Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện tư duy cho học sinh lớp 11 - THPT thông qua các bài toán phương trình lượng giác chứa tham số

 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HÀ NỘI 
 TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG 
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 “RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 11-THPT 
THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 CHỨA THAM SỐ” 
 ------------------------------ 
 Lĩnh vực / Môn: Chuyên môn Toán 
 Cấp học: THPT 
 Tên tác giả: Nguyễn Bình Long 
 Đơn vị công tác: Trường THPT Lưu Hoàng 
 Chức vụ: Phó hiệu trưởng 
 NĂM HỌC 2019 – 2020 
 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 
I . Lý do chọn đề tài 
 Qua thực tiễn, nhiều học sinh lớp 11 Trường THPT còn lúng túng khi giải 
bài toán Phương trình lượng giác chứa tham số. Nhiều em giải bài toán nào thì 
biết bài toán đó, chưa có kĩ năng vận dụng, chưa định hướng được phương pháp 
chung Vì vậy khi làm bài tập trắc nghiệm khách quan mất nhiều thời gian do 
đó kết quả kiểm tra và thi không cao. 
 Để giúp học sinh lớp 11 khắc sâu các kiến thức về Phương trình lượng 
giác nói chung và có kỹ năng giải Phương trình lượng giác chứa tham số. Tôi 
viết sáng kiến kinh nghiệm “Rèn luyện tư duy cho học sinh lớp 11-THPT thông 
qua các bài toán Phương trình lượng giác chứa tham số”. 
II. Mục đích; đối tượng; phạm vi nhiên cứu và thời gian thực hiện đề tài. 
1) Mục đích nghiên cứu: 
 Rèn luyện tư duy cho học sinh lớp 11 THPT thông qua các bài toán 
Phương trình lượng giác chứa tham số bằng câu hỏi trắc nghiệm. 
2) Đối tượng nghiên cứu: 
 Trên cơ sở lí luận của năng lực giải toán, áp dụng vào dạy học giải các bài 
toán Phương trình lượng giác chứa tham số cho học sinh lớp 11 THPT. Từ đó 
phân loại và phát triển hệ thống bài tập về Phương trình lượng giác chứa tham số 
cho học sinh lớp 11, đặc biệt là học sinh khá, giỏi. 
3) Phạm vi nghiên cứu: 
 Quá trình tổ chức dạy học Rèn luyện kỹ năng giải Phương trình lượng 
giác chứa tham số cho học sinh lớp 11 THPT bằng bài tập mẫu sau đó là bài tập 
tự luyện dạng câu hỏi trắc nghiệm. 
4) Thời gian thực hiện: 
 Sáng kiến kinh nghiệm được thực hiện trong năm học 2019 – 2020. Đề tài 
đã được đăng kí với tổ và đã được tổ duyệt, thông qua kế hoạch thực hiện đề tài. 
Trong quá trình thực hiện đề tài đã được tổ dự giờ và khẳng định đề tài có chất 
lượng, đã được đồng nghiệp áp dụng trong giảng dạy. 
III. Nhiệm vụ nghiên cứu: 
 Nhiệm vụ nghiên cứu của SKKN bao gồm: 
+ Đưa ra các dạng toán và phương pháp giải Phương trình lượng giác chứa tham 
số bằng sơ đồ tư duy. 
+ Đưa ra một số dạng toán có định hướng về cơ sở lý thuyết và bài toán mẫu về 
Phương trình lượng giác chứa tham số. 
+ Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh thông qua các bài tập tự luyện. 
IV. Dự kiến cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm: 
 1 / 15 
CHƯƠNG II: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 CHỨA THAM SỐ 
DẠNG I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN CHỨA THAM SỐ 
*Cơ sở lý thuyết: 
 1) Phương trình sinf(x) = g(m) có nghiệm x R -1 g(m) 1 
 2) Phương trình cosf(x) = g(m) có nghiệm x R -1 g(m) 1 
 3) Phương trình sin2f(x) = g(m) có nghiệm x R 0 g(m) 1 
 4) Phương trình cos2f(x) = g(m) có nghiệm x R 0 g(m) 1 
 5) Phương trình tanf(x) = g(m) có nghiệm x R g(m) R 
 6) Phương trình cotf(x) = g(m) có nghiệm x R g(m) R 
Ghi chú: 
 - Nếu yêu cầu của các phương trình có nghiệm x D  R thì ta phải tìm 
miền giá trị Y của các hàm số vế trái của phương trình trên tập D. Khi đó 
phương trình có nghiệm trên D g(m) Y. 
 - Nếu yêu cầu của các phương trình có n nghiệm x D thì ta phải biểu 
diễn f(x) trên đường tròn lượng giác, sau đó dựa vào vị trí tương đối của đồ thị 
VT và đường thẳng y = g(m). 
 Câu 1: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình sin 2x m 5 có 
 3 
 nghiệm? 
 A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. 
Bài giải: 
 Phương trình có nghiệm 1m 5 1 4 m 6 m Z m {4; 5; 6}. 
Chọn B. 
 2
 Câu 2: Cho phương trình 4 sin x .cos x m 3 sin 2 x cos2 x . Gọi S  a; b 
 3 6 
 là tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm. Tính a b. 
 1
 A. a b 2. B. a b . C. a b 0. D. a b 4. 
 2
Bài giải: 
 1 
 sin x .cos x sin 2 x sin 
 Ta có 
 3 6 2 6 2 
 1 1 3 1 
 sin 2x cos sin cos 2 x 1 sin 2 x cos2 x 1 . 
