Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng tương tự để giải quyết một số bài toán hình học không gian

 A. ĐẶT VẤN ĐỀ : 
 Phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh là nhiệm vụ, mục đích trong cơng 
tác giảng dạy, là mong muốn của mỗi giáo viên đối với học sinh, đặc biệt trong 
mơn tốn ở trường trung học phổ thơng. Tốn học nĩi chung, hình học nĩi riêng 
là mảnh đất màu mỡ cĩ thể khai thác để phát triển tư duy, trong đĩ tương tự hĩa 
là một trong những thao tác tư duy quan trọng cần rèn luyện.
 Tương tự hĩa được hiểu là quá trình suy nghĩ phát hiện sự giống nhau 
giữa hai đối tượng để từ những sự kiện đã biết của đối tượng này dự đốn những 
sự kiện mới chưa biết tương ứng với đối tượng kia.
 Trong mối liên hệ giữa hình học phẳng và hình học khơng gian, với cơ sở 
là mặt phẳng là một bộ phận của khơng gian ta chú trọng tách các bộ phận 
phẳng ra khỏi khơng gian bằng các hình vẽ (các phần được tách ra thường là 
thiết diện, giao tuyến.) nhằm giúp học sinh liên tưởng đến các bài tốn hình 
học phẳng để từ đĩ giải quyết được bài tốn ban đầu. Trong quá trình giảng dạy 
tơi nhận thấy học sinh rất e ngại học mơn hình học khơng gian vì các em nghĩ 
rằng nĩ rất trừu tượng, thiếu tính thực tế khách quan. Chính vì thế mà cĩ rất 
nhiều học sinh học yếu mơn học này, về phần giáo viên cũng gặp khơng ít khĩ 
khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức. Để giải bài tập hình học khơng gian một 
cách thành thạo thì một trong yếu tố quan trọng là biết kết hợp các kiến thức của 
hình học khơng gian và hình học phẳng, phải tìm ra mối liên hệ của chúng; sự 
tương tự giữa HHP và HHKG, giúp học sinh ghi nhớ lâu các kiến thức hình học, 
vận dụng tốt các kiến thức đã học. Vì vậy để giúp học sinh học tốt mơn hình học 
lớp 11 tơi đã chọn đề tài “VẬN DỤNG TƯƠNG TỰ ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT 
SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN". 
 Việc sử dụng phương pháp giải đối với một bài tốn hình học phẳng để 
giải một bài tốn hình học khơng gian tương tự và mở rộng một số bài tốn 
phẳng sang bài tốn trong khơng gian mới sẽ giúp hoạt động giảng dạy và học 
tập mơn hình học đạt hiệu quả cao hơn.
 1 Bài tốn 2: Trong mặt phẳng, chứng minh rằng độ dài cạnh dài nhất của tam 
giác là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kì nằm trên cạnh của tam giác.
Giải
 A A
 M
 N
 B C B C
 H N
 Hình 3 Hình 4
Gọi M, N là hai điểm bất kì nằm trên hai cạnh của tam giác ABC. Ta xét trường 
hợp đặc biệt:
+ Nếu M và N lần lượt trùng với hai điểm là hai đỉnh của tam giác ABC thì suy 
ra MN max{AB, BC, AC}.
+ Nếu M hoặc N trùng với một đỉnh của tam giác. Giả sử M trùng với A.
- Nếu N thuộc cạnh AB hoặc AC thì hiển nhiên.
- Nếu N thuộc BC:
Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC.
Nếu N thuộc đoạn thẳng BH MN AB.
Nếu N thuộc đoạn thẳng CH MN AC
 MN max{AB, BC, CA}
+ Nếu M và N khơng trùng với đỉnh nào của tam giác.
Giả sử M AB, N AC. Nối B với N (hình 3)
Như trên suy ra MN max{AB, BN, NA} 
 max{AB, NB, CA} max{AB, BC, CA}.
Tĩm lại ta luơn cĩ: MN max{AB, BC, CA}.
Bây giờ ta xét bài tốn tương tự bài tốn này trong khơng gian như sau:
Bài tốn 2': Trong khơng gian, chứng minh rằng cạnh dài nhất của tứ diện là 
khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kì nằm trên tứ diện. 
 Nếu bài tốn này trực tiếp giải thì đây cĩ thể nĩi là một bài tốn khá khĩ 
đối với học sinh phổ thơng. Tuy nhiên nếu ta nhìn bài tốn này ở một gĩc độ 
đơn giản hơn thì ta dễ thấy cĩ một bài tốn trong hình học phẳng tương tự với 
bài tốn này khi coi hình tứ diện trong hình học khơng gian tương tự với tam 
giác trong hình học phẳng.
 A
 M
 N
 B D
 P
 Q
 C
 Hình 5
 3 Bài tốn 3': Trong khơng gian, cho gĩc tam diện Oxyz và một điểm M nằm 
trong gĩc tam diện; (α) là một mặt phẳng qua M và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại 
A, B, C. Xác định vị trí của mặt phẳng (α) để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị 
lớn nhất.
Giải
Qua M kẻ lần lượt các đường thẳng song song với các tia Ox, Oy, Oz; cắt các 
mặt phẳng (Oyz), (Ozx), (Oxy) lần lượt tại các điểm A', B' và C' (hình 4).
Do M cố định nên các điểm A', B' và C' cố định.
 O
 B'
 A'
 C
 A R
 C'
 z
 x
 Q M
 P
 B
 y
 Hình 7
Gọi P, Q, R lần lượt là giao điểm của đường thẳng AM với OA', CM với OC', 
BM với OB'. Suy ra P BC, Q AB, R AC.
Lấy các điểm A", B", C" lần lượt đối xứng với các điểm A', B', C' qua điểm M. 
Trên các tia Ox, Oy, OZ lần lượt lấy các điểm A 0, B0, C0 sao cho: OA0 = MA", 
OB0 = MB", OC0 = MC".
 VOA'B'C' OA0 .OB0 .OC0 MA' MB' MC'
 . .
 VOABC OA.OB.OC OA OB OC
 MA' MB' MC' PM MK MQ
Mặt khác, ta cĩ 1
 OA OB OC AP BK CQ
Áp dụng bất đẳng thức Cơ si: 
 3
 MA' MB' MC' MA' MB' MC'
1= 27 . . (*)
 OA OB OC OA OB OC
Do M cố định suy ra: MA', MB', MC' khơng đổi
Từ (*) ta cĩ: OA.OB.OC 27.MA'.MB'.MC'
Suy ra: VOABC VOA'B'C'
 MA' MB' MC' MR MP MQ 1
 Min VOABC = 27.VOA'B'C' 
 OA OB OC AR BP CQ 3
 M là trọng tâm tam giác ABC.
Từ đây ta cĩ cách dựng hình của bài tốn:
Gọi là đường thẳng qua M và song song với Ox cắt mặt phẳng (Oyz) tại A'.
Gọi (α) là mặt phẳng chứa Ox và M cắt mặt phẳng (Oyz) theo đường thẳng ' 
 A '.
 5 suy nghĩ từ một bài tốn hình học phẳng rồi đề xuất một bài tốn tương tự trong 
hình học khơng gian sau đĩ tìm cách giải quyết bài tốn mới đĩ địi hỏi ở học 
sinh ngồi những kiến thức cần thiết như trên mà cịn cần ở các em cĩ khả năng 
nhìn nhận vấn đề dưới từng gĩc độ và nhiều phương diện khác nhau. Muốn thực 
hiện được điều đo trước tiên phải nắm được và hiểu được các yếu tố, mối quan 
hệ tương tự cĩ tính chất cơ bản giữa hình học phẳng và hình học khơng gian. 
Sau đĩ là sử dụng các kiến thức hình học khơng gian hoặc áp dụng tính chất 
tương tự trong lời giải của bài tốn hình học phẳng để giải bài tốn đặt ra, nhiều 
khi bài tốn đặt ra lại rất khĩ.
 Trong điều kiện giảng dạy nếu người thầy giáo khai thác được các vấn đề 
đĩ là đã tạo điều kiện thuận lợi cho sự phát triển năng lực trí tuệ đặc biệt là năng 
lực tương tự hĩa của học sinh trong khi học hình học khơng gian.
