Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng các phép biến hình vào giải Toán hình học

 Trường Quốc Học Quy Nhơn 
 Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 
Đề tài: Ứng dụng các phép biến hình vào 
 giải Toán hình học 
 GVTH: Trần Lê Thanh Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học 
 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 MỞ ĐẦU 
1.Lý do chọn đề tài 
 Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những 
cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới: phát triển toàn diện phù hợp với 
yêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước con người Việt Nam. 
 Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng 
là môn học công cụ nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với 
phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn khác. 
 Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh 
hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết môn Toán còn rèn luyện cho học 
sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ 
luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ. 
 Sách giáo khoa toán là tài liệu chính thống được sử dụng trong nhà trường 
phổ thông. 
 Thực tế trong nhà trường THPT ở vùng cao, vùng sâu hiện nay chất lượng 
học tập của học sinh còn thấp. Các em chưa có điều kiện học tập, đặc biệt chương 
trình phân hoá học sinh. Nhà trường PT chưa có điều kiện tốt để học sinh khá giỏi, 
học sinh yếu kém phát triển nhận thức phù hợp với từng đối tượng học sinh. Học 
sinh hổng kiến thức từ lớp dưới rất lớn. Nhà trường chưa có đủ phương tiện dạy 
học theo phương pháp mới. Đặc biệt lượng kiến thức đưa ra là nặng đối với học 
sinh vùng sâu vùng xa. 
 Có lẽ ai cũng nhận thấy điều đó, đội ngũ giáo viên đang trực tiếp giảng dạy, 
các cấp lãnh đạo, các ngành đã làm gì để khắc phục tình trạng đó. Theo tôi đây là 
vấn đề bức xúc nóng bỏng còn đang tồn tại, sẽ tồn tại nếu ta không có giải pháp 
hợp lí. 
 Qua một năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khối 11 khi học về phép biến 
hình rất khó tiếp thu và áp dụng 
 Vì vậy để giúp học sinh học tốt môn hình học lớp 11 tôi đã chọn đề tài 
--------------------------------------------------------- 4 ------------------------------------------------------- 
Giáo viên: Trần Lê Thanh 
 Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học 
 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 NỘI DUNG 
Chương I: Cơ sở lí luận: 
1 Cơ sở triết học: 
 Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình 
phát triển. Vì vậy trong quá trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần chú trọng gợi 
động cơ học tập giúp các em thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết 
với khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh 
trong việc lĩnh hội tri thức. Tình huống này phản ánh một cách lôgíc và biện chứng 
trong quan niệm nội tại của bản thân các em. Từ đó kích thích các em phát triển tốt 
hơn. 
2.Cơ sở tâm lí học: 
 Theo các nhà tâm lí học: Con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh 
nhu cầu tư duy khi đứng trước một khó khăn cần phải khắc phục. Vì vậy GV cần 
phải để học sinh thấy được khả năng nhận thức của mình với những điều mình đã 
biết với tri thức của nhân loại. 
 Căn cứ vào quy luật phát triển nhận thức và hình thành các đặc điểm tâm lí 
thì từ những lớp cuối của cấp THCS, học sinh đã bộc lộ thiên hướng, sở trường và 
hứng thú đối với những lĩnh vực kiến thức, kĩ năng nhất định. Một số học sinh có 
khả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú 
văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn khác. Ngoài ra còn có những 
học sinh thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt 
 Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh khi học về các phép biến hình, 
các em thường có tâm lí: không biết ứng dụng của phép biến hình để làm gì, nói 
cách khác các em không gắn được lý thuyết vào thực hành, do đó các em không 
muốn học chương này.Vì vậy GV cần chỉ rõ, cụ thể và hướng dẫn cho học sinh 
ứng dụng các phép biến hình vào giải toán. 
--------------------------------------------------------- 6 ------------------------------------------------------- 
Giáo viên: Trần Lê Thanh 
 Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học 
 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định được động cơ học tập, 
chưa thấy được ứng dụng to lớn của môn hình học trong đời sống. 
 Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện 
pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ 
học sinh yếu kém. Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biện pháp 
rèn luyện tích cực, phân hoá nội tại thích hợp. 
 Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ 
từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết 
học, học sinh khá không nhàm chán. 
Chương III: Giải quyết vấn đề: 
 Trong các giờ học về phần: Các phép biến hình, ứng dụng của nó học sinh 
nắm chưa chắc, chưa hiểu bản chất. Óc tư duy hàm, suy luận lôgíc, khả năng khaí 
quát phân tích còn hạn chế, đặc biệt là phần ứng dụng các phép biến hình. Vì vậy 
học sinh còn lúng túng, xa lạ, khó hiểu chưa kích thích được nhu cầu học tập của 
học sinh. Để các em tiếp thu bài một cách có hiệu quả tôi xin đưa ra một vài ứng 
dụng của phép biến hình cụ thể trong giải toán hình học lớp 11: 
1: Định nghĩa phép biến hình: 
1.1: Định nghĩa: 
 Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định 
duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng. 
1.2: Một số phép biến hình trong mặt phẳng: 
1.2.1: Phép tịnh tiến: 
 r r
 Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho vectơ v ≠ 0 , phép biến hình biến mỗi điểm 
 uuuuur r r
M thành điểm M’ sao cho MM ' = v , gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v . 
 r
 Kí hiệu: Tv . 
 uuuuur r
 r
 Vậy: Tv (M) = M’ ⇔ MM ' = v . 