 2 6 6 2 2 2 
 Phương trình tương đương với: 3 sin 2x cos2 x 2 m2 3 sin2 x cos2 x 
 m2 2 m2 2
 cos2x . Phương trình có nghiệm 1 1 0 m2 4 2 m 2 
 2 2
 a 2
 S  2;2    a b 0. Chọn C. 
 b 2
 Câu 3: Gọi S là tập hợp gồm tất cả các số nguyên m để phương trình 
 3 / 15 
 2sinx cos x 1
 Phương trình aaxaxa ( 2)sin (2 1)cos 1 3 (*). 
 sinx 2cos x 3
 Phương trình đã cho có nghiệm (*) có nghiệm a2 + b2 c2 (a – 
 2 2 2
2) + (2a + 1) (1 – 3a) -1/2 m 2 m Z m {0; 1; 2}. Chọn A. 
 Câu 3: Cho phương trình msin2 x 2sin x cos x 3 m cos 2 x 1. Tìm tất cả các giá trị 
 của tham số thực m để phương trình có nghiệm. 
   
 4 4 4 4 
 A. m 0;  . B. m \ 0;  . C. m 0; . D. m 0; . 
 3  3  3 3 
Bài giải: 
 1 cos2x 1 cos2 x
 Phương trình m. sin 2 x 3 m . 1 sin 2 x m cos2 x 1 2 m . 
 2 2
 4
 Phương trình có nghiệm 1m2 1 4 m 4 m 2 3 m 2 4 m 0 0 m . Chọn C. 
 3
 Bài tập tự luyện 
 m
Câu 4: Cho phương trình msin x m 1 cos x . Số các giá trị nguyên 
 cos x
dương của m nhỏ hơn 10 để phương trình có nghiệm là: 
 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 
Câu 5: Có bao nhiêu giá trị của tham số m thuộc tập E 3; 2; 1;0;1;2 để 
phương trình 2m sin x cos x 4 cos2 x m 5 có nghiệm? 
 A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. 
Câu 6: Gọi a, b là giá trị nguyên lớn nhất và nhỏ nhất của m để: 
2cos2x 5sin x cos x 6sin 2 x m 1 0 có nghiệm. Tính giá trị của T a b. 
 A. 3. B. 6. C. 9. D. 5. 
Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tanx m cot x 8 
có nghiệm. 
 A. m 16. B. m 16. C. m 16. D. m 16. 
DẠNG III. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SỐ GIẢI 
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 
*Cơ sở lý thuyết: 
 Từ phương trình lượng giác đã cho đưa về phương trình tích, sau đó 
chuyển tiếp về phương trình dạng 1 hoặc dạng 2 ở trên. Phương pháp này 
thường làm đối với bài toán PTLG chứa tham số có số n nghiệm trên tập D 
(Dạng V). 
 Câu 1: Cho phương trình cos 2x 2 m 1 cos x m 1 0. Tìm tất cả các giá trị thực 
 3 
 của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng ; . 
 2 2 
 A. 1 m 1 . B. 1 m 0 . C. 1 m 0 . D. 1 m 0 . 
 1
 cos x 
Bài giải: Phương trình 2cos2 x 2 m 1 cos x m 0 2 . 
 cos x m
 5 / 15 
 nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm? 
 A. 7. B. 9. C. 13. D. 15. 
 3
Bài giải: Ta có sin66xx cos sin 22 xx cos 3sin 2222 xxxx cos sin cos 
 3
 1 3sin2x cos 2 x 1 sin 2 2 x . 
 4
 3 m
Phương trình 1 sin2 2x 3sin x cos x 2 0 3sin 2 2 x 6sin 2 x 12 m . (1) 
 4 4
Đặt t = sin2x, x R t [-1; 1]. Khi đó (1) 3t2 6 t 3 15 m (2), t [-1; 1]. 
Xét hàm số: f(t) = 3t2 – 6t + 3, t [-1; 1]. 
Do đó để phương trình (1) có nghiệm x R (2) có nghiệm t [-1; 1] 
 0 15 m 12 3 m 15  m m 3;4;5;...;15 . Chọn C. 
 Câu 2: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: cos2x – 
 2cosx + m = 0 có nghiệm trên [0; /2]. 
 A. 2 B. 4 C. 3 D. 1 
Bài giải: Đặt t = cosx, x [0; /2] t [0; 1]. Khi đó phương trình đã cho 
m = -t2 + 2t, t [0; 1] (*). Xét hàm số: f(t) = -t2 + 2t, t [0; 1]. 
Do đó để phương trình có nghiệm 0 m 1  m m 0;1 . Chọn A. 
 Câu 3: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc [-5; 5] để phương 
 trình: 2sin2x sin x cos x m cos 2 x 1 có nghiệm trên đoạn ; : 
 4 4 
 A. 3. B. 8. C. 5. D. 4. 
Bài giải: 
* Chỉ ra sai lầm! 
 1 cos2x 1 cos2 x
Phương trình 2. sin 2x m . 1 2sin 2 x ( m 2)cos2 x m . 
 2 2
Phương trình có nghiệm 4 (m 2)2 m 2 m 2. Chọn B. 
Hã chỉ ra sai lầm của lời giải trên! 
* Lời giải đúng: 
 2
Do x ; cosx 0 nên ta chia cả hai vế của phương trình cho cos x ta 
 4 4 
 2 
được: m = tan x – tanx – 1, x ; (1). 
 4 4 
 7 / 15