Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện tư duy giải toán hình học không gian cho học sinh lớp 11 thông qua một số bài toán về khoảng cách

 A. ĐẶT VẤN ĐỀ
 Mục tiêu của sự nghiệp Giáo dục và Đào tạo nước ta là đào tạo và bồi 
dưỡng công dân Việt Nam có đủ phẩm chất, nhân cách và năng lực để đáp ứng 
được những đòi hỏi của sự nghiệp xây dựng và phát triển đất nước.
 Trường Trung học phổ thông, đơn vị giáo dục trong hệ thống giáo dục quốc 
dân có vai trò hết sức quan trọng trong việc góp phần thực hiện thành công mục 
tiêu của sự nghiệp giáo dục nước nhà. Từ mục tiêu trên, đòi hỏi các môn học 
trong trường Trung học phổ thông cần phải căn cứ vào nhiệm vụ và nội dung 
của chương trình cấp học, xác định rõ vai trò và trách nhiệm để góp phần thực 
hiện thành công mục tiêu của sự nghiệp Giáo dục và Đào tạo. 
 Tạo hứng thú và nâng cao kết quả học tập cho học sinh, là vấn đề đang được 
đặc biệt quan tâm hiện nay ở các cấp học nói chung và cấp Trung học phổ thông 
nói riêng. Để tạo được hứng thú và nâng cao kết quả học tập cho học sinh thì 
việc đổi mới phương pháp dạy học và tăng cường sử dụng các phương pháp dạy 
học tích cực phù hợp với từng nội dụng bài học là một trong những nhân tố 
đóng vai trò quan trọng, đã và đang được các thầy, cô giáo trực tiếp giảng dạy, 
các cấp quản lí đặc biệt quan tâm và tích cực thực hiện. 
 Môn Toán trong trường THPT đóng một vai trò, vị trí hết sức quan trọng, là 
môn khoa học cơ bản mà nếu học tốt môn Toán thì những kiến thức trong bộ 
môn Toán cùng với phương pháp làm việc trong các lời giải của các bài Toán sẽ 
trở thành công cụ để học tốt những môn học khác.
 Môn Toán góp phần phát triển nhân cách con người; ngoài việc cung cấp 
cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết môn Toán còn rèn 
luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính 
xác, có tính kỉ luật, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
 Một trong các môn học cung cấp cho học sinh nhiều kĩ năng, đức tính, 
phẩm chất của người lao động mới là môn hình học không gian – lớp 11. Như 
 1 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN
1. Giả thuyết của đề tài
Khi tiến hành nghiên cứu đề tài, tôi đã đặt ra các giả thuyết sau:
- Đề tài có tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh khi học môn hình 
học không gian không?
- Đề tài có tạo được hứng thú cho học sinh khi học tập môn hình học không 
gian không?
- Đề tài có nâng cao được kết quả học tập môn hình học không gian cho học 
sinh không?
- Đề tài có rèn luyện, nâng cao, phát triển trí tưởng tượng không gian, phát triển 
tư duy logic – khoa học cho học sinh không?
2. Mục tiêu của đề tài
 Từ các giả thuyết đã nêu trên, mục tiêu phải đạt được của đề tài là:
- Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh khi học môn hình học 
không gian.
- Tạo được hứng thú cho học sinh khi học tập môn hình học không gian. 
- Nâng cao được kết quả học tập môn hình học không gian cho học sinh.
- Rèn luyện, nâng cao, phát triển được trí tưởng tượng không gian, phát triển tư 
duy logic – khoa học cho học sinh.
3. Phương pháp nghiên cứu của đề tài
 Để có cơ sở tiến hành nghiên cứu và áp dụng đề tài vào thực tế dạy học, tôi đã:
- Tìm hiểu thực trạng về đổi mới phương pháp dạy học môn Toán, đặc biệt là 
phương pháp truyền đạt nội dung kiến thức môn hình học không gian.
- Tìm hiểu về thực trạng học tập môn hình học không gian ở trường Trung học 
phổ thông. 
 3 lại ở mức trang bị lý thuyết và giao nhiệm vụ cho học sinh với một vài bài tập 
cụ thể mà chưa khai thác bài toán ở nhiều dạng khác nhau. Do khả năng giáo 
viên còn có phần hạn chế về bộ môn dẫn tới chưa thu hút được học sinh say mê 
học tập, chất lượng dạy và học bộ môn còn có những hạn chế nhất định: Giáo 
viên đã cố gắng đưa ra hệ thống các câu hỏi gợi mở để dẫn dắt học sinh tìm 
hiểu các vấn đề nêu ra, học sinh tập trung đọc sách giáo khoa, quan sát hình vẽ, 
tích cực suy nghĩ, phát hiện và giải quyết các vấn đề theo yêu cầu của câu hỏi. 
Tuy kết quả là học sinh thuộc bài, nhưng hiểu chưa sâu sắc về kiến thức, kĩ 
năng vận dụng vào thực tế chưa cao, đặc biệt sau một thời gian không thường 
xuyên ôn tập hoặc khi tiếp tục học thêm các nội dung tiếp theo thì học sinh 
không còn nắm vững được các kiến thức đã học trước đó.
3. Thực trạng đối với học sinh
 Trong quá trình dạy học môn Toán, nhất là môn Hình học thì quá trình học 
tập của học sinh còn khá nhiều em học tập chưa tốt. Đặc điểm cơ bản của môn 
học là môn yêu cầu các em có trí tưởng tượng phong phú.Cách trình bày chặt 
chẽ, suy luận logic của một bài hình học làm cho học sinh khó đạt điểm cao 
trong bài tập hình không gian. 
 Ở trường các em học sinh được học sách Hình học cơ bản, các bài tập 
tương đối đơn giản so với sách nâng cao nhưng khi làm các bài tập trong đề thi 
khảo sát chất lượng thì bài tập có yêu cầu cao hơn nên cũng gây một phần lúng 
túng cho học sinh. Nhiều em không biết cách trình bày bài giải, sử dụng các 
kiến thức hình học đã học chưa thuần thục, lộn xộn trong bài giải của mình. Cá 
biệt có một vài em vẽ hình quá xấu, không đáp ứng được yêu cầu của một bài 
giải hình học.Vậy thì nguyên nhân nào cản trở quá trình học tập của học sinh? 
 Khi giải các bài toán hình học không gian các giáo viên và học sinh thường 
gặp một số khó khăn với nguyên nhân như là :
 +) Học sinh cần phải có trí tưởng tượng không gian tốt khi gặp một bài toán 
hình không gian. 
 5 đường thẳng, của hai mặt phẳng, của đường thẳng với mặt phẳng  hiểu được 
các khái niệm khoảng cách trong không gian. 
 * Sử dụng đồ dùng dạy học một cách hợp lý như các mô hình trong không 
gian, các phần mềm giảng dạy như Cabir, GSPS, Geogebra. 
 * Dạy học theo các chủ đề, mạch kiến thức mà đã được giáo viên phân chia 
từ khối lượng kiến thức cơ bản của chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu 
các kiến thức mà mình đang có, vận dụng chúng một cách tốt nhất. 
 * Sử dụng sơ đồ tư duy để ôn tập củng cố các kiến thức cho học sinh.
2. Biện pháp thực hiện:
2.1. Hệ thống các kiến thức cần ghi nhớ: 
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng 
 d(M,a) MH
 trong đó H là hình chiếu của M trên a hoặc (P). 
 d(M,(P)) MH
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt 
phẳng song song
 d(a,(P)) = d(M,(P)) trong đó M là điểm bất kì nằm trên a.
 d((P),(Q) = d(M,(Q)) trong đó M là điểm bất kì nằm trên (P).
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
 Đường thẳng cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b được gọi là đường 
vuông góc chung của a, b.
 Nếu cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b.
 Độ dài đoạn IJ được gọi là khoảng cách giữa a, b.
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một 
trong hai đường thẳng đó với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với 
nó.
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai 
mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
 7 Giải
 S
Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO  (ABCD). 
Qua O kẻ OI vuông góc với AB 
 (SOI)  (SAB). Kẻ OH  SI OH  (SAB) H
 A
 d(O;(SAB)) = OH D
 I
Ta có: AC = BD = a 2 , OI = . Xét SAO ta O
 B C
có: SO 2 = SA 2 - AO 2 = 
Xét SOI: = + = OH = a 6 
Vậy: d(O; (SAB)) = a 6 . 
Bình luận: 
1. Nếu thay yêu cầu bài toán thành tính khoảng cách từ điểm A đến (SCD) ta sẽ 
làm như thế nào?
2. Nếu thay yêu cầu bài toán thành tính khoảng cách từ điểm trung điểm M của 
BC đến (SCD) ta sẽ làm như thế nào?
