Sáng kiến kinh nghiệm Xây dựng một số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết về Giới hạn cho học sinh THPT

 X©y dùng mét sè ph­¬ng ph¸p nh»m n©ng cao hiÓu biÕt vÒ giíi h¹n cho häc sinh THPT
 MỤC LỤC
I. MỞ ĐẦU .................................................................................................................2
 1. Tầm quan trọng của chủ đề Giới hạn đối với Toán THPT .................................2
 2. Nhu cầu cấp thiết của việc nghiên cứu đề tài......................................................2
II. NỘI DUNG ............................................................................................................4
 1. Cơ sở lý luận .......................................................................................................4
 2. Thực trạng của vấn đề.........................................................................................4
 3. Xây dựng một số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết về Giới hạn cho học 
 sinh..........................................................................................................................5
 3.1. Xây dựng các phương thức để tiếp cận khái niệm Giới hạn........................5
 3.2. Dự đoán những khó khăn sai lầm của học sinh khi học chủ đề Giới hạn và 
 đưa ra các hướng khắc phục...............................................................................8
 3.3. Thiết kế và sử dụng các mô hình động hỗ trợ học sinh nâng cao hiểu biết 
 về Giới hạn........................................................................................................16
 4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm ................................................................20
III. KẾT LUẬN.........................................................................................................22
Gi¸o viªn: Lª Duy HiÒn 1 Tr­êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh X©y dùng mét sè ph­¬ng ph¸p nh»m n©ng cao hiÓu biÕt vÒ giíi h¹n cho häc sinh THPT
Như vậy, việc dạy các vấn đề về Giới hạn để cho HS hiểu rõ bản chất là một việc 
làm khó khăn đối với phần lớn GV dạy toán ở Việt Nam hiện nay. Một câu hỏi thiết 
thực đặt ra cho các nhà giáo dục là làm thế nào để nâng cao việc hiểu Giới hạn cho 
người học. 
 Qua thực tiễn dạy học ở THPT cùng với việc nghiên cứu về chủ đề Giới hạn 
trong các đề tài của bản thân, tôi xin đề xuất một số kinh nghiệm qua đề tài: ”Xây 
dựng một số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết về Giới hạn cho học sinh 
THPT ”
Gi¸o viªn: Lª Duy HiÒn 3 Tr­êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh X©y dùng mét sè ph­¬ng ph¸p nh»m n©ng cao hiÓu biÕt vÒ giíi h¹n cho häc sinh THPT
 - Ba là, các hoạt động chỉ đạo, nghiên cứu, bồi dưỡng giảng dạy còn nặng về 
tìm hiểu, làm quen và khai thác nội dung chương trình và Sách giáo khoa. Thiếu sự 
chuẩn bị đồng bộ đối với các mắt xích trong mối quan hệ rất chặt chẽ là mục tiêu, 
nội dung, phương pháp, phương tiện giảng dạy  Việc cụ thể hóa, quy trình hóa 
những phương pháp dạy học về chủ đề khái niệm Giới hạn để giúp giáo viên sử 
dụng trong giảng dạy chưa làm được bao nhiêu. Ngoài ra cũng thiếu các thông tin 
cần thiết về đổi mới phương pháp dạy học nói riêng và đổi mới giáo dục nói chung 
trên thế giới; 
 - Bốn là, các kiểu đánh giá và thi cử cũng ảnh hưởng rõ rệt tới phương pháp 
giảng dạy; đánh giá và thi cử như thế nào thì sẽ có lối dạy tương ứng đối phó như 
thế ấy. 
 Tóm lại, với kiểu dạy học thầy truyền thụ kiến thức nói chung, chủ đề Giới 
hạn nói riêng theo cách thụ động trò ngồi nghe, những gì thầy giảng thường không 
có sự tranh luận giữa thầy và trò, điều thầy nói có thể coi là tuyệt đối đúng  Một 
phương pháp giảng dạy dựa vào kinh nghiệm, không xuất phát từ mục tiêu đào tạo, 
không có cơ sở kiến thức về những quy luật và nguyên tắc của lý luận dạy học sẽ 
làm cho quá trình học tập trở nên nghèo nàn, làm giảm ý nghĩa giáo dục cũng như 
hiệu quả bài giảng.
