Sáng kiến kinh nghiệm Thế biến – kỷ năng tạo niềm đam mê sáng tạo cho học sinh thông qua bài toán giải hệ phương trình

 A. MỞ ĐẦU
 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
 Trong chương trình toán học phô thông, Hệ phương trình là một phần nội 
dung quan trọng, thường xuyên gặp trong các đề thi học sinh giỏi các cấp và đề thi 
đại học trước đây và trong ma trận đề thi THPT quốc gia năm 2015 cũng có nội 
dung này.
 Hệ phương trình ở sách giáo khoa (đặc biệt ở chương trình sách giáo khoa cơ 
bản) đưa ra lượng bài tập quá ít, quá đơn giản so với yêu cầu phải giải được các bài 
toán đỏi hỏi ở cấp độ tư duy vận dụng cao ở các đề thi học sinh giỏi các cấp, của đề 
thi đại học trước đến nay.
 Với mong muốn cung cấp cho học sinh một số kỹ thuật xử lý hệ phương 
trình cũng như cách nhìn nhận, quan sát các dấu hiệu để có thể quy “lạ” về quen, 
đặc biệt tạo cho học sinh niềm đam mê – sáng tạo trong học toán. Vì vậy tôi đã 
chọn đề tài “Thế biến – kỷ năng tạo niềm đam mê sáng tạo cho học sinh thông 
qua bài toán giải hệ phương trình” để nghiên cứu.
 II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
 Tìm hiểu những khó khăn và thuận lợi của học sinh khi tiếp cận các bài toán 
hệ phương trình từ đó đề xuất các biện pháp giúp các em nhìn nhận các định 
hướng, các dấu hiệu tiếp cận cách giải bài toán. Phát triển tư duy khái quát hóa, 
tương tự hóa, lật ngược vấn đề, quy lạ về quen, tư duy sáng tạo của học sinh
 III. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
 - Học sinh khối 10 THPT
 - Đội tuyển HSG khối 11 THPT
 - Học sinh khối 12 THPT ôn thi vào các trường Đại học
 - Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT
 - 1 - B. NỘI DUNG
 I. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI.
 Trường THPT nơi tôi đang công tác là một trường năm trên xã bãi ngang vì 
vậy việc học tập và phấn đấu của các em học sinh chưa thực sự được quan tâm từ 
các bậc học dưới THPT vì vậy kiến thức cơ sở về môn Toán của các em hầu hết tập 
trung ở mức độ trung bình.
 Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài để dạy học giải bài tập về 
hệ phương trình, các em thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán và phụ thuộc 
nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp chứ chưa ý thức tìm tòi, sáng 
tạo cũng như tạo được niềm vui, sự hưng phấn khi làm toán.
 Điều đáng lo ngại là các em được tham gia các lớp ôn thi Đại học cao đẳng 
đã được nhà trường chọn lựa từ các em có học lực trung bình khá trở lên. Trao đổi 
với các em tác giả nhận thấy đa số các em chỉ cố gắng nắm được các dạng hệ cơ 
bản để phục vụ cho các phần toán khác, đối với các bài toán ở mức độ tư duy vận 
dụng hay vận dụng cao thì các em lúng túng, không có định hướng giải và từ đó các 
em gần như chấp nhận buông xuôi đối với các loại hệ này.
 II.CƠ SỞ LÝ THUYẾT
 1. Phương trình bậc bốn.
 a) Phương trình bậc bốn dạng trùng phương: ax4 bx2 c 0; (a 0).
 Phương pháp giải: Đặt t x2 PT : at 2 bt c 0.
 b) Phương trình bậc bốn dạng: x a 2 x b 2 c
 a b
 Phương pháp giải: Đặt t x , đưa phương trình về dạng phương 
 2
trình trùng phương ẩn t.
 - 3 - Phân tích: ax4 bx3 cx2 dx e 0 Ax2 Bx C Dx2 Ex F 0. 
Bằng phương pháp hệ số bất định, và nhẩm nghiệm nguyên của hệ để tìm A, B, C, 
D, E, F.
 2. Phương trình bậc cao
 Xét phương trình : a xn a xn 1 ... a x a 0 1 với 
 n n 1 1 0 
 n N,n 2
 Nếu ta nhẩm được nghiệm của phương trình là x0
 Thì ta có thể phân tích: x x0 P x 0 với P x là đa thức:
 Để tính hệ số của đa thức P x ta lập bảng như sau:
 an an 1 . a1 a0
 ..
 x0 an bn 1 . b1 0
 ..
 Ta có : bn 1 an x0 an 1
 bn 2 bn 1x0 an 2
 .................
 b1 b2 x0 a1
 b1x0 a0 0
 n 1 n 2
 Khi đó ta có 1 x x0 an x bn 1x ... b2 x b1 0
 Chú ý: Một số cách nhẩm nghiệm
 - 5 - + Hệ phương trình có một phương trình đẳng cấp. 
 F(x; y) 0
 Hệ có dạng : với F(x; y) 0 là một phương trình đẳng cấp 
 G(x; y) 0
 Phương pháp giải : Giải phương trình đẳng cấp tìm x theo y thế vào 
 phương trình còn lại.
 + Hệ phương trình đẳng cấp tổng quát :
 A x; y B x; y 
 Hệ có dạng : với A x; y ; B x; y ; F x; y ; G x; y là 
 F x; y G x; y 
các biểu thức đẳng cấp với hai ẩn x,y.
 Phương pháp giải : Nâng lũy thừa các phương trình trong hệ với số mũ 
thích hợp rồi tiến hành nhân vế theo vế hoặc nhân chéo vế các phương trình để đưa 
về hệ có một phương trình đẳng cấp.
 III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI.
 Trong những năm gần đây các bài toán về hệ phương trình thường xuyên 
xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, đề thi đại học và cả trong ma trận 
đề thi THPT quốc gia năm 2015. Các bài toán này được yêu cầu ở mức độ tư duy 
vận dụng cấp độ cao chứ không còn là các bài toán về các hệ phương trình cơ bản. 
Điều này làm cho học sinh gặp rất nhiều khó khăn cho học sinh, đặc biệt tinh thần 
học tập, tính tư duy – sáng tạo của học sinh trong bài toán giải hệ ngày càng có dấu 
hiệu đi xuống. Xuất phát từ yêu cầu thực tiễn đó, trong phần này tôi muốn được 
nêu lên quan điểm dạy học sinh cách nghiên cứu, tìm tòi các xu hướng phát triển 
của bài toán hệ phương trình từ các hệ phương trình cơ bản (đã nêu trong mục IV) 
để qua đó các em nắm được các dấu hiệu, hình thành các kỹ thuật giải các hệ 
phương trình ở mức độ vận dụng cao và tạo nên hứng thú học tập cho học sinh
 - 7 - x y 2 x 1 2 x 1 y 1 y 1 2 1 0 x y 2 0 x y 2
 (3).
 Trong lời giải của bài toán thì điểm mấu chốt của bài toán là phải thấy được 
mối liên hệ giữa hai phương trình trong hệ đặc biệt là các đại lượng trong các 
phương trình có dấu hiệu của hằng đẳng thức a b 3 và a b 3 để có thể cộng vế 
theo vế các phương trình, nhóm các hằng đẳng thức từ đó tìm ra lời giải. Để có thể 
giúp học sinh có thể thấy được điều này ta có thể có các hướng khai thác như sau : 
 1. Tập cho học sinh làm quen với kỷ năng thế biến để sáng tạo ra các bài 
toán mới từ các hệ phương trình đã giải được.
 Trong quá trình dạy học hệ phương trình, tôi thường xuyên hướng dẫn học 
sinh cách tạo ra một hệ phương trình mới từ một hệ phương trình giải được bằng 
phương pháp thế biến. Với cách làm này tôi nhận thấy tạo được sự hứng thú cho 
học sinh, các em thay nhau sáng tạo các bài toán mới và thách đố nhau giải rất sôi 
nổi. Không những thế, quá trình này còn giúp các em rèn luyện cách nhìn nhận ra 
bản chất về dấu hiệu của các phương pháp giải hệ phương trình đặc biệt là 
phương pháp đặt ẩn phụ.
 Quy trình xây dựng hệ phương trình mới bằng kỷ năng thế biến :
 Bước 1 : Chọn một hệ phương trình giải được (hệ cơ bản).
