Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng máy tính bỏ túi để giải bài toán tìm giới hạn trong sách Đại số & Giải tích 11

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
 TRƯỜNG THPT LÊ VIẾT TẠO
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI 
 ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN 
TRONG SÁCH ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11
 Người thực hiện: Nguyễn Xuân Sơn
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc môn: Toán
 THANH HOÁ NĂM 2017 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
 Sự nghiệp xây dựng chủ nghĩa xã hội ở nước ta đang phát triển với tốc độ 
ngày càng cao, với quy mô ngày càng lớn và đang được tiến hành trong điều 
kiện khoa học kỹ thuật phát triển như vũ bão, nó tác động lên mọi đối tượng 
thúc đẩy sự tiến bộ của xã hội. Để theo kịp với sự phát triển của xã hội giáo dục 
phải tiên phong đi trước ứng dụng các thành tựu khoa học kỹ thuật vào giảng 
dạy, giúp học sinh lĩnh hội được các kiến thức nhanh nhất, giải quyết được các 
vấn đề nhanh nhất. Máy tính bỏ túi là một phương tiện rất gần gũi với học sinh 
bởi giá thành của nó hợp lý mang lại nhiều tiện ích cho người dùng.
 Trong quá trình dạng dạy môn Toán ở trường THPT Lê Viết Tạo tôi luôn 
cố gắng giúp học sinh sử dụng thành thạo máy tính bỏ túi, hướng dẫn học sinh 
sử dụng hết các chức năng của máy để tránh lãng phí: vì đa phần học sinh chỉ sử 
dụng máy tính để thực hiện các phép toán thông thường.
 Quá trình giảng dạy và tham khảo tài liệu tôi đã tích luỹ được một số tính 
năng của máy tính điện tử bỏ túi đó là: “Sử dụng máy tính bỏ túi để giải bài 
toán tìm giới hạn trong sách Đại số & Giải tích 11”. Phương pháp này giúp 
học sinh kiểm tra được đáp số của bài toán tìm giới hạn một dạng toán mà sau 
khi giải xong học sinh không có cách nào kiểm tra xem kết quả của mình đưa ra 
đã chính xác chưa. Mặt khác nó giúp học sinh trong một số bài toán mà kết quả 
tính giới hạn chỉ là cần đáp số, phương pháp cũng rất có ích với hình thức thi 
trắc nghiệm khách quan mà Bộ Giáo dục & Đào tạo áp dụng cho kỳ thi THPT 
Quốc gia kể từ năm học 2016 - 2017.
