vào sơ đồ đó để trình bày lời giải. 
 Khi hướng dẫn học sinh tìm hướng giải cho mỗi bài toán, có thể dùng 
các câu hỏi như là: “ Để chứng minh(mệnh đề A về quan hệ vuông góc- Điều 
cần chứng minh) ta phải chứng minh điều gì?”, hay “tại sao(đường thẳng a, 
mp (P)) vuông góc với( đường thẳng b, mp (Q))”. Giả sử câu trả lời của câu 
hỏi trên là: “ Để chứng minh mệnh đề A (là đúng), ta phải chứng minh mệnh đề 
B (B là giả thiết hoặc kết quả phán đoán mà ta cho là đúng)”, cứ lặp đi lặp lại 
các câu hỏi kiểu như vậy cho đến khi B là giả thiết của bài toán thì hoàn thành 
việc tìm hướng giải. Bằng cách vấn đáp trực tiếp và ghi tóm tắt lại quá trình trên 
thành một “sơ đồ” tạm gọi là “sơ đồ tư duy ngược” kiểu như:
 (?) (?) (?) (?) (?) (?) 
 A B C  D .... H F, theo đó, từ mệnh đề A là kết luận của bài toán 
(mệnh đề cần chứng minh), ta lần tìm ra B, rồi từ B lại lần tìm ra C, rồi D, và 
cuối cùng đến F, F chính là giả thiết của bài toán. Và cần lưu ý rằng sơ đồ này 
chỉ lập trong bảng nháp, không đưa vào lời giải.
 Khi trình bày lời giải, ta chỉ việc trình bày theo chiều ngược lại của sơ đồ. 
Tức là trình bày theo kiểu: F H ... C B A.
 Trong phạm vi đề tài SKKN này tôi xin được trình bày hai khâu này qua 
các ví dụ cụ thể trong từng dạng toán thường gặp về chứng minh quan hệ vuông 
góc trong không gian sau đây:
 3 (?4) DC  SAD 
-?4: Tại sao AE  DC ? AE  DC  
 SAD  AE
- ?5: Tại sao DC  SAD ? (?5) DC  AD
 DC  SAD  
 DC  SA
- ?6: Tại sao DC  SA? DC  SA vì SA  (ABCD)
Học sinh sẽ có được sơ đồ tìm hướng giải câu b) chứng minh AE  SD như sau:
 (?3)
 AE  SC  SC ( ),( )  AE
 (?1) (?2) 
 AE (SDC)  (?5) DC  AD
 AE  SD  (?4) 
 DC (SAD)  (?6)
 AE  DC  
 DC  SA  SA(ABCD)
 (SAD) AE
 SD(SDC)
* Chứng minh AH  SB cho học sinh làm hoàn toàn tương tự ta được sơ đồ :
 (?)
 AH SCSC( ),( )AH
 (?) 
 (?) 
 AH (SBC) BCAB
 AH SB (?) 
 (?) BC SAB 
 AH BC (?)
 BCSASA(ABCD) 
 SAB AH
 SB SBC 
 S
Bước 2: Trình bày lời giải:
Ví dụ 1.a) Tứ giác ABCD là hình 
vuông nên ta có BD  AC (1)
 K H
 Mặt khác: SA  (ABCD) nên AC 
 E
là hình chiếu của SC lên (ABCD) (2) A B
Từ (1) và (2) suy ra BDSC. 
Ví dụ 1.b) D
Chứng minh AE  SD; AH  SB C 
+ Ta có SA  (ABCD) DC  SA mà DC  AD DC  SAD , 
lại có AE  (SAD) nên AE  DC (1)
Mặt khác SC  ( ),( )  AE AE  SC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AE  (SDC) mà SD  SDC nên AE  SD
 5 Ví dụ 3: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a.
 M là trung điểm cạnh BC. 
a) Chứng minh AM  BC' .
b) N là trung điểm của cạnh BB/ . Chứng minh AN  BC' ;
 a
c) P là điểm trên cạnh A'B' sao cho B'P và Q là trung điểm cạnh B'C' . 
