Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng của tỉ số thể tích

 Sáng kiến kinh nghiệm – Ứng dụng của tỉ số thể tích
 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 --------- *** ---------
 Trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng những năm gần đây, câu hình 
học không gian luôn là câu khó đối với đa số thí sinh, phần lớn các em đã quên các 
kiến thức hình học không gian ở chương trình hình học lớp 11. Do đó, việc học 
hình học không gian ở lớp 12, đặc biệt là vấn đề tính thể tích khối đa diện, học sinh 
tỏ ra rất lúng túng. Trước tình hình đó cùng với quá trình giảng dạy và nghiên cứu, 
tôi đã thử giải các bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp tỉ số thể 
tích thấy rất có hiệu quả và cho được lời giải ngắn gọn rất nhiều; hơn nữa học sinh 
chỉ cần những kiến thức cơ bản về hình học không gian ở lớp 11 là có thể làm được
 Trước kì thi Đại học – Cao đẳng đến gần, với mong muốn có thể cung cấp cho 
các em học sinh thêm một phương pháp để tính thể tích của các khối đa diện, tôi 
nghiên cứu và viết đề tài: “ Ứng dụng của tỉ số thể tích ”. 
 Xin chân thành cảm ơn!
 Quảng Ngãi tháng 10 năm 2010
 Người thực hiện đề tài
 Huỳnh Đoàn Thuần
GV: Huúnh §oµn ThuÇn Trang 1 Sáng kiến kinh nghiệm – Ứng dụng của tỉ số thể tích
 V SA' A' A
 A'.ABC 1 
 VS.ABC SA SA
 V A' A
 Vậy: A'.ABC (2)
 VS.ABC SA
 Tổng quát hoá công thức (2) ta có bài toán sau đây:
 Bài toán 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy là 1 đa giác lồi A1A2An ( n 3) , trên 
đoạn thẳng SA1 lấy điểm A1’ không trùng với A1. Khi đó ta có
 V A ' A
 A1 '.A1A2 ...An 1 1 (2’)
 V SA
 S.A1A2 ...An 1
 Chứng minh (2’) bằng phương pháp quy nạp theo n; ta chia khối chóp 
S.A1A2An thành các khối chóp tam giác rồi áp dụng công thức (2)
 II/ Các dạng toán:
 Dựa vào hai bài toán cơ bản ở trên, ta sẽ xét một số bài toán tính tỉ số thể tích 
của các khối đa diện và một số ứng dụng của nó
 DẠNG1: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN
 Ví dụ1: 
 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M là trung điểm 
của CD và I là giao điểm của AC và BM. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp 
S.ICM và S.ABCD S
 Giải:
 Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là 
trọng tâm của tam giác BCD, do đó
 1 1 1 1 1 1
 VISCM VB.SCM . .VD.SBC . . VS.ABCD A
 3 3 2 3 2 2 D
 V 1 O
 Vậy ISCM M
 VS.ABCD 12 I
 Ví dụ2: B C
 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là 
hình bình hành. Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm S
của SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. 
Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp được chia bởi 
 C ' D'
mp(AB’D’) B'
 I
 Giải: O '
 Gọi O là giao điểm của AC và BD và I là giao D
 A
điểm của SO và B’D’. Khi đó AI cắt SC tại C’ O
Ta có B C
GV: Huúnh §oµn ThuÇn Trang 3 Sáng kiến kinh nghiệm – Ứng dụng của tỉ số thể tích
 1 1
 V V V V V
 S.BCNM S.BCM S.CNM 2 S.BCA 4 S.CAD
 a3 2a3 a3
 2.3 4.3 3
 Ghi chú: 
 1
 1/ Việc tính thể tích khối S.BCNM trực tiếp theo công thức V B.h gặp nhiều 
 3
khó khăn, nhưng nếu dùng tỉ số thể tích, ta chuyển việc tính thể tích khối S.BCNM 
về tính VSBCA và VSCAD dễ dàng hơn rất nhiều
 2/ Khi dạy học có thể yêu cầu học sinh tính thể tích khối đa diện ABCDMN
 Ví dụ2: (ĐH khối A – 2007 )
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là 
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là 
trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a
 Giải:
 Ta có S
 VCMNP CN CP 1
 . (a) M
 VCMBD CB CD 4
 V V MB 1
 CMBD M .BCD (b) A
 VCSBD VS.BCD SB 2 B
 Lấy (a) x (b) vế theo vế ta được H N
 V 1 1
 CMNP V .V
 CMNP S.BCD C
 VS.BCD 8 8 D P
 Gọi H là trung điểm của AD ta có SH  AD mà 
 (SAD)  (ABCD) nên SH  (ABCD). 
 1 1 a 3 1 a3 3
 Do đó V .SH.S . . a2 
 S.BCD 3 BCD 3 2 2 12
 a3 3
 Vậy: V (đvtt)
 CMNP 96
 D
 Ví dụ3: (ĐH khối D – 2006 )
 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều 
cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần 2a N
lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng 
SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a
 M a
 Giải: A C
 V SM SN
 Ta có SAMN . a a
 VSABC SB SC
 B
GV: Huúnh §oµn ThuÇn Trang 5 Sáng kiến kinh nghiệm – Ứng dụng của tỉ số thể tích
góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn thẳng AC sao cho 
AH = AC . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh rằng M là trung 
 4
điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
 Giải:
 a 2 a 14 3a 2
 Từ giả thiết ta tính được AH , SH ,CH , SC a 2 SC AC . 
 4 4 4
Do đó tam giác SAC cân tại C nên M là trung điểm của SA.
 VS.MBC SM 1 1
 Ta có VS.MBC VS.ABC
 VS.ABC SA 2 2
 1 1 a2 a 14 a3 14
 V .SH.S . . (đvtt)
 S.ABC 3 ABC 6 2 4 48
 * Bài tập tham khảo:
 Bài1: Cho khối tứ diện ABCD có ·ABC B· AD 900 ,C· AD 1200 , 
 AB a, AC 2a, AD 3a . Tính thể tích tứ diện ABCD.
 a3 2
 ĐS: V 
 ABCD 2
 Bài2: Cho khối chóp S.ABCD dấy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc 
với đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và 
SD. Mp(AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a
 16a3
 ĐS: V 
 S.A' B 'C ' D ' 45
 Bài3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng. Gọi M, 
P lần lượt là trung điểm của SA và SC, mp(DMP) cắt SB tại N. Tính theo a thể tích 
khối chóp S.DMNP
 a3 2
 ĐS: V 
 S.DMNP 36
 Bài4: (ĐH khối B – 2010)
 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt 
phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60 0. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể 
tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.
 3a3 3 7a
 ĐS: V và R 
 ABC.A'B'C ' 8 12
 DẠNG3: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH KHOẢNG CÁCH
 Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng khó khăn nhất là xác 
định chân đường cao. Khó khăn này có thể được khắc phục nếu ta tính khoảng cách 
GV: Huúnh §oµn ThuÇn Trang 7 Sáng kiến kinh nghiệm – Ứng dụng của tỉ số thể tích
 Gọi E là trung điểm của BB’,ta có EM//CB’
 Suy ra B’C //(AME) nên
 d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME))
 V MC 1
 Ta có C.AEM 
 VC.AEB CB 2
 1 1 1 a2 a 2 a3 2
 V V . . . A' C'
 C.AEM 2 EACB 2 3 2 2 24
 3V
 Ta có d(C,(AME)) C.AEM B'
 S AEM
 a 2
 Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AE, 
ta có BH  AE E
 Hơn nữa BM  (ABE) BM  AE , nên ta H
được AE  HM
 A a
 a 6 a C
 Mà AE = , ABE vuông tại B nên M
 2 B
 1 1 1 3 a 3
 BH 
 BH 2 AB2 EB2 a2 3
 a2 a2 a 21
 BHM vuông tại B nên MH 
 4 3 6
 1 1 a 6 a 21 a2 14
 Do đó S AE.HM . . 
 AEM 2 2 2 6 8
 3a3 2 a 7
 Vậy: d(C,(AME)) 
 a2 14 7
 24.
 8
 Ghi chú: Có thể áp dụng công thức Hê – rông để tính S AEM 
 Ví dụ4: 
 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông 
tại A, AB = a, AC a 3 và hình chiếu vuông góc 
 B'
của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm C'
của BC. Tính khoảng cách Từ A đến mp(BCC’B’)
 Giải: A'
 Theo giả thiết ta có A’H  (ABC). 2a
 Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến 
 1
nên AH = BC = a. A' AH vuông tại H nên ta có 
 2 B C
 K H
 A'H A' A2 AH 2 a 3 a
 a 3
 A
GV: Huúnh §oµn ThuÇn Trang 9 Sáng kiến kinh nghiệm – Ứng dụng của tỉ số thể tích
 3VABCD 2
 ĐS: h1 h2 h3 h4 a
 S ACB 3
 Bài5:
 Cho tứ diện ABCD và điểm M ở miền trong của tứ diện. Gọi r 1, r2, r3, r4 lần 
lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) của tứ diện. 
Gọi h1, h2, h3, h4 lần lượt là khoảng cách từ các đỉnh A, B, C, D đến các mặt đối 
 r r r r
diện của tứ diện. CMR: 1 2 3 4 1
 h1 h2 h3 h4
 DẠNG4: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
 Việc tính diện tích đa giác phẳng được quy về việc tính diện tích tam giác theo 
 1
công thức S ah, trong đó h – chiều cao và a là độ dài cạnh đáy.
 2
 Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, đặc biệt là việc tính diện tích của các đa 
giác phẳng trong không gian, tính trực tiếp theo công thức gặp nhiều khó khăn. Khi 
đó có thể tính diện tính đa giác thông qua thể tích của các khối đa diện. Sau đây là 
một số ví dụ minh hoạ
 Ví dụ1: (ĐH khối A – 2002)
 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, 
N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính diện tíchA tam giác AMN theo a, biết 
rằng (AMN)  (SBC)
 Giải: S
 Gọi K là trung điểm của BC và I là trung 
 V SM SN 1 N
điểm của MN. Ta có S.AMN . (1)
 VS.ABC SB SC 4 I
 Từ (AMN)  (SBC) 
 M C
 và AI  MN (do AMN cân tại A )
 nên AI  (SBC) AI  SI A
 Mặt khác, MN  SI do đó SI  (AMN) O K
 SI.S 1 1 SO
Từ (1) AMN S .S (O 
 SO.S 4 AMN 4 SI ABC
 ABC B
là trọng tâm của tam giác ABC)
 Ta có ASK cân tại A (vì AI vừa là đường cao vừa là trung tuyến) nên 
 a 3 a 15
AK = AS = SO SA2 OA2 
 2 6
GV: Huúnh §oµn ThuÇn Trang 11