Bài tốn 5: Trong mặt phẳng, ba đường trung tuyến trong tam giác đồng quy tại 
một điểm và điểm đĩ các chân mỗi đường trung tuyến bằng 1/3 chiều dài của 
đường trung tuyến đĩ. Giao điểm ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm 
tam giác.
Đây là bài tốn cơ bản trong hình học phẳng, bây giờ ta khai thác yếu tố "đường 
trung tuyến".
Nhận xét: Nếu ta nhìn đường trung tuyến dưới gĩc độ: Đường trung tuyến là 
đường nối đỉnh của tam giác với trung điểm cạnh đối diện thì ta cĩ khái niệm 
đường trọng tuyến trong tứ diện là đường nối đỉnh của tứ diện với trọng tâm của 
mặt đối diện. Khi đĩ ta cĩ bài tốn tương tự:
Bài tốn 5': Trong khơng gian, bốn đường trọng tuyến trong một hình tứ diện 
đồng quy tại một điểm, điểm đĩ các chân mỗi đường bằng ¼ độ dài mỗi đường. 
Giao điểm của bốn đường trọng tuyến trong tứ diện gọi là trọng tâm của tứ diện.
Ta lại xem yếu tố "đường trung tuyến" của tam giác dưới gĩc độ tương tự với 
mặt "trung tuyến" của tứ diện (mặt trung tuyến của tứ diện là mặt phẳng chứa 
một cạnh và đi qua trung điểm cạnh đối diện của tứ diện). Khi đĩ ta cĩ một bài 
tốn tương tự với bài tốn 5 như sau:
Bài tốn 5": Trong khơng gian, sáu mặt trung tuyến của một tứ diện đồng quy 
tại một điểm. 
Bây giờ ta xem "đường trung tuyến" trong tam giác dưới một gĩc độ khác nữa: 
Coi nĩ tương tự với đường nối trung điểm hai cạnh đối diện trong tứ diện lúc đĩ 
ta cĩ bài tốn sau:
Bài tốn 5"': Trong khơng gian, ba đường thẳng nối trung điểm các cặp cạnh 
đối diện trong một tứ diện đồng quy tại một điểm.
Nhận xét: Vậy từ bài tốn 5 về đường trung tuyến của tam giác, theo từng gĩc 
độ ta cĩ các bài tốn tương tự 5', 5", 5"'. Bây giờ ta xét một bài tốn về đường 
cao trong tam giác.
Bài tốn 6: Trong mặt phẳng, ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một 
điểm. Điểm đĩ là trực tâm của tam giác.
Nhận xét: Nếu trong tứ diện ta gọi đường cao của tứ diện là đường thẳng đi qua 
đỉnh và vuơng gĩc với mặt đối diện của tứ diện, thì đường cao trong tam giác 
được coi là tương tự với đường cao của tứ diện. Ta cĩ bài tốn tương tự sau:
 7 Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức (1), (2), (3) ta cĩ:
 m m m OA OB OC OA OB OC
 a b c 1 1 1
 ha hb hc ha hb hc ha hb hc
 m m m 1 1 1 OA OB OC
 a b c R 1 1 1
 ha hb hc ha hb hc ha hb hc
 1 1 1 a b c a b c a b c 1
mà 
 ha hb hc 2S 2S 2S 2S (a b c).r r
 2SOBC 2SOCA 2SOAB
 OA OB OC S S S
và 1 1 1 a b c OBC OCA OAB 1
 2S 2S 2S
 ha hb hc ABC ABC ABC SABC
 a b c
 m m m R
Vậy ta cĩ: a b c 1 
 ha hb hc r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi O là trọng tâm cảu tam giác ABC ABC đều.
 Từ bài tốn trên ta suy nghĩ để tìm ra bất đẳng thức tương tự đối với tứ 
diện: để cĩ thể sử dụng bán kính mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện thì OA 1, OB1, 
OC1 trong tam giác phải tương tự với các trục của các tam giác là các mặt của tứ 
diện. Khi đĩ ta cĩ AA 1 trong tam giác phải tương tự với khoảng cách từ đỉnh 
đến tâm đường trịn ngoại tiếp mặt đối diện với đỉnh đĩ. Ta cĩ bài tốn tương tự 
như sau:
Bài tốn 7': Gọi ha, hb, hc, hd ; ma, mb, mc, md; r; R lần lượt là độ dài các đường 
cao; các đoạn thẳng nối đỉnh với tâm đường trịn ngoại tiếp mặt đối diện trong tứ 
diện; bán kính mặt cầu nội tiếp; bán kính mặt cầu ngoại tiếp tam giác nhọn 
 m m m m R
ABC. Chứng minh rằng: a b c d 1 .
 ha hb hc hd r
Giải
 A
 O
 B
 D
 A1
 C
 9 Ax By C Ax By Cz D
 d(M ,d) 0 0 d(M ,d) 0 0 0
 A2 B2 A2 B2 C 2
10 Khái niệm phương tích của 1 điểm Khái niệm phương tích của 1 điểm 
 M đối với đường trịn (I,R). M đối với một mặt cầu S(I,R)
 2 2 2 2
 PM / I ,R MI R PM /S I ,R MI R
11 Gọi a, b, c, R lần lượt là độ dài các Cho gĩc tam diện Oxyz, ba gĩc 
 cạnh BC, CA, AB và bán kính phẳng ở đỉnh là α, β, γ. Các gĩc 
 đường trịn ngoại tiếp tam giác nhị diện đối diện với các mặt đĩ là 
 sin sin  sin
 ABC ta cĩ: A, B, C. ta cĩ: 
 a b c sin A sin B sin C
 2.R 
 sin A sin B sin C cosα = cosβ.cosγ+sinβ.sinγ.sinA
 a2 = b2+c2-2bc.cosA cosA = sinB.SinC.cosα-cosB.cosC
 b2=a2+c2 – 2ca.cosB
 c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC
12 Trong tam giác, ba đường trung Trong tứ diện bốn đường trọng 
 tuyến đồng quy tại một điểm và tuyến đồng quy tại một điểm và 
 điểm này chia các đường trung điểm này chia các đường trọng 
 tuyến theo tỉ lệ 2:1. tuyến theo tỉ lệ 3:1.
 Độ dài đường trung tuyến ma đi Độ dài đường trọng tuyến đi qua 
 qua đỉnh A của tam giác ABC đỉnh A của tứ diện ABCD được 
 được xác định theo độ dài các tính theo độ dài cảu các cạnh của 
 cạnh là a, b, c của tam giác ABC tứ diện như sau:
 như sau: 3 a2 b2 c2 d 2 e2 f 2
 2 
 2 2 2 m 
 2 b c a a 9
 m2 
 a 4 trong đĩ: a, b, c là độ dài 3 cạnh 
 của tứ diện đi qua đỉnh A. d, e, f là 
 độ dài 3 cạnh của tứ diện khơng đi 
 qua A.
13 Ba đường phân giác trong tam giác Các mặt phẳng phân giác của các 
 đồng quy tại một điểm và một gĩc nhị diện tương ứng với các 
 đường phân giác trong của một cạnh của tứ diện đồng quy tại một 
 gĩc tam giác ứng với một đỉnh điểm và mõi mặt phẳng phân giác 
 chia cạnh đối diện thành hai phần của gĩc nhị diện ứng với một cạnh 
 cĩ độ dài tương ứng tỉ lệ với độ chia cạnh đối diện làm hai phần cĩ 
 dài hai cạnh của gĩc đĩ độ dài tương ứng tỉ lệ với diện tích 
 hai mặt của gĩc nhị diện đĩ.
 Tồn tại và duy nhất một đường Tồn tại và duy nhất một mặt cầu 
 trịn nội tiếp trong một tam giác. nội tiếp trong một tứ diện .
14 Gọi AA1, BB1, CC1, H, M, N, P Trong tứ diện cĩ các cạnh đối diện 
 lần lượt là đường cao, trực tâm, vuơng gĩc với nhau. Gọi AA1, 
 trung điểm của các cạnh BC, CA, BB1, CC1, DD1, lần lượt là các 
 AB của tam giác ABC. I, J, K lần đường cao của tứ diện ABCD và 
 lượt là trung điểm các đoạn thẳng gọi H là giao điểm của các đường 
 AH, BH, CH. Khi đĩ A1, B1, C1, cao. Gọi M, N, P, Q lần lượt là 
 11