1.2. Mục đích nghiên cứu
 Nhằm tạo ra một không khí làm việc tập thể một cách thoải mái, tạo điều 
kiện để các em được học tập tích cực, chủ động, sáng tạo, gây được hứng thú và 
phát triển tư duy logíc. Giúp các em học sinh khi tham gia kỳ thi THPT Quốc 
gia, gặp bài toán tìm giới hạn sẽ tự tin và sử dụng các phương pháp giải đã học 
để giải tốt bài toán này. Đặc biệt qua đó giúp học sinh có khả năng ứng phó và 
 2 2.3. Một số phương pháp để giải bài toán tìm giới hạn
2.3.1. Tìm giới hạn của dãy số lim f (n) ? 
Phương pháp:
Cách 1: Bấm x10x 9 = f (Ans) = được kết quả
Cách 2: 
Bước 1: Nhập biểu thức f (x) (coi n là x)
Bước 2: Bấm phím CALC sau đó chọn giá trị x rất lớn chẳng hạn 109
Bước 3: Bấm phím = được kết quả
Ví dụ 1: (Bài 3 Trang 121 sách Đại số & Giải tích 11)
Tìm các giới hạn sau:
 6n 1 3n2 n 5
 a) lim b) lim
 3n 2 2n2 1
 3n 5.4n 9n2 n 1
 c) lim d) lim
 4n 2n 4n 2
Giải:
 6Ans 1
a) Cách 1: Bấm máy 109 = = 1,9999999998
 3Ans 2
 6x 1
 Cách 2: Bấm CALC 1.000.000.000 = 1,9999999998
 3x 2
Nhận thấy 1,9999999998 2
 6n 1
Từ đó cho ta kết quả chính xác: lim = 2
 3n 2
 3Ans2 Ans 5
b) Cách 1: Bấm máy 109 = = 1,500000001
 2Ans2 1
 3x2 x 5
 Cách 2: Bấm CALC 1.000.000.000 = 1,500000001
 2x2 1
 3
Nhận thấy 1,500000001 
 2
 4 Cách 2: Bấm x2 5x 2 CALC 1.000.000.000 = - 9,99999995x1017
Nhận thấy - 9,99999995x1017 là một số rất nhỏ
Từ đó cho ta kết quả chính xác: lim( n2 5n 2) = 
 1
c) Cách 1: Bấm máy 109 = Ans2 Ans Ans = 
 2
 1
 Cách 2: Bấm x2 x x CALC 1.000.000.000 = 
 2
 1
Từ đó cho ta kết quả chính xác: lim( n2 n n) = 
 2
d) Cách 1: Bấm máy 109 = Ans2 Ans Ans = 2000000000
 Cách 2: Bấm x2 x x CALC 1.000.000.000 = 2000000000
Nhận thấy 2000000000 là một số rất lớn
Từ đó cho ta kết quả chính xác: lim( n2 n n) = 
2.3.2. Tìm giới hạn của hàm số lim f (x) ?
 x x0
Phương pháp: 
Cách 1: Chọn giá trị xấp xỉ bằng x 0 ( có thể nhỏ hơn hoặc lớn hơn) rồi làm như 
sau: Bấm máy số đã chọn = f (Ans) = được kết quả 
Cách 2: 
Bước 1: Nhập biểu thức f (x)
Bước 2: Bấm phím CALC sau đó chọn giá trị x xấp xỉ bằng x 0 ( có thể nhỏ hơn 
hoặc lớn hơn)
Bước 3: Bấm phím = được kết quả
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:
 x2 1
a) lim . ( Bài 3 câu a Trang 132 sách Đại số & Giải tích 11)
 x 3 x 1
 4 x2
b) lim . ( Bài 3 câu b Trang 132 sách Đại số & Giải tích 11)
 x 2 x 2
 6 3Ans 5
d) Cách 1: Bấm máy: 2,000000001 = = 1,000000003x1018.
 (Ans 2)2
 3x 5
 Cách 2 : Bấm máy: CALC 3,000000001 = 1,000000003x1018.
 (x 2)2
 Có thể bấm tiếp CALC 1,999999999 = 9,99999997x1017
Nhận thấy 1,000000003x1018 và 9,99999997x1017 đều là các số rất lớn.
 3x 5
 Từ đó cho ta kết quả chính xác: lim = .
 x 2 (x 2)2
2.3.3. Tìm giới hạn của hàm số lim f (x) ?
 x x0
Phương pháp: 
Cách 1: Chọn giá trị xấp xỉ bằng x0 nhỏ hơn x0 rồi làm như sau: Bấm máy số đã 
chọn = f (Ans) = được kết quả 
Cách 2: 
Bước 1: Nhập biểu thức f (x) .
Bước 2: Bấm phím CALC sau đó chọn giá trị x xấp xỉ bằng x0 nhỏ hơn x0
Bước 3: Bấm phím = được kết quả
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau: 
 2x 7
a) lim . ( Bài 4 câu b Trang 132 sách Đại số & Giải tích 11)
 x 1 x 1
 2x 5
b) lim . ( Bài 5 câu c Trang 142 sách Đại số & Giải tích 11)
 x 4 x 4
Giải:
 2Ans 7
a) Cách 1: Bấm máy: 0,999999999 = = 5.000.000.002.
 Ans 1
 2x 7
 Cách 2 : Bấm máy: CALC 0,999999999 = 5.000.000.002.
 x 1
Nhận thấy 5.000.000.002 là một số rất lớn.
 8 2x 7
 Từ đó cho ta kết quả chính xác: lim = .
 x 1 x 1
 Ans 2
b) Cách 1: Bấm máy: -2,999999999 = = 166666666,5.
 Ans2 9
 x 2
 Cách 2 : Bấm máy: CALC -2,999999999 = 166666666,5.
 x2 9
Nhận thấy 166666666,5 là một số rất lớn.
 x 2
Từ đó cho ta kết quả chính xác: lim = .
 x 3 x2 9
2.3.5. Tìm giới hạn của hàm số lim f (x) ?
 x 
Phương pháp: 
Cách 1: Chọn một số rất nhỏ rồi làm như sau: Bấm máy số đã chọn = f (Ans) = 
được kết quả 
Cách 2: 
Bước 1: Nhập biểu thức f (x) .