 Qua thực trạng của việc dạy và học chủ đề Giới hạn ở trường THPT bản thân 
xin đề xuất một số phương pháp nhằm nâng cao sự hiểu biết về Giới hạn cho học 
sinh THPT như sau:
3. Xây dựng một số phương pháp nhằm nâng cao hiểu biết về Giới hạn cho học 
sinh
3.1. Xây dựng các phương thức để tiếp cận khái niệm Giới hạn
Phương thức 1: Xác định rõ các cách xây dựng khái niệm Giới hạn.
 Trước hết hiểu rõ, xác định đúng được cách xây dựng khái niệm Giới hạn trong 
SGK là: Định nghĩa theo dạng mô tả đối với Giới hạn dãy và định nghĩa Giới hạn 
của hàm số theo dãy. Chẳng hạn như việc định nghĩa Giới hạn 0 của dãy số là: ''Ta 
nói dãy số (un ) có Giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu u n có thể nhỏ hơn một 
số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi''.
Phương thức 2: Tìm hiểu các định nghĩa khác nhau của cùng một khái niệm Giới hạn.
 Từ cách tìm hiểu các định nghĩa khác nhau của cùng một khái niệm sẽ thấy được 
tính sư phạm của mỗi cách định nghĩa, khi đó có biện pháp thích hợp với mỗi loại 
đối tượng, làm sao cho học sinh hiểu các tính chất đặc trưng, nhận dạng khái niệm, 
đồng thời biết thể hiện chính xác, biết vận dụng khái niệm trong những tình huống 
cụ thể vào giải toán cũng như ứng dụng thực tiễn. 
Gi¸o viªn: Lª Duy HiÒn 5 Tr­êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh X©y dùng mét sè ph­¬ng ph¸p nh»m n©ng cao hiÓu biÕt vÒ giíi h¹n cho häc sinh THPT
 Giới hạn của
 dãy số
 Giới hạn của
 hàm số
 Giới Giới hạn Giới hạn Giới
 hạn trái tại phải tại hạn
 - + 
 điểm x0 điểm x0
Sơ đồ biểu thị mối liên hệ về Giới hạn dãy số và Giới hạn hàm số, các Giới hạn mở rộng của 
hàm số. 
Phương thức 5: Tìm hiểu sự tiếp cận lịch sử phát triển Toán học về khái niệm Giới hạn 
 Để kích thích học sinh hứng thú học tập, có thể nêu thêm lịch sử của các khái 
niệm Toán học về Giới hạn ra đời khi nào, do ai nêu ra và ý nghĩa sau này của khái 
niệm Giới hạn trong Toán học cũng như trong đời sống, trong việc rèn luyện tư duy 
Toán học. Với việc dạy học như vậy học sinh sẽ tiếp cận kiến thức về khái niệm 
Giới hạn, xét về mặt nào đó, gần giống với việc nghiên cứu của các nhà Toán học. 
Khi đó học sinh sẽ biết được từ đâu xuất hiện các kiến thức Giới hạn, tạo cho học 
sinh không khí học tập như tập dượt nghiên cứu khoa học, từ đó lĩnh hội được kinh 
nghiệm lịch sử của Giới hạn không những giúp học sinh nắm vững chắc kiến thức 
mà còn bồi dưỡng nhân cách cho học sinh, đó là sự giáo dục chứ không chỉ đơn 
thuần là việc dạy học.
