Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán thực tế cho học sinh Trung tâm GDNN-GDTX Yên Lạc

 MỤC LỤC 
DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT.....................................................................1
I. LỜI GIỚI THIỆU...............................................................................................2
II. TÊN SÁNG KIẾN ............................................................................................3
III. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN ..................................................................................3
IV. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN..........................................................3
V. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN..............................................................3
VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG THỬ ..3
VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN .....................................................3
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ..............................................3
 1. Cơ sở lý luận ..................................................................................................3
 2. Thực trạng......................................................................................................4
CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG HÀM SỐ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ...5
 1. Ứng dụng của đạo hàm trong bài toán về di chuyển, quãng đường...............5
 2. Ứng dụng trong cách bài toán về tối ưu chi phí sản xuất.............................45
CHƯƠNG III: MỘT SỐ KẾT QUẢ CỤ THỂ VỀ GIÁ TRỊ, LỢI ÍCH CỦA 
VIỆC DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ “ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM GIẢI CÁC 
BÀI TOÁN THỰC TẾ CHO HỌC SINH TRUNG TÂM GDNN-GDTX YÊN 
LẠC” ...................................................................................................................53
 1. Về phương diện lý luận................................................................................53
 2. Về phương diện thực tiễn.............................................................................53
 3. Một vài số liệu cụ thể về giá trị lợi ích khi áp dụng sáng kiến ....................55
KẾT LUẬN .........................................................................................................57
VIII. NHỮNG THÔNG TIN CẦN ĐƯỢC BẢO MẬT .....................................57
IX. CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN....................57
X. ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC DO SÁNG KIẾN..................................57
XI. DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/CÁ NHÂN ĐÃ ÁP DỤNG THỬ 
HOẶC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU......................................................58
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................59 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
 I. LỜI GIỚI THIỆU
 Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục 
tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới. Chính 
vì thế vai trò của các bài toán có nội dung thực tế trong dạy học toán là không 
thể không đề cập đến. Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên 
không ngừng thể hiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, 
công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán 
học thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá trong sản xuất, mở rộng nhanh 
phạm vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của mọi khoa học. Toán học có 
vai trò quan trọng như vậy không phải là do ngẫu nhiên mà chính là sự liên hệ 
thường xuyên với thực tiễn, lấy thực tiễn làm động lực phát triển và là mục tiêu 
phục vụ cuối cùng. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn lao động sản xuất của 
con người và ngược lại toán học là công cụ đắc lực giúp con người chinh phục 
và khám phá thế giới tự nhiên. Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học chương trình 
THPT, đặc biệt dạy học khối GDTX nhìn chung mới chỉ tập trung rèn luyện cho 
học sinh vận dụng trí thức học toán ở kỹ năng vận dụng tư duy tri thức trong nội 
bộ môn toán là chủ yếu còn kĩ năng vận dụng tri thức trong toán học vào nhiều 
môn khác vào đời sống thực tiễn chưa được chú ý đúng mức và thường 
xuyên. Những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản 
xuất còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình môn Toán. Như 
vậy, trong giảng dạy môn Toán nếu muốn tăng cường rèn luyện khả năng và 
ý thức ứng dụng, toán học cho học sinh nhất thiết phải chú ý mở rộng phạm vi 
ứng dụng, trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt chú ý thường 
xuyên, qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm cho toán 
học không trừu tượng khô khan và nhàm chán. Học sinh biết vận dụng kiến thức 
đã học để giải quyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống và ngược lại. Qua 
đó càng làm thêm sự nổi bật nguyên lý: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp 
với lao động sản xuất, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với 
giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Có rất nhiều ứng dụng Toán học để giải 
được các bài toán thực tế, để giúp các em học sinh dễ dàng tiếp cận được với các 
bài toán thực tế dựa trên những kiến thức được học trong chương trình GDTX 
cấp THPT, tôi đã chọn “Ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán thực tế cho 
học sinh Trung tâm GDNN-GDTX Yên Lạc” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm. 
 2 2. Thực trạng
 Làm thế nào để tìm kiếm và xây dựng các ví dụ thực tiễn ứng dụng toán 
học? Đây là một cách tiếp cận mới, một câu hỏi mà các nhà giáo dục, giáo viên, 
 còn băn khoăn. Hiện nay, giáo dục Việt Nam không nhiều các tài liệu bàn về 
lĩnh vực này, cần có một sự bổ sung, trên cơ sở tiếp thu tri thức, kỹ năng liên 
quan đến các bài toán thực tế để có được cái nhìn, quan điểm đầy đủ hơn trong 
việc đổi mới dạy học theo hướng tiếp cận năng lực, ứng dụng vào giải quyết các 
bài toán thực tế.
 Tóm lại tính thực tiễn của toán học thể hiện qua ứng dụng của toán học và 
thực tiễn đời sống. Điều này không những chỉ để nâng cao kiến thức của học 
sinh mà còn nhằm thực hiện nguyên lý giáo dục học đi đôi với hành, lý thuyết 
gắn liền với thực tiễn, nhà trường gắn liền với xã hội. Điều đó nói lên vai trò 
toán học được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa 
học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, văn học 
 Trong năm học vừa qua, với tinh thần đổi mới, tác giả đã ứng dụng tìm 
kiếm, thao khảo từ nhiều nguồn tư liệu khác nhau, thí điểm xây dựng các ứng 
dụng toán học để phục vụ giảng dạy cũng như đã tập hợp được một số tình 
huống. Phần tiếp sau sẽ trình bày những kết quả đạt được trong quá trình nghiên 
cứu, tìm kiếm và sáng tạo của bản thân tác giả.
 4 Và đồng thời ta cũng có được cạnh của tấm nhôm còn lại là b 2x 0. 
Đến đây ta cần thiết lập công thức tính thể tích khối hộp V x a 2x b 2x 
 Bài toán trở thành tìm maxV x 
 a 
 x 0; 
 2 
 Lời giải
 a
 Gọi x là cạnh của hình vuông cắt đi, ta phải có điều kiện 0 x .
 2
 Khi đó thể tích khối hộp là:
 V x a 2x b 2x 4x3 2 a b x2 abx V x 
 Bài toán trở thành tìm maxV x 
 a 
 x 0; 
 2 
 Ta có V ' x 12x2 4 a b x ab 
 ' 4 a b 2 12ab 4 a2 ab b2 0,a,b. 
 Do đó V ' 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt:
 a b a2 ab b2 a b a2 ab b2
 x x 
 1 6 2 6
 a b
 x x 0
 1 2 3
 Theo định lý Vi-et, ta có: 0 x1 x2. 
 ab
 x x 0
 1 2 12
 a 2 a
 Hơn nữa, ta có V ' a ab a a b 0. Do đó 0 x1 x2. 
 2 2
 Bảng biến thiên
 a
 x 0 x 
 1 2
 V ' x + 0 
 max
 V x 
 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy V đạt giá trị lớn nhất khi
 a b a2 ab b2
 x x 
 1 6
 6 Phân tích:
 Trước tiên, ta có thể minh họa mô hình bằng hình vẽ. Để xác định được độ 
dài ngắn nhất của AC thì ta thử suy nghĩ xem nên phân tích độ dài AC theo 
hướng nào? Để từ đó định hướng được cách đặt ẩn phụ thích hợp. Đồi với hình 
vẽ trên và các quan hệ về cạnh, ta nhận thấy có 2 hướng phân tích tốt là: hướng 
thứ nhất là phân tích AC AB2 AC 2 và hướng thứ hai là AC AM MC
 Nếu phân tích theo hướng thứ nhất, ta có thể thử đặt HC x 0, đến đây 
chỉ cần tính được AB theo x là đã có thể lập được hàm số f x biểu diễn độ 
dài AC. Ta sử dụng đến quan hệ tỷ lệ trong định lý Thales thuận (MH // AB) nên 
 HC MH x
ta có . Bài toán trở thành tìm min f x ?
 BC AB x 0,5
 Nếu phân tích theo hướng thứ hai, nếu ta đặt HC x 0, thì khi đó ta sẽ 
biểu diễn độ dài AC P x Q x (việc khảo sát hàm số này rất phức tạp). 
Do đó ta chuyến hướng qua tìm quan hệ giữa góc và cạnh tam giác và nhận 
thấy M· CH ·AMK. Đến đây ta thấy hướng phân tích tiếp là hoàn toàn 
thuận lợi vì khi đó MC MH.sin và AM MK.cos . Khi đó bài toán trở 
thành tìm min g ? 
 Lời giải
 Đặt HC x 0 BC x 0,5. Theo định lý Thales ta có:
 HC MH x 4 x 0,5 
 AB 
 BC AB x 0,5 x
 2
 2 2 2 16 x 0,5 
 Do ABC vuông tại B AC AB BC 
 x2
 8 Lập bảng biến thiên suy ra ACmin min g x g x0 5,5902 m 
 0; 
 2 
 Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý:
 Một là, quả thật dù giải theo cách nào, ta cũng gặp phải một số khó khăn 
nhất định khi giải tìm nghiệm của phương trình f ' x 0 hay g ' x 0. 
 Hai là, ngoài việc sử dụng "ứng dụng đạo hàm" để tìm GTLN – GTNN của 
hàm số này, ta cũng có thể vận dụng bất đẳng thức. Giả sử đặt 
 1 
 AB b,BC a, a ;b 0 
 2 
 x y
 Dùng hệ trục Bxy BC  Bx,BA  By . Ta có AC : 1 
 a b
 1 1 4
 Khi đó M ;4 AC 1 
 2 2a b
 1 4
 Bài toán trở thành tìm min AC 2 min a2 b2 thỏa mãn 1
 2a b
 65
 x4 x3 x2 16x 4
 4 2 16 4 65
 Ba là, ta có: f x 2 x x 2 
 x x x 4
 2 8 8 x x 4 65
 f x x 2 
 xx 2 2 x 4
 3 3 82 3
 65 125
 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: f x 3.4 3 
 4 4
 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x 2. 
 Bài tập tương tự: Tìm chiều dài L bé nhất của cái thang để có thể tựa vào 
tường và mặt đất, ngang qua cột đỡ có chiều cao 3 3 m và cách tường 1 m 
kể từ tim cột đỡ.
 10