Bước 2: Bấm phím CALC sau đó chọn giá trị x rất nhỏ.
Bước 3: Bấm phím = được kết quả
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau: 
a) lim ( 2x3 3x2 5) ( Bài 6 câu b Trang 133 sách Đại số & Giải tích 11)
 x 
b) lim x2 2x 5 ( Bài 6 câu c Trang 133 sách Đại số & Giải tích 11)
 x 
 x 3
c) lim ( Bài 5 câu e Trang 142 sách Đại số & Giải tích 11)
 x 3x 1
 x2 2x 4 x
d) lim ( Bài 6 câu f Trang 142 sách Đại số & Giải tích 11)
 x 3x 1
Giải:
 10 2.3.6. Tìm giới hạn của hàm số lim f (x) ?
 x 
 Phương pháp: 
Cách 1: chọn một số rất lớn rồi làm như sau: Bấm máy số đã chọn = f (Ans) = 
được kết quả 
Cách 2: 
Bước 1: Nhập biểu thức f (x) .
Bước 2: Bấm phím CALC sau đó chọn giá trị x rất lớn.
Bước 3: Bấm phím = được kết quả
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:
 2x 6
a) lim ( Bài 3 câu d Trang 132 sách Đại số & Giải tích 11)
 x 4 x
 17
b) lim ( Bài 3 câu e Trang 132 sách Đại số & Giải tích 11)
 x x2 1
 2x2 x 1
c) lim ( Bài 3 câu f Trang 132 sách Đại số & Giải tích 11)
 x 3 x
d) lim (x4 x2 x 1) ( Bài 6 câu a Trang 133 sách Đại số & Giải tích 11)
 x 
 x2 1 x
e) lim ( Bài 6 câu d Trang 133 sách Đại số & Giải tích 11)
 x 5 2x
Giải:
 2Ans 6
a) Cách 1: Bấm máy: 109 = = - 2,000000002.
 4 Ans
 2x 6
 Cách 2 : Bấm máy: CALC 109 = - 2,000000002.
 4 x
Nhận thấy - 2,000000002 xấp xỉ bằng - 2.
 2x 6
Từ đó cho ta kết quả chính xác: lim = - 2.
 x 4 x
 17
b) Cách 1: Bấm máy: 109 = = 1,7x10-17.
 Ans2 1
 12 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với 
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
 Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 11, 
được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải bài toán 
tìm giới hạn. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các 
em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên có kỹ năng giải được bài tập. 
Số học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp khối 11 sau khi áp dụng 
sáng kiến này vào giảng dạy thì số HS hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các 
dạng toán nói trên, kết quả qua các bài kiểm tra thử như sau :
 Điểm từ 5 đến 
 Điểm 8 trở lên Điểm dưới 5
 Năm Tổng 8
 Lớp
 học số Số Số Số 
 Tỷ lệ Tỷ lệ Tỷ lệ
 lượng lượng lượng
 2015- 11A12 38 8 13.1 % 20 52,6 % 13 34,3 %
 2016 11D12 36 5 14 % 17 47 % 14 39 %
 2016- 11A13 40 8 20.0 % 23 57.5 % 9 22.5 %
 2017 11D13 38 9 23.7 % 21 55.2 % 8 21.1 %
 Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối. Theo tôi khi 
dạy bài toán tìm giới hạn giáo viên cần chỉ rõ các dạng toán và cách giải tương 
ứng để học sinh nắm được bài tốt hơn kết hợp với việc sử dụng máy tính bỏ túi 
để giải kiểm tra đáp số. 
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
 Bài toán tìm giới hạn là một bài toán nền cho việc tính đạo hàm của hàm 
số sau này, bài toán này chắc chắn học sinh sẽ gặp trong kỳ thi THPT Quốc gia 
2017 – 2018 và các năm học tiếp theo. 
 14 Tài liệu tham khảo :
- Sách giáo khoa Đại số & Giải tích 11.
- Hướng dẫn sử dụng máy tính Casio các loại.
 16