3. Nếu thay yêu cầu bài toán thành tính khoảng cách giữa AB và mf(SCD) ta sẽ 
làm như thế nào?
4. Nếu thay yêu cầu bài toán thành tính khoảng cách giữa AB và SC ta sẽ làm 
như thế nào?
Nhận xét: Những yêu cầu mới đặt ra làm cho học sinh thấy xuất hiện những 
bài toán mới và để giải quyết được bài toán mới ta vẫn sử dụng kết quả của bài 
toán cơ sở (Bài toán gốc).
Cụ thể: 
- Với yêu cầu 1: Ta vẫn tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SCD) rồi sử dụng 
bổ đề (*) để suy ra d(A;(SCD))
 d(A,(SCD)) CA
 Ta có: 2 d(A;(SCD)) = 2a 6
 d(O,(SCD)) CO 
 9 2. Nếu thay yêu cầu bài toán thành tính khoảng cách giữa AB và mf(SCD) ta sẽ 
làm thế nào?
3. Nếu thay yêu cầu bài toán thành tính khoảng cách giữa AB và SC ta sẽ làm 
thế nào?
- Với yêu cầu 1: Ta vẫn tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SCD) rồi sử dụng 
bổ đề (*) để suy ra d(O;(SCD))
 d(A,(SCD)) CA a 2
 Ta có: 2 d O; SCD 
 d(O,(SCD)) CO 4
- Với yêu cầu 2: Ta vẫn tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SCD) rồi sử dụng 
 a 2
kết quả sau: Ta có AB // (SCD) d(AB;(SCD)) = d(A;(SCD)) = 
 2
- Với yêu cầu 3: Ta vẫn tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SCD) rồi sử dụng 
kết quả sau: Ta có: AB // CD nên AB // (SCD) d(AB;SC) = d(AB,(SCD))= 
d(A,(SCD) = a 2 .
 2
Dạng 3: Bài toán khoảng cách trong hình chóp “thường”:
Bài toán 3: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi 
M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN 
và DM. Biết SH vuông góc với mp(ABCD) và SH = a 3 . Tính khoảng từ H 
đến mf(SCD).
Giải: Trong mf(ABCD) kẻ HI  CD . Ta có S
 (SIH )  CD (SIH )  (SCD) . Kẻ 
 HK  SI HK  (SCD) d(H,(SCD)) HK
Ta có: CDN = DAM CN  DM;
 B
 C
S CMD = S ABCD - S ADM - S CBM = K
 M H
Mặt khác S CDM = CH.DM I
 A N D
 11 Trong mặt phẳng (AMM’A’), kẻ MH vuông góc với AM’ 
 Þ MH ^ (AB'C ') Þ d(M ,(AB'C ')) = MH
 a 2
Ta có: AM = ,MM ' = AA' = a 2 , tam giác AMM’ vuông tại M nên 
 2
 1 1 1 a 10
 = + Þ MH =
 MH 2 MA2 MM '2 5
 a 10
Vậy d(M ,(AB'C ')) =
 5
Bình luận: 
1. Nếu thay yêu cầu bài toán thành tính khoảng cách từ B đến (AB’C’) ta sẽ làm 
như thế nào?
2. Nếu thay yêu cầu bài toán thành tính khoảng cách giữa BC và mf(AB’C’) ta 
sẽ làm thế nào?
3. Nếu thay yêu cầu bài toán thành tính khoảng cách giữa BC và AC’ ta sẽ làm 
thế nào?
Vẫn áp dụng bổ đề (*) ta có kết quả cụ thể: 
 a 10
- Với yêu cầu 1: d(B,(AB'C ')) = d(M ,(AB'C ')) =
 5
 a 10
- Với yêu cầu 2: d(BC,(AB'C ')) = d(M ,(AB'C ')) =
 5
 a 10
- Với yêu cầu 3: d(BC, AC ') = d(BC,(AB'C ')) = d(M ,(AB'C ')) =
 5
Dạng 5: Bài toán khoảng cách trong hình lăng trụ xiên:
Bài toán 5: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi 
cạng bằng a, góc ·ABC 1200 , cạnh bên AA' = a 3 . Hình chiếu vuông góc 
của A’ lên mp(ABCD) trùng với giao điểm O của AC và BD. Tính khoảng cách 
từ điểm A’ đến mp(BB’DD’). 
Giải:
 13