Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng phép dời hình để giải Toán

 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
VẬN DỤNG PHÉP DỜI HÌNH 
 ĐỂ GIẢI TOÁN 
 Phần nội dung : 
 A. Định nghĩa và các tính chất của phép dời hình: 
 I. Định nghĩa: 
 Phép dời hình là một quy tắc để với mỗi điểm M có thể xác định được một 
điểm M' ( gọi là tương ứng với M )sao cho với hai điểm M', N' tương ứng với 
M,N thì : M'N' = MN. 
 II. Tính chất : 
 1. Phép dời hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điẻm bất kỳ. 
 2. Phép dời hình biến 3 điểm A,B,C thẳng hàng với B nằm giữa A,C thành 3 
điểm A',B',C' thẳng hàng với B' nằm giữa A',C'.3. Phép dời hình biến một đường 
thẳng thành một đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến một doạn thănghr 
thành một đoạn thẳng bằng nó. 
 4. Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giácbằng nó, biến một 
góc thành một góc bằng nó, biến một đường tròn thành mmột đường tròn bằng 
nó,với tâm đường tròn này biến thành tâm đường tròn kia. 
 5. Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình 
 Mở rộng: 
 Tích của n phép dời hình là một phép dời hình. 
 B. áp dụng một số phép dời hình để giải toán: 
 I. Phép đối xứng trục: 
 1. Định nghĩa: 
 Phép đặt tương ứng mỗi điểm M một điểm M' đối xứng M qua đường thẳng 
d gọi là phép đối xứng trục. 
 d : trục đối xứng 
 Kí hiệu : Đd(M) = M' 
 * Chú ý: cho Đd 
 - Nếu M Î d thì M' º M 
 - Đd Hoàn toàn xác định khi biết d 
 - Đường thắng a vuông góc với d sẽ biến thành chính nó 
 2. Bài tập áp dụng: 
 Chứng minh: 
 CV DABC = AB + BC +CA 
 =A1B + BC + CA2 = A1A2 
 "B1Î Ox , C1Î Oy 
 B1¹ B , C1¹ C 
 CV DAB1C1 = A1B1 + B1C1 + C1A2 > A1A2. 
 Bài số 4: 
 Cho hai đường tròn (Q),(Q') và một đường thẳng d . Xác định hình vuông 
ABCD có A,C lần lượt nằm trên (Q), (Q'), còn B,D nằm trên d? 
 Lời giải: 
 * Phân tích: Giả sử ta đã dựng được hình vuông ABCD thoả mãn đề bài. 
 Suy ra:ĐBD(A) = C ; mà A Î (Q) nên C Î (Q1) là ảnh của (Q) qua ĐBD . 
Suy ra : {C} = (Q1) Ç (Q'). 
 Từ đó suy ra cách xác định hình vuông ABCD thoả mãn điều kiện đề bài 
như sau: Đd(Q) = (Q1) 
 ®{C} = (Q1) Ç (Q') ; Đd(C) = A 
 Giả sử AC Ç d = {I} ; trên d lấy B,D sao cho IB = ID = IA =IC 
 Khi đó ta xác định được hình vuông ABCD . 
 * Biện luận: 
 - Nếu (Q1)Ç (Q') {C; C'}® Bài toán có 2 nghiệm. 
 - Nếu (Q1) Ç (Q') = {C}® Bài toán có một nghiệm. 
 - Nếu (Q1) Ç (Q') =f ® Bài toán vô nghiệm. 
 Bài số 5: 
 Cho DABC và một điểm P nằm trong tam giác. Dựng D cân đỉnh P có đáy 
song song với BC và có 2 đỉnh làn lượt thuộc AB,AC của DABc. 
 Lời giải: 
 * Phân tích: Giả sử đã 
 dựng được DPBC thoả mãn 
 điều kiện đề baì . Thế thì : 
 với IB = IC ta có PI ^ BC 
 Do đó: ĐPI(B1) = C1 
 Mà B1Î AB nên C1Î A'B' 
 là ảnh của AB qua ĐPI. 
 Suy ra: {C1} = A'B'Ç AC. 
 * Cách xác định: 
 Vì BC // B1C1 nên kẻ đường thẳng qua P, vuông với BC (giả sử đường 
 Vậy ta có cách xác định 
 đường thẳng qua A cắt 
 Ox, Oy lần lượt tại B,C 
 sao cho AB = AC : 
 ĐA(Ox) = x' 
 Khi đó x'Ç Oy = {C} 
 ĐA(C) = B Î Ox 
 Vậy đường thẳng cần tìm là BC. 
 Bài số 2: 
 Cho hai đường tròn đồng tâm O, có bán kính lần lượt là R, r (R>r ). Hãy xác 
định đường thẳng qua điểm A nằm trên (O;r), cắt đường tròn (O;r) tại B, cắt 
(O;R) tại C,D sao cho : CD = 3AB 
 Lời giải: 
 * Phân tích: 
 Theo g/t: CD = 3AB 
 ® AB = BC = AD. 
 ® Alà trung điểm của BD 
 Khi đó : ĐA(B) = D 
 Mà B Î (O;r) nên D Î (O';r) 
 là ảnh của (O;r) qua ĐA 
 * Cách xác định: 
 Lấy bất kì A Î (;r) 
 ĐA(O;r) = (O';r) 
 Khi đó : (O;r) Ç (O;R) = {D} 
 DA Ç (O;r) = {B} ; DA Ç (O;R) = {C} 
 Vậy đường thẳng cần tìm là DC thoả mãn ĐK đề bài. 
 * Biện luận: 
 Do r < R , mà AÎ (O;r) nên (O;r) Ç (O';r) ={D,D'} 
 Suy ra bào toán có 2 nghiệm hình. 
 Bái số 3: 
 Xác định hình bình hành ABCD , cho biết 2 đỉnh A,C, còn 2 đỉnh B,D nằm 
trên (O;R) cho trước? 
 Lời giải: 
 * Phân tích: 
 vì ABCD là HBH nên 
 AC Ç BD = {I} với I 
 1. Định nghĩa: 
 Phép đặt tương ứng với mỗi điểm M, mộtđiểm M' sao cho : 
MM' = v ¹ O cho trước Þ Phép tịnh tiến theo v . 
 v : Véc tơ tịnh tiến 
Kí hiệu : Tv (M) = M' 
 * Chú ý : 
 - đường thẳng song song với véc tơ tịnh tiến sẽ biến thành chính nó 
 - Tv hoàn toàn xác định khi biết v . 
 2. Bài toán áp dụng: 
 Bài số 1: 
 Cho 2 đường thẳng cắt nhau d và d' , 2điểm A,B không thuộc d,d' . Tìm M 
Îd; M' Î d' sao cho ABMM' là hình bình hành ? 
 Lời giải: 
 * Nhận xét: 
 Vì MM' = BA 
 nên T BA : M ® M'. 
 Mà M Î d , nên M' Î d'' 
 là ảnh của d qua TBA . 
 vậy {M'} = d' Ç d'' . 
 Do đó ta có cách xác định M,M' : 
 TBA : d ® d'' ; d'' Ç d' = {M'} ; 
 TAB (M') = M Î d. 
 Vậy M,M' là 2 diểm cần tìm thoả mãn điều kiện ABMM' là HBH. 
 Bài số 2: 
 Cho (O;R) và điểm M Î (O). Cho đoạn AB trong đó A,B không nằm trên 
đường tròn cho trước . Tìm tập hợp các điểm M' là đỉnh còn lại của hình bình 
hành ABMM' khi m thuộc đường tròn cho trước. 
 Lời giải: 
 Vì ABMM' là HBH nên MM' = BA ® TBA (M) = M' 
 Mà M Î (O) nên M' Î (O') là ảnh của (O) qua TBA. 
 Vậy {M'} là (O') với (O') là ảnh của (O) qua TBA . 
 Vẽ Hình 
 Bài số 3 : 
 Cho DABC . Tìm điểm M bên cạnh AB và N bên cạnh AC sao cho MN // 
BC và AM = CN. 
 B C 
 Kẻ đường kính BD, 
 vì AH ^ BC , DC ^ BC ® AH // DC (1) 
 Tương tự : CH ^ AB , DA ^ AB ® CH // DA (2) 
 Từ (1), (2) ® ABCD là hình bình hành 
AH = DC mà DC cố định nên: 
TDC (A) = H 
 Mà A Î (O;R) nên H Î (O';R) là ảnh của (O;R) qua TDC. 
 Vậy quỹ tích trực tâm H của DABC là (O';R) . 
 Bài số 2: 
 Cho DABC trên AB, AC dựng ra phía ngoài các hình vuông ABMN và 
ACPQ. 
 a) C/M : NC ^ BQ ; BQ = NC 
 b) Gọi Mlà trung điểm của BC . C/M : AM ^ QN. 
 Lời giải: 
 a) Ta có: 
 90 
 QA (N) = B 
 90 
 QA (C) = Q 
 Þ NC biến thành BQ 
 90
 Qua QA 
 Vậy : NC ^ BQ 
 NC = BQ 
 b) ĐA(B) = (B1) 
 90
 QA (C; B1) = (Q; N) 
 Do đó : CB1 ^ QN. 
 Mà AN là đường trung bình của tam giác CBB1 nên AM // CB 
 Do đó : AM ^ QN. 
 Bài số 3: 
 Cho Mdi chuyển trên nửa đường tròn (O;AB) . dựng ra ngoài DAMB một 
hình vuông MBCD. 
 a) Tìm quỹ tích đỉnh C khi M vạch ra nửa đường tròn nói trên. 
 b) Trên tia Bx vuông góc với AB tai B và nằm cùng phía với nửa đường 
tròn, lấy O' sao cho: BO' = BO ; C/M OM ^ O'C. 
 Lời giải: 
 -90
 a) Ta có : QB (M) = C 
 mà M di chuyển 
 trên (O;AB) nên C 
 di chuyển trên (O1;A'B') 
 (A'B' = AB) sao cho : 
 (O1) là ảnh của (O) 
 -90
 qua QB (theo gt O1 º O') 
 -90 
 b) Vì QB {O;M} = {O';C'} nên OM ^ O'C , 
 (ta còn suy ra OM = O'C) 
 C. Kết luận: 
 Do điều kiện có hạn, nên đề tài này chỉ nhằm mục đích hệ thống hoá một số 
phép dời hình cơ bản. Qua đó đưa ra cho mỗi phần một số bài toán nhằm củng cố 
kỹ năng vận dụng, thực hành . 
 Cuối cùng rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến xây dựng của quý bạn 
đọc và đồng nghiệp. 
 Cảm Nhân , tháng 04 năm 2009. 
 Người viết đề tài 
 Lê Viết Hiến