 Ngoài ra, nếu có điều kiện ta có thể sử dụng tư liệu lịch sử Toán về khái niệm 
Giới hạn để gợi động cơ, hình thành, củng cố, khắc sâu khái niệm qua đó khơi dậy 
phát huy tính tích cực nhận thức của học sinh trong các tiết dạy tự chọn, ôn luyện 
hay ngoại khóa, chẳng hạn đưa ra các bài toán thú vị sau:
Bài toán: A-sin (Achilis) đuổi rùa 
 Câu chuyện nghịch lý nổi tiếng của D’Elec Zénon (496 – 429) một triết gia 
người Hi lạp cổ đại vào thế kỷ thứ V trước Công nguyên, đã đưa ra bài toán A-sin 
(Achilis) đuổi rùa và lập luận như sau:
 “A-sin (Achilis) là một lực sĩ trong thần thoại Hi lạp, người được mệnh danh là 
“có đôi chân nhanh như gió” đuổi theo môt con rùa trên một đường thẳng. Nếu lúc 
xuất phát, rùa ở điểm R 1 cách A-sin ở điểm A một khoảng a 0, thì mặc dù chạy 
nhanh hơn, nhưng A-sin không bao giờ có thể đuổi kịp được rùa (!)”.
 Thật vậy, để đuổi kịp rùa, trước hết A-sin cần đi đến điểm xuất phát R 1 của rùa. 
Nhưng trong khoảng thời gian đó rùa đã đi đến điểm R 2. Để đuổi tiếp, A-sin lại 
phải đến được điểm R 2 này. Trong thời gian A-sin đi đến điểm thứ hai là R 2 thì rùa 
Gi¸o viªn: Lª Duy HiÒn 7 Tr­êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh X©y dùng mét sè ph­¬ng ph¸p nh»m n©ng cao hiÓu biÕt vÒ giíi h¹n cho häc sinh THPT
không thể tránh khỏi. Bởi vì, sai lầm có tác dụng tích cực, sai lầm cũng có ích trong 
việc xây dựng tri thức, đặc biệt khi tạo nên sự xem xét lại các tri thức đã biết trước 
đây. Vì vậy trong quá trình dạy và học Toán ở trường THPT, việc tìm hiểu những 
khó khăn, sai lầm và chướng ngại mà học sinh phải vượt qua để chiếm lĩnh một tri 
thức toán học được đưa ra giảng dạy là bước đầu không thể bỏ qua trong quá trình 
tìm kiếm những phương pháp dạy học hiệu quả nhằm giúp học sinh nắm vững tri 
thức đó. 
 + Ở mức độ tri thức khoa học, giáo viên cần hiểu được lý do phát sinh và bản 
chất của tri thức cần dạy, mặt khác là những trở ngại mà các nhà khoa học đã gặp 
phải trong quá trình xây dựng và phát triển tri thức này. Đây là cơ sở cho việc xác 
định nguồn gốc khoa học luận của những khó khăn mà học sinh phải vượt qua để 
nắm vững tri thức đó.
 + Ở mức độ tri thức cần dạy, thông qua việc phân tích chương trình và SGK sẽ 
làm sáng tỏ những đặc trưng của việc dạy một tri thức trong quá trình chuyển hóa 
sư phạm. Nghiên cứu này sẽ giúp giáo viên xác định nguồn gốc sư phạm của những 
khó khăn mà học sinh thường gặp.
 Từ việc phát hiện những khó khăn và chướng ngại của từng tri thức Toán học, 
giáo viên có thể dự đoán được những sai lầm thường gặp ở học sinh khi lĩnh hội tri 
thức này.
 Như ta đã biết, sai lầm không phải là hậu quả của sự không biết, không chắc 
chắn, ngẫu nhiên, theo cách nghĩ của những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và 
chủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ trước, 
những kiến thức đã từng có ích đối với việc học tập trước kia nhưng lại là sai lầm 
hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội kiến thức mới. Những 
sai lầm kiểu này không phải là không dự kiến trước được, chúng sẽ được tạo nên từ 
những chướng ngại.
 Những sai lầm sinh ra từ một chướng ngại thường tồn tại rất dai dẳng và có thể 
tái xuất hiện ngay cả sau khi chủ thể đã có ý thức loại bỏ quan niệm sai lầm ra khỏi 
hệ thống nhận thức của mình. Vì vậy giúp học sinh tìm ra các sai lầm, phân tích 
nguyên nhân dẫn đến các sai lầm và tìm cách khắc phục những khó khăn sai lầm đó 
trong quá trình lĩnh hội khái niệm là việc làm mang nhiều ý nghĩa quan trọng trong 
quá trình dạy học.
 Thực tiễn cho thấy trong quá trình học tập học sinh thường gặp phải các khó 
khăn sai lầm:
3.2.1. Khó khăn sai lầm về kiến thức
a) Các khó khăn sai lầm liên quan đến việc nắm bản chất của khái niệm, định lý: 
 Nếu xét Giải tích ở trường THPT nói chung khái niệm Giới hạn nói riêng rất 
khó hình thành cho học sinh vì học sinh chưa nhận thức hết tầm quan trọng cũng 
Gi¸o viªn: Lª Duy HiÒn 9 Tr­êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh X©y dùng mét sè ph­¬ng ph¸p nh»m n©ng cao hiÓu biÕt vÒ giíi h¹n cho häc sinh THPT
 không phải là những số thực cụ thể rất lớn nào đó, mà đúng ra nói đến lân cận 
của + tức là khoảng ( a ; + ) và lân cận của là khoảng ( ; a) với 
a ¡ , do đó không thể thực hiện các qui tắc hay phép toán đại số trên chúng.
 f x 
Chẳng hạn: lim 0 nếu lim f x = L và lim g x = + 
 x a g x x a x a
 f x lim f x L
nhưng không thể viết lim x a 0 .
 x a g x lim g x 
 x a
 Nhưng kết quả Giới hạn (nếu có) của dãy số u n có thể là: Giới hạn hữu hạn ( 0, 
hằng số L 0 ) hoặc Giới hạn vô cực ( ), nên ta có thể xem kí hiệu + và 
như là Giới hạn của dãy số. Như vậy, khi thực hành trong giải toán học sinh dễ bị lẫn lộn, giữa hai 
khái niệm ''Giới hạn hữu hạn'' và ''Giới hạn vô cực'', trong việc biến đổi các phép toán về Giới hạn và 
dẫn đến sai lầm trong kí hiệu như: 
 ( + ) - ( + ) = 0 ? ; 0 . = 0 ?... 
Ví dụ 3: Tính lim n 2 1 n 
 n 
Học sinh A: lim n 2 1 n = lim n2 1 lim n ( ) ( ) 0 ;
 n n n 
 1 
 2 
Học sinh B: lim n 1 n = lim n 1 1  0 0 ;
 n n n 
Học sinh C:
lim n 2 1 n = lim n2 1 n lim n2 1 lim n 0 .
n n n n 
c) Khó khăn sai lầm liên quan đến thao tác tư duy:
 Học sinh hay sai lầm khi nghiễm nhiên áp dụng một công thức, một khái niệm cho trường hợp 
suy biến. Trong lịch sử điển hình về sai lầm khi vận dụng phép tương tự: 
 Ví dụ 4: Tính tổng: S 1 1 1 1 1 1 ...
 Cách 1: S (1 1) (1 1) (1 1) ... 0
 Cách 2: S 1 (1 1) (1 1) (1 1) ... 1
 Cách 3: S 1 1 1 1 1 1 ... 1 (1 1) (1 1) ... 1
 Cách 4: Nhà Toán học Gơviđơ - Gơzanđi người Italia nêu ra cách tính tổng như sau: 
 1
 S 1 1 1 1 1 1 ... S 1 1 1 1 1 1 ... S S 1 S .
 2
 Với ba cách giải đầu đã áp dụng tính chất kết hợp của tổng hữu hạn các số 
hạng cho tổng vô hạn của các số hạng. Một tổng hữu hạn các số hạng không phụ 
thuộc vào thứ tự các số hạng. 
 Với ba cách giải đầu đã áp dụng tính chất kết hợp của tổng hữu hạn các số 
hạng cho tổng vô hạn của các số hạng. Một tổng hữu hạn các số hạng không phụ 
Gi¸o viªn: Lª Duy HiÒn 11 Tr­êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh