Sáng kiến kinh nghiệm Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11

 SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 
 Phần I. MỞ ĐẦU
 I. CƠ SỞ LÍ LUẬN.
 Thời gian gần đây đã có rất nhiều cuộc hội thảo khoa học bàn về vấn đề 
làm thế nào để đẩy nhanh sự phát triển của giáo dục mà nội dung then chốt là 
đổi mới để nâng cao chất lượng dạy và học. Một trong những phương pháp 
được chú ý nhất ,có tính ưu việt nhất đó là dạy học theo quan điểm hoạt động.
 Phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt động được hình thành 
trên những tư tưởng chủ đạo sau.
 i) Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động thành phần 
tương thích với nội dung và mục đích dạy học.
 ii) Gây động cơ học tập và tiến hành hoạt động.
 iii) Truyền thụ tri thức ,đặc biệt là những tri thức phương pháp như 
phương tiện và kết quả hoạt động.
 iv) Phân bậc hoạt động .
 Bản sáng kiến kinh nghiệm này trình bày về một khía cạnh nhỏ của 
phương pháp dạy học trên, đó là “Thực hiện các hoạt động thành phần trong 
quá trình dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 trung học phổ 
thông” mà tác giả đã trực tiếp giảng dạy và kiểm nghiệm..
 Hoạt động dạy học phương trình lượng giác là một hoạt động phức hợp 
có thể chia làm nhiều hoạt động thành phần, ký hiệu một cách hình thức là 
 H1 , H 2 , H 3 , H 4 , H 5 , H 6 .
 Có thể mô tả cấu trúc của hoạt động dạy học phương trình lượng giác 
như sau.
 H1 :Nhận dạng phương trình: Nếu học sinh đã nhận dạng được phương 
trình cần giải thì chuyển qua H 2 .
 H 2 :Biến đổi phương trình về dạng quen thuộc,giáo viên cần tiến hành 
gợi động cơ, hướng đích cần thiết, kết thúc H 2 thì chuyển sang H3 .
 H3 :Giải các phương trình nhận được (thể hiện phương pháp giải).
 H 4 :Kiểm tra các kết quả để bảo đảm không bỏ sót nghiệm,không thừa 
nghiệm, tránh các sai lầm phổ biến thường gặp.
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá 1 SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 
 Phần II
THỰC HIỆN CÁC HOẠT ĐỘNG THÀNH PHẦN TRONG QUÁ TRÌNHDẠY 
 HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 11
 1. Nhận dạng phương trình.
 Khi học giải phương trình lượng giác nhiều học sinh đã nhầm tưởng 
rằng sẽ học được những thuật toán tổng quát nhất cho phép giải mọi phương 
trình lượng giác, nhưng thực ra không có một phương pháp tổng quát nào 
.Các phương trình lượng giác trong chương trình phổ thông rất đa dạng về thể 
loại, phong phú về cách giải ,vì vậy một yêu cầu quan trọng mà giáo viên phải 
đạt được là giúp học sinh nhận dạng được các phương trình lượng giác khác 
nhau và thể hiện các phương pháp giải chúng.
 Có nhiều cách phân dạng phương trình lượng giác ,chẳng hạn sách giáo 
viên Đại số và giải tích 11 Ban khoa học tự nhiên thì các phương trình lượng 
giác được phân loại thành:
 - Phương trình lượng giác cơ bản .
 - Một số phương trình lượng giác thường gặp (phương trình bậc nhất ,bậc 
hai hay phương trình bậc cao đối với một hàm số lượng giác ,phương trình thuần 
nhất đối với sinx và cosx ,phương trình đối xứng theo sinx và cosx).
 - Những phương trình lượng giác khác: Cách phân loại như vậy có ưu 
điểm là chi tiết ,tuy nhiên chưa nhấn mạnh đến các đặc điểm về dạng thức và 
phương pháp giải .Theo kinh nghiệm cá nhân tôi nhận thấy sử dụng hệ thống 
phân dạng nói trên với một sự thay thích hợp về cách sắp xếp ,tổ chức lại sẽ 
có một hệ thống phân dạng đầy đủ chi tiết tạo điều kiện giúp học sinh nhận 
dạng phương trình và tìm được giải pháp thể hiện phương pháp giải chúng .
 Trước hết, một sự phân dạng (còn rất thô) có thể chia các phương trình 
thành hai loại :
 Loại phương trình lượng giác không có tham số và loại phương trình 
lượng giác có tham số .
 Về nguyên tắc các phương trình không có tham số là những phương 
trình cụ thể nên phép giải chúng tương đối đơn giản .Các phương trình có 
tham số nhìn chung sẽ phức tạp ,vì vậy học sinh phải có khả năng phân tích 
để chia tập hợp các giá trị của tham số thành những bộ phận ,trong đó phương 
trình có dạng chung thống nhất và lập luận thống nhất về biến đổi tương 
đương phương trình.
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá 3 SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 
 Về các phương trình có chứa tham số ,học sinh có thể gặp các dạng cụ 
thể sau.
 a. Biện luận phương trình.
 b. Biện luận số nghiệm của phương trình.
 c. Điều kiện để phương trình có nghiệm,nghiệm duy nhất.
 d. Điều kiện để hai phương trình tương đương.
 1.1. Phương trình lượng giác cơ bản.
 Là lớp phương trình đơn giản nhất nhưng lại là quan trọng nhất vì việc 
giải bất cứ phương trình nào cũng dẫn đến giải một trong những phương trình 
dạng này.
 Các phương trình lượng giác cơ bản gồm:sinx=a,cosx=a,tanx=a,cotx=a, 
với x là ẩn, a là số đã cho.
 1.2.Phương trình lượng giác gần cơ bản.
 Là các phương trình dạng sinf(x)=a,cosf(x)=a,tanf(x)=a,cotf(x)=a.
 1.3.Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
 Là phương trình có dạng:asinx+bcosx+c=0
 1.4.Các phương trình lượng giác có thể đại số hóa.
 Về nguyên tắc, mọi phương trình lượng giác đều có thể đại số hóa nhờ 
phép đặt ẩn phụ t=tan(x/2) và sử dụng các công thức hữu tỉ hóa:
 2t 1 t 2 2t 1 t 2
 sin x 'cos x , tan x ,cot x .
 1 t 2 1 t 2 1 t 2 1 t 2
 Tuy nhiên có hai lí do chủ yếu không nên máy móc đặt ẩn phụ dạng này 
cho mọi trường hợp.
 Thứ nhất, phép biến đổi trên làm thu hẹp miền xác định của phương trình.
 Thứ hai, phép đặt ẩn phụ trên làm bậc của phương trình tăng lên gấp đôi.
 Do đó trong nhiều trường hợp ,để đại số hóa một phương trình lượng 
giác cần xem xét cụ thể phương trình để lựa chọn một phép biến đổi thông 
minh hơn.
 a.Phương trình đa thức đối với một hàm lượng giác . 
 b.Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.
 c.Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx.
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá 5 SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 
 2. Biến đổi phương trình về dạng quen thuộc.
 Đây là hoạt động thành phần quan trọng và khó khăn nhất trong hoạt 
động dạy học giải phương trình lượng giác. Phần lớn các phương trình lượng giác 
có dạng thức không chỉ ra ngay con đường đi đến lời giải. Việc nhận ra dạng 
phương trình cần giải mới chỉ gợi ý cho người làm một thuật toán chung, tổng 
quát để suy nghĩ tìm tòi lời giải. Do đó,trong hoạt động thành phần này, giáo viên 
cần cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ tìm tòi lời giải.
 Một giờ học toán sinh động hay khô khan buồn tẻ, có trở thành niềm 
say mê, háo hức của học sinh hay không là tùy thuộc và năng lực điều khiển 
của giáo viên. Vì vậy mỗi giáo viên cần thường xuyên rèn luyện nhằm không 
ngừng nâng cao năng lực tiến hành biến đổi phương trình.
 2.1. Phương trình lượng giác cơ bản và gần cơ bản.
 * Phương trình lượng giác cơ bản :sinx=a,cosx=a, tanx=a,cotx=a.Các 
phương trình lượng giác dạng này đã có công thức nghiệm chi tiết.Cần nhấn 
mạnh các phương trình 
 sinx=sinb,cosx=cosb,tanx=tanb,cotx=cotb.
 * Phương trình lượng giác gần cơ bản.
 Là những phương trình :sinf(x)=a,cosf(x)=a,tanf(x)=a,cotf(x)=a.
 Bằng phép đặt f(x)=t,ta đưa về phương trình dạng trên.
 Cần chú ý điều kiện trong phương trình tanf(x)=a,cotf(x)=a.
 2.2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
 Dạng phương trình :asinx+bcosx+c=0.
 Bằng cách chia hai vế của phương trình cho a 2 b 2 và chú ý rằng 
 2 2
 a b a b
 1,nên ta có thể đặt cos ,sin 
 2 2 2 2 2 2 2 2
 a b a b a b a b
,với là một góc xác định nào đó.
 c
Khi đó phương trình đã cho trở thành :sin(x ) ,đây chính là 
 a 2 b 2
phương trình cơ bản.