--------------------------------------------------------- 8 ------------------------------------------------------- 
Giáo viên: Trần Lê Thanh 
 Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học 
 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 uuuuuruuuur
 Vậy: V(O,k)(M)=M’ ⇔ OM' = kOM 
1.2.7: Phép dời hình: 
 Định nghĩa: Phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm 
bất kì gọi là phép dời hình. 
1.2.8: Phép đồng dạng: 
 Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k(k>0) nếu 
với 2 điểm M, N bất kì và ảnh M’,N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’=kMN. 
2: Một số tính chất của phép biến hình: 
 Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi 
thứ tự giữa ba điểm đó. 
 Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng 
thành đoạn thẳng. 
 Biến tam giác thành tam giác bằng nó ( hoặc đồng dạng với nó), biến góc 
thành góc bằng nó. 
 Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính R (hoặc kR). 
3. Biểu thức toạ độ của một số phép biến hình: 
3.1: Phép tịnh tiến: 
 r
 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho vab(,), M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó 
 ⎧x ' =+xa
 r
nếu Tv (M) = M’ thì ⎨ 
 ⎩yyb' =+
3.2: Phép đối xứng trục: 
 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho , M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó nếu 
 ⎧x ' = x
 +) ĐOx(M) = M’ thì ⎨ 
 ⎩yy' = −
--------------------------------------------------------- 10 ------------------------------------------------------- 
Giáo viên: Trần Lê Thanh 
 Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học 
 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Bài 2:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho M(1;5), đường tròn (C) có phương 
trình x2+y2-2x+4y-4=0, đường thẳng d có phương trình x-2y+4=0. 
a)Tìm ảnh của m,(C), d qua phép đối xứng trục Ox. 
b)Tìm ảnh của M qua phép đối xứng trục d. 
Giải: 
 a) Gọi M’,(C’),d’ lần lượt là ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục Ox. 
 Ta có M’ (1;-5). 
 (C) có tâm I(1;-2), bán kính R=3. Đường tròn (C’) có tâm là I’=ĐOx(I)=(1;2) và 
 bán kính R=3. Vậy phương trình (C) là: (x-1)2+(y-2)2=9. 
 Gọi N’(x’;y’) là ảnh của N(x;y) qua phép đối xứng trục Ox, ta có 
 ⎧⎧x ''==xxx
 ⎨⎨⇔ . Thay vào phương trình của d ta được: x’+2y’+4=0. 
 ⎩⎩yy''=− yy =−
 Vậy phương trình của d’ là x+2y+4=0. 
 b)Đường thẳng d1 đi qua M và vuông góc với d có phương trình là: 2x+y-7=0. 
 Gọi M0 là giao điểm của d và d1 thì toạ độ của M0 là nghiệm của 
 ⎧⎧xy−+=240 x = 2
 hệ: ⎨⎨⇔ 
 ⎩⎩2703xy+−= y =
 Vậy M0(2;3) 
 Gọi M1 là ảnh của M qua phép đối xứng trục d thì M0 là trung điểm đoạn thẳng 
 MM1 nên M1(3;1) 
Bài 3:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(3;4). Hãy tìm toạ độ điểm A’ là 
ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay 900. 
--------------------------------------------------------- 12 ------------------------------------------------------- 
Giáo viên: Trần Lê Thanh 
 Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học 
 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
x+y-2=0. Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đồng 
 1
dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm I(-1;-1), tỉ số k= và 
 2
phép quay tâm O góc quay -450. 
Giải: 
 1
 Phép vị tự tâm I tỉ số k= biến d thành d1 => d//d1 =>d1 có phương trình: 
 2
 x+y+C=0. 
 1
Lấy M(1;1) thuộc d, V(I, )(M)=O, O thuộc d1 => d1 có phương trình: x+y=0. 
 2
 0
Q(O,-45 )(d1) = Oy. Vậy phương trình d’ là: x=0. 
Dạng 2: Dùng phép biến hình để giải một số bài toán dựng hình: 
Phương pháp: Để dựng điểm M ta làm như sau: 
Cách 1: Xác định M như ảnh của một điểm đã biết qua một phép biến hình. 
Cách 2: Xem M như là giao điểm của một đường cố định với ảnh của một đường 
đã biết qua một phép biến hình. 
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(-1;-1),B(3;1),C(2;3). Tìm toạ độ 
điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. 
Giải: 
 uuur
 uuur
Giả sử điểm D(x;y). Ta có TDBA ()= C, mà BA = (4;2)−− 
 ⎧⎧xx=−24 =− 2
Do đó: ⎨⎨⇔ . Vậy D(-2;1). 
 ⎩⎩yy=−32 = 1
Bài 2:Hai thôn nằm ở vị trí A, B cách nhau một con sông(Xem hai bờ sông là hai 
đường thẳng song song). Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua 
sông(cầu vuông góc với bờ sông) và làm hai đoạn đường AM, NB(như hình vẽ). 
Hãy xác định vị trí chiếc cầu MN sao cho AM+NB ngắn nhất. 
Giải: 
--------------------------------------------------------- 14 ------------------------------------------------------- 
Giáo viên: Trần Lê Thanh