Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng tính chất của tứ diện vuông để giải lớp các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 11

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 6
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TỨ DIỆN VUÔNG ĐỂ 
 GIẢI LỚP CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH 
 TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11
 Người thực hiện: Nguyễn Thị An
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
 THANHMỤC HÓA LỤC NĂM 2017
 1 I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
 Hình học không gian (HHKG) là một nội dung quan trọng trong chương 
trình toán học phổ thông, nó đóng vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và 
phát triển năng lực tư duy cho học sinh. Chính vì vậy HHKG thường có mặt 
trong các kỳ thi đánh giá năng lực của học sinh và đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc 
Gia.
 HHKG nói chung và các bài toán tính khoảng cách nói riêng là một nội 
dung khó đối với đa số học sinh nói chung và đặc biệt là các em học sinh trường 
THPT Triệu Sơn 6 nói riêng.
 Tiếp nối SKKN của năm học 2015 - 2016, trên cơ sở đã đạt được những 
kết quả nhất định trong những năm học vừa qua với kinh nghiệm từ thực tiễn 
giảng dạy và học hỏi đồng nghiệp tôi mạnh dạn chọn và tiếp tục phát huy đề tài 
"Vận dụng tính chất của tứ diện vuông để giải lớp các bài toán tính khoảng 
cách trong hình học không gian lớp 11" làm đề tài SKKN của năm học 2016 - 
2017.
 Điểm mới trong đề tài SKKN lần này là: Đề xuất áp dụng tính chất của tứ 
diện vuông để tính một lớp các bài toán về khoảng cách, một số kinh nghiệm 
xác định và dựng tứ diện vuông một cách đơn giản và đặc biệt là một hệ thống 
các ví dụ, các bài tập có chọn lọc. Với mục đích chia sẻ bớt những khó khăn với 
các học trò. Rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp, sẻ chia của các thầy cô, 
các bạn đồng nghiệp và độc giả để đề tài áp dụng có hiệu quả trong việc dạy và 
học về bài toán khoảng cách trong HHKG lớp 11. 
2. Mục đích nghiên cứu
 Trong giới hạn của một sáng kiến kinh nghiệm tôi xin đề xuất áp dụng 
tính chất của tứ diện vuông để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt 
phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, trình bày một số kinh 
nghiệm của mình được đúc kết trong quá trình giảng dạy cho học sinh trong việc 
xác định và dựng tứ diện vuông đảm bảo tính đơn giản trong tư duy thuật giải và 
dễ áp dụng trong tính toán.
 Tôi không có tham vọng giúp học sinh giải được tất cả các bài toán về 
tính khoảng cách mà chỉ mong muốn trang bị thêm cho các em một cách nhìn, 
một phương pháp, một hướng tư duy... từ đó để các em có thể tự tin hơn khi tiếp 
cận các bài toán về tính khoảng cách. Hy vọng đây là một tài liệu hữu ích cho 
các em học tập và các thầy cô tham khảo. 
3. Đối tượng nghiên cứu
 Bài toán tính khoảng cách là một trong những bài toán quan trọng trong 
chương trình hình học không gian lớp 11. Bản chất của đa số các bài toán tính 
khoảng cách lại là bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và 
 3 thức rất nhiều nên với khoảng thời gian trên nếu giáo viên không biết cách tổng 
hợp, khái quát bản chất của các dạng toán thì sẽ lan man gây ra hiện tượng " rối 
kiến thức " cho học sinh.
 Thực tế đa số học sinh yếu kém và trung bình thường sợ các bài toán 
hình, đặc biệt là hình học không gian và đặc biệt nữa là các bài toán về tính 
khoảng cách.
 Mặt khác không ít các thầy cô khi dạy về HHKG và đặc biệt là các bài 
toán về tính khoảng cách còn sử dụng phương pháp truyền thống tức là thuyết 
trình, giảng giải... mà ít quan tâm đến việc tìm tòi phương pháp mới ngắn gọn, 
dễ hiểu và mối quan hệ giữa các bài toán...
 Trong quá trình giảng dạy, qua các tiết dự giờ, qua trao đổi chuyên môn 
tôi thấy rất ít các thầy cô vận dụng tính chất của tứ diện vuông vào giải các bài 
toán tính khoảng cách.
 Rất nhiều bài toán về HHKG lớp 11 khi giải bằng phương pháp hình học 
tổng hợp thì tương đối phức tạp, gây nhiều khó khăn cho học sinh khi phải vẽ 
thêm đường và có nhiều phép toán phức tạp. Tuy nhiên khi vận dụng kết quả 
của tứ diện vuông thì lời giải của bài toán trở nên ngắn gọn, đẹp, tạo hứng thú 
cho học sinh và đặc biệt phù hợp với tinh thần đổi mới thi như hiện nay. Đặc 
biệt bài toán tính khoảng cách trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia nếu 
áp dụng kết quả của tứ diện vuông sẽ rất đơn giản và dễ hiểu cho học sinh.
3. Giải pháp tổ chức thực hiện 
3.1 Tóm tắt các kiến thức cơ bản
a) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
 - Trong không gian cho mặt phẳng (P) và một điểm M, gọi H là hình 
chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P). Khi đó khoảng cách từ điểm M 
đến mặt phẳng (P) là độ dài đoạn MH 1 . 
 - Ký hiệu: d(M,(P)) = MH M.
 H .
 P
b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
 - Trong không gian cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) song song với 
nhau. Khi đó khoảng cách giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) là khoảng 
cách từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng (d) đến mặt phẳng (P) 1.
 - Ký hiệu: d((d),(P)) = d(M,(P))
 5 e) Tính chất: Cho mặt phẳng (P) và hai điểm A, B. Nếu I là giao điểm của 
 d A, P AI
đường thẳng AB và mặt phẳng (P). Khi đó: A.
 d B, P BI
 AI
Hay: d(A,(P)) d(B,(P)) (3*)
 BI B.
 I .
 P
3.2 Các ví dụ mở đầu
Ví dụ 1(Trích đề thi khối A và khối A1 năm 2014).
 3a
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD , 
 2
hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. 
Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) 2 .
Cách giải 1 (cách giải thông thường) S
 - Gọi H là trung điểm của AB, suy 
ra SH (ABCD). Do đó SH HD.
 - Ta có
 SH SD2 HA2 AD2 a .
 E
 B
 - Gọi K là hình chiếu vuông góc C
của H trên BD và E là hình chiếu vuông K
góc của H lên SK. H
 - Ta có BD HK và BD SH, nên 
BD (SHK). A
 - Suy ra BD HE mà HE SK, do D
đó: HE (SBD).
 a 2 HS.HK a
 - Ta có HK HB.sin K· BH , suy ra HE 
 4 HS 2 HK 2 3
 2a
 - Do đó: d(A, (SBD)) = 2d(H, (SBD)) = 2HE = 2 .
 3
Cách giải 2 (Áp dụng tính chất của tứ diện vuông)
 - Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH  (ABCD). Do đó SH  HD, Khi 
đó: SH SD2 HA2 AD2 a .
 - Gọi O là trung điểm của BD, khi đó O là tâm của hình vuông ABCD. 
Suy ra HB, HO, HS đôi một vuông góc tại H nên tứ diện HSBO là tứ diện vuông 
 7 S
 - Do tứ diện ASBE là tứ diện vuông 
đỉnh A nên:
 1 1 1 1 5 a 10
 2 2 2 2 2 d 
 d AB AE AS 2a 5 E A
 a 10 D
 - KL: d(AC,SB) = 
 5
 B C
Nhận xét: Vậy qua hai ví dụ đại diện cho hai dạng bài và mỗi bài hai cách giải 
khác nhau như trên ta thấy được
 10) Đối với các em học sinh có học lực trung bình và yếu thì cách giải 1 
có một số khó khăn sau:
 - Dựng thêm nhiều đường phụ và chứng minh đường vuông góc với 
mặt để khẳng định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Thao tác này 
rất tốt đối với các em học sinh khá giỏi nhưng đối với đa số học sinh thuộc diện 
trung bình và yếu đặc biệt là các em học sinh trường THPT Triệu Sơn 6 nơi tôi 
công tác thì thao tác trên gây rất nhiều khó khăn.