 4
Chứng minh: AN  NP; AN  PQ
Bước 1: Lập sơ đồ tìm hướng giải
 Bằng cách đưa ra hệ thông câu hỏi vấn đáp tương tự như ở ví dụ 1, ta 
hướng dẫn học sinh lập được sơ đồ tìm hướng giải như sau:
Ví dụ 3.a) (Theo PP2) 
 BC'  (BCC'B')
 (?) (ABC)  (BCC'B')
 AM  BC'  (?) (ABC)(BCC'B') BC
 AM  (BCC'B') 
 AM  (ABC)
 AM  BC
Ví dụ 3.b) (Theo PP2) 
 AN  (AMN)
 (?) (?)
 AN  BC'  (?) BC'  AM câu 3.a)
 BC'  (AMN) 
 (?) MN / /B'C
 BC'  MN  
 B'C  BC'
Ví dụ 3.c) (Theo PP5) 
 (?)
 AN  NP AP2 AN 2 NP2 (1)
 (?) (?) AN  NP (theo(1))
 AN  PQ  AN  (NPQ)  
 AN  NQ
 Khi tính được độ dài các cạnh của tam giác thì thường dùng định lí Pitago 
đảo để chứng minh tam giác vuông.
 A C
Bước 2: Trình bày lời giải: M
3.a) Ta có: (ABC)  (BCC'B');
 (ABC)(BCC'B') BC; B
 AM  (ABC); AM  BC
 AM  (BCC'B') mà BC'  (BCC'B') 
 N
suy ra AM  BC' .
 A' C'
3.b) Ta có:
 Q
 MN / /B'C;B'C  BC' BC'  MN (1) P
 B'
Lại có: BC'  AM (Câu 3.a) (2).
Từ (1) và (2) suy ra BC' (AMN), mặt khác AN  (AMN)nên AN  BC'.
 7 2.3.2 Trong các bài toán chứng minh đường thẳng a vuông góc với (P).
Các phương pháp (PP) thường dùng:
+ PP1: Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của (P) 
+ PP2: Chứng minh a là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (P);
 a / /b
+ PP3: a  (P) ; 
 b  (P)
+PP4. Hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào nằm trong mp này mà vuông 
với giao tuyến thì vuông với mp kia
Ví dụ 5. Trong (P) cho tam giác ABC cân đỉnh A. Trên đường thẳng vuông góc 
với (P) kẻ từ A ta lấy điểm D. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, H là hình chiếu
của A trên DM. Chứng minh rằng:
a) BC (ADM) ; b) AH  (BCD)
 PP1 là phương pháp rất hay dùng cho dạng bài tập này. Trong ví dụ 4a,b 
đều có thể sử dụng PP1 hoặc PP4, ở ví dụ này tôi sẽ trình bày cách giải câu a) 
theo PP1 và câu b) theo PP4.
Bước 1: Lập sơ đồ tìm hướng giải
 (?)
 BC  AD  AD  (ABC)
 (?) 
Ví dụ 5.a) BC  (ADM ) (?) AB AC
 BC  AM  
 MB MC
 (ADM )(BCD) DM
 AH  (ADM )
 (?) AH  DM
Ví dụ 5.b) AH  (BCD) 
 (?) (?)
 (ADM )  BC câu 4.a)
 (ADM )  (BCD) 
 BC  (BCD)
Bước 2: Trình bày lời giải: D
Ví dụ 5.a) Do AB AC và M là trung điểm 
của BC nên BC  AM (1) 
Mặt khác AD (ABC) BC  AD (2);
Từ (1) và (2) suy ra BC (ADM) 
Ví dụ 5.b) Theo câu 5.a): (ADM )  BC;
 H
mà BC  BCD (ADM )  BCD (1)
 (ADM )(BCD) DM
 A C
 AH  ADM 
Mặt khác (2) M
 AH  DM
 B
Từ (1) và (2) suy ra AH  (BCD) .
 9