 Bước 2 : Chọn biến để thực hiện phép thế biến (Lưu ý : Biến được chọn để 
thế biến phải là tạo ra các hệ cơ bản giải được với các nghiệm của phương trình 
trong bước 1).
 Bước 3 : Tiến hành biến đổi, thu gọn để tạo ra hệ phương trình mới.
 - 9 - 2 3 2 5
 x y x y x y xy 
 4
Bài toán 1.2 : Giải hệ phương trình : 
 5
 x4 y2 xy(1 2x) 
 4
 (Đề thi đại học khối A năm 2008)
 Giải :
 2 3 2 5 2 2 5
 x y x y x y xy x y xy x y 1 
 4 4
Ta có : 
 5 2 5
 x4 y2 xy(1 2x) x2 y xy 
 4 4
 5
 2 u v u 1 
 u x y 4
Đặt ta có hệ : (đây là bài toán 1.1).
 v xy 5
 u2 v 
 4
 1
 u 
 2
 3
 v 
 2
 u 0
 5
 v 
 4
 5
 u 0 x2 y 0 y x2 x 3
 4
TH1 : Nếu , ta có: 
 5 5 3 5 
 v xy x 25
 4 4 4 y 3
 16
 - 11 - x 1 x 2
 Vậy hệ có hai nghiệm : ; 
 y 1 y 2
 y 
 Trong hệ phương trình trên nếu ta thực hiện phép thế biến x bởi x và 
 x 
 y
 x y 3 0
 x
y bởi y 3 ta được hệ phương trình mới : 2 
 y 
 x y 5 0
 x 
 Thực hiện khai triển và quy đồng mẫu số ta có hệ phương trình sau.
 x2 xy 3x y 0
 Bài toán 1.4 : Giải hệ phương trình : 
 4 2 2 2
 x 3x y 5x y 0
 Giải :
 Cách 1 : 
 2
 x2 xy 3x y 0 x y xy 3x 0 (1)
 Ta có : 
 4 2 2 2 2 2 2 2
 x 3x y 5x y 0 x y x y 5x 0 (2)
 Từ phương trình (1) ta có x2 y x 3 y thay vào phương trình (2) ta có :
 2 2 2 2 2 x 0
 x y 3 x y 5 0 x y 5y 4 0 2
 y 5y 4 0
 x 0
 Với x 0 , kết hợp với (1) ta có 
 y 0
 x2 y xy 3x 0 x 1
 Với y2 5y 4 0 kết hợp với (1) ta có 
 2 
 y 5y 4 0 y 1
 Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm : (0; 0); (1; 1) .
 Cách 2: 
 - 13 - 3
 x 3y 55 64
 Bài toán 1.5 : Giải hệ phương trình : 
 2
 xy y 3y 3 12 51x
 Nhận xét : Trong hệ phương trình này, theo phân tích trên nhận xét x là 
hạng tử “đặc biệt” vì nó ở dạng tích với các hạng tử còn lại vì vậy có thể tiến hành 
thử chia hai vế các phương trình trong hệ.
 Giải :
 Nhận xét : x 0 hệ vô nghiệm.
 3
 4 
 3 3 y 1 52
 x 3y 55 64 
 Với x 0 , Ta có : x 
 2 
 xy y 3y 3 12 51x 3 4
 y 1 3 52
 x
 4 3
 u u 3v 52
 Đặt x , hệ trở thành 
 v3 3u 52
 v y 1 
 2 2
 u v u uv v 3 0 u v u 4
 3 3 v 4
 u 3v 52 u 3u 52 0 
 4
 u 4 4 x 1
 Với , ta có x 
 v 4 y 3
 y 1 4
 x 1
 Vậy hệ có nghiệm day nhất 
 y 3
 Như vậy một hệ phương trình giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ thường có 
nguồn gốc từ một hệ phương trình cơ bản kết hợp với phương pháp thế biến. Do đó 
tùy theo biến được thế để có các dấu hiệu và định hướng nhận dạng về phương 
pháp đặt ẩn phụ. Các dấu hiệu đó có thể là:
 - Các dấu hiệu của các hằng đẳng thức: Các dấu hiệu này có thể là nguồn 
gốc của phép thế biến chẳng hạn thế biến x bởi f (x) khi đó x2 biến thành f 2 (x) 
 - 15 -