 - Tính toán quá nhiều bước, nhiều thao tác và chính từ nhiều thao 
tác tư duy, học sinh dễ nhầm lẫn, khó tiếp thuvà gặp nhiều khó khăn khi giải 
các bài tương tự.
 - Từ những khó khăn ban đầu đó mà nhiều em đã vấp ngã ngay từ 
những thao tác đầu tiên.
 20) Đối với cách giải 2 có hai bước rõ rệt đó là: Xác định và tạo một tứ 
diện vuông (thông thường đỉnh của tứ diện vuông là hình chiếu của đỉnh lên 
mặt đáy hoặc đỉnh góc vuông...) và chuyển khoảng cách cần tính về khoảng 
cách từ đỉnh của tứ diện vuông tới mặt đối diện.
 30) Ta có thể áp dụng cách giải 2 cho nhiều bài toán tính khoảng cách từ 
một điểm đến một mặt phẳng hoặc khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo 
nhau. Tư duy mạch lạc, hình vẽ đơn giản, kết quả quen thuộc dễ nhớ và dễ 
vận dụng và đặc biệt hiệu quả với hình thức thi trắc nghiệm đó là những điểm 
mạnh của cách giải 2 mà ta sẽ áp dụng trong SKKN này.
 Do khuôn khổ của SKKN nên tôi chỉ lựa chọn hai bài toán khoảng cách 
tiêu biểu cho phương pháp trên và trong mỗi bài toán tôi không nêu hai cách giải 
như trên để so sánh mà ở mỗi dạng bài toán tôi xây dựng hệ thống ví dụ từ đơn 
giản đến phức tạp để học sinh tự khám phá, phát hiện ra phương pháp giải nhằm 
phát triển năng lực tư duy cho học sinh.
3.3 Các bài toán về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
 - Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là bài toán 
rất quan trọng trong các bài toán tính khoảng cách, vì nếu các em hiểu và vận 
 9 Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, 
có BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA = a 2 và SA vuông góc với mặt đáy 
(ABCD). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Tính theo a
 a) d(A,(SBD)) b) d(A,(SCD)) c) d(H,(SCD)) 3
GV: 1 0) Trên hình vẽ dưới đây từ điểm nào ta có thể dựng được các tứ diện 
vuông một cách đơn giản nhất.
 20) Giải bài toán trên bằng cách áp dụng kết quả của tứ diện vuông.
 a) - Xét tứ diện vuông ASBD đỉnh A, ta đặt: d(A,(SBD)) = d. Khi đó:
 1 1 1 1 7 2a
 d 
 d 2 AS2 AB2 AD2 4a2 7
 S
 2a 7
 - Suy ra: d(A,(SBD)) . 
 7
 b)- Gọi M là giao điểm của AB 
với CD. Khi đó tứ diện ASDM là tứ diện 
 K
vuông đỉnh A, ta đặt: d(A,(SCD)) = d. H
 D
Khi đó: A
 B
 1 1 1 1 1 C
 d a
 d 2 AS2 AM 2 AD2 a2
 M
 - Suy ra: d(A,(SCD)) a
 c)- Gọi K là giao điểm của AH với SM, mà B là trung điểm của AM. Mặt 
 BH BH.BS BA2 1
khác: . Suy ra H là trọng tâm của tam giác SAM.
 BS BS 2 BS 2 3
 d(H,(SCD)) HK 1 1 a
 - Mà: d(H,(SCD)) d(A,(SCD)) 
 d(A,(SCD)) AK 3 3 3
 a
 - KL: d( H,(SCD)) = 
 3
GV: 10) Trong bài toán trên ta thấy điểm A có một vị trí quan trọng trong các 
bài toán tính khoảng cách.
 20) Nhiều bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt nào đó ta 
thường đưa về tính khoảng cách từ điểm A đến mặt đó.
 30) Tương tự học sinh tự lấy một điểm và áp dụng tính khoảng cách...
 40) Qua hai ví dụ trên điểm H trong ví dụ 1 và điểm A trong ví dụ 2 đều là 
hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt đáy và hai điểm H và A khá "lộ". 
Trong các ví dụ tiếp theo ta sẽ thấy các điểm "đặc biệt" đó sẽ được "dấu kín " 
hơn. Để rõ hơn điều đó ta nghiên tiếp ví dụ sau.
 11