 Sử dụng cách giải phương trình này ta có thể áp dụng được cho những 
phương trình dạng sau:
 asin f (x) bcos f (x) csin g(x) d cos g(x),a 2 b 2 c 2 d 2 .
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá 7 SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 
biến đổi lượng giác ,đã hài lòng và yên tâm với việc hiểu ý nghĩa công thức 
biến đổi ,có khả năng áp dụng chúng ,nhưng lại không nhớ được có những 
công thức nào,không hình dung được các công thức đó một cách tường minh, 
vì thế không có khả năng so sánh phân tích ,tổng hợp.Vì lẽ đó các em chỉ có 
thể giải toán một cách thụ động ,hiểu vấn đề một cách lơ mơ và không có khả 
năng sáng tạo.
 Thiết nghĩ rằng nếu tổ chức tốt việc dạy học các công thức biến đổi 
lượng giác sẽ bảo đảm một kết quả chắc chắn và tiết kiệm thời gian cho học 
sinh rất nhiều.
 Cách tổ chức dạy học biến đổi lượng giác nên dựa vào hai yếu tố :hệ thống 
hóa các công thức; phối hợp các giác quan cùng tham gia hoạt động học tập.
 Hệ thống công thức biến đổi có thể tóm tắt trong sơ đồ sau.
 Ba hệ thức Quy gọn góc Cộng cung
 cơ bản
 Góc nhân đôi Tích thành tổng
 nhân ba
 Tổng thành tích
 Hạ bậc
 Đột biến cơ bản
 Hữu tỉ hoá
 Để phối hợp các giác quan cùng tham gia hoạt động chúng tôi sắp xếp các 
công thức theo một trật tự thích hợp để về mặt âm thanh có thể đọc trơn tru, tốt ít 
hơi và yêu cầu học sinh luyện đồng thời nói - nhìn - nghe - viết. 
 Ví dụ 1: Công thức biến tích thành tổng dưới dạng viết cho bởi:
 1
 cos x cos y (cos(x y) cos(x y))
 2
 1
 sin xsin y (cos(x y) cos(x y))
 2
 1
 sin xcos y (sin(x y) sin(x y))
 2
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá 9 SKKN - Thực hành các hoạt động trong dạy học phương trình lượng giác cho học sinh lớp 11 
 2sin 2xcos x sin 2x 2cos2xcos x cos2x
 sin 2x(2cos 1) cos2x(2cos x 1)
 (2cos x 1)(sin 2x cos2x) 0
 Ví dụ 4: sin3x+sin6x=sin9x
 H2: Chú ý đến các cung chứa ẩn (3x+6x =9x) ta thấy ngay nên biến đổi.
 9x 3x 9x 9x
 2sin cos 2sin cos
 2 2 2 2
 9x 9x 3x
 2sin (cos cos ) 0
 2 2 2
 Cũng có thể biến đổi theo cách khác, chẳng hạn đặt t=3x và dùng công 
thức góc bội ta biến đổi phương trình thành
 sint+sin2t = sin3t (dạng asinx+bsin2x + csin3x = 0)
 sint(4sin 2 t 2cost 2) 0
 x 3x
 Ví dụ 5: cos2 cos2 sin 2 2x sin 2 4x 0
 2 2
 H2: Tất cả các số hạng đều là bậc 2 với cos hoặc sin do đó ta dùng công 
thức hạ bậc, phương trình được biến đổi thành:
 1 cos x 1 cos3x 1 cos4x 1 cos8x
 0
 2 2 2 2
 cos x cos3x cos4x cos8x 0
 x 3x 8x 4x
 chỳ ý rằng nên có thể nhóm cosx + cos3x, cosx + 
 2 2
cos8x, phương trình tương đương với:
 2cos2xcos x 2cos6xcos2x 0
 2cos2x(cos x cos6x) 0
 Trong nhiều trường hợp, 2 vế phương trình là tổng nhiều tích những 
hàm số lượng giác mà không có thừa số chung, khi đó nên tìm cách biến tích 
thành tổng để rút gọn các số hạng đồng dạng rồi mới biến tích thành tổng.
 Ví dụ 6: cos3xcos6x= cos4xcos7x
 H2: Hai vế là hai tích không có nhân tử chung, nếu biến tích thành tổng 
thì phương trình tương đương với
 1 1
 (cos3x cos9x) (cos3x cos11x)
 2 2
 cos11x cos9x
 c. Sử dụng đồng nhất thức đối xứng sin 2 x cos2 x 1 từ hệ thức cơ bản 
này ta rút ra các biến đổi thành tích sau:
Gv: Nguyễn Văn Chinh - THPT Đào Duy Từ, TP.Thanh Hoá 11