SKKN Thiết kế một số bài tập về thiết diện trong Chương II Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song - Hình học 11 theo định hướng phát triển các năng lực Toán học của học sinh

 1. MỞ ĐẦU
 1.1. Lí do chọn đề tài
 Trong chương trình môn Toán cấp THPT, phân môn Hình học không gian 
được nghiên cứu chủ yếu trong chương trình Hình học lớp 11 với cấu trúc gồm 
2 chương: "Chương II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ 
song song và Chương III. Quan hệ vuông góc". Nội dung của Chương II được 
sách giáo khoa trình bày với kiến thức hàn lâm, chủ yếu là lí thuyết và bài tập lí 
thuyết, định tính, hầu như không có ví dụ hoặc bài tập nào để cho học sinh có cơ 
hội hình thành và phát triển năng lực tính toán. Các tài liệu và sách tham khảo 
về Hình học không gian dành cho cấp THPT mà tôi biết khi viết về Chương II 
này cũng hầu như rất ít hoặc không có các bài tập có nội dung để học sinh có cơ 
hội phát triển năng lực tính toán. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tại trường 
THPT Triệu Sơn 3, tôi nhận thấy rằng phần đa giáo viên và học sinh của nhà 
trường không có hứng thú khi dạy và học chương này bởi lí do như đã trình bày 
ở trên. Điều này dần dẫn đến một thực trạng là nhiều học sinh của nhà trường 
cho rằng môn Hình học không gian là một môn học khó, nhiều định nghĩa, định 
lí, hệ quả khó nhớ và bài tập thì chẳng có gì thú vị. Thậm chí trong một số năm 
học trước đây, có những em học sinh được đánh giá là học sinh giỏi toán (được 
chọn trong đội tuyển 5 em dự thi HSG Toán lớp 12 cấp tỉnh) nhưng vẫn thấy 
"ngại" khi giải quyết các bài toán về Hình học không gian.
 Cũng từ việc nắm bắt được tâm lí của các em học sinh khi bắt đầu tiếp cận 
với phân môn Hình học không gian này, trong quá trình dạy học, tôi đã "chế 
biến, thêm gia giảm" vào các bài tập trong sách giáo khoa và một số sách bài tập 
hình học không gian khác, mà tập trung chủ yếu vào các bài tập về dựng thiết 
diện để có được một hệ thống các bài tập về thiết diện và diện tích của thiết diện 
phục vụ cho mục đích dạy học theo định hướng hình thành và phát triển các 
năng lực Toán học của học sinh; tạo cho các em tâm lí hứng thú, say mê và thích 
khám phá, tìm tòi khi học tập bộ môn Hình học không gian ngay từ bài học đầu 
tiên, góp phần nâng cao chất lượng dạy học bộ môn Toán nói chung cũng như 
phân môn Hình học không gian lớp 11 nói riêng ở trường THPT Triệu Sơn 3 
trong các năm học gần đây. 
 Với những kết quả đạt được bước đầu như trên, tôi đã quyết định chọn đề 
tài: Thiết kế một số bài tập về thiết diện trong "Chương II. Đường thẳng và 
mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song - Hình học 11" theo định 
hướng phát triển các năng lực Toán học của học sinh góp phần nâng cao 
chất lượng dạy học phân môn Hình học không gian ở trường THPT Triệu 
Sơn 3 làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của bản thân trong năm học 2015-2016 
với hy vọng được các đồng nghiệp trong và ngoài đơn vị đóng góp ý kiến, nhận 
xét và đánh giá để đề tài được hoàn thiện hơn. 
 1.2. Mục đích nghiên cứu
 1 nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri 
thức, kỹ năng, phát triển năng lực...."
 Mọi người đều cần phải học toán và dùng toán trong cuộc sống hàng 
ngày. Vì thế mà Toán học có vị trí quan trọng đối với tất cả các lĩnh vực trong 
đời sống xã hội. Hiểu biết về Toán học giúp cho người ta có thể tính toán, suy 
nghĩ, ước lượng,...và nhất là có được cách thức tư duy, phương pháp suy nghĩ, 
suy luận lôgic,...trong giải quyết các vấn đề nảy sinh, trong học tập cũng như 
trong cuộc sống hàng ngày.
 Ở trường phổ thông, học toán về cơ bản là hoạt động giải toán. Giải toán 
liên quan đến việc lựa chọn và áp dụng chính xác các kiến thức, kỹ năng cơ bản, 
khám phá về các con số, xây dựng mô hình, giải thích số liệu, trao đổi các ý 
tưởng liên quan,... Giải toán đòi hỏi phải có tính sáng tạo, hệ thống. Học toán và 
giải toán giúp học sinh tự tin, kiên nhẫn, bền bỉ, biết làm việc có phương pháp. 
Kiến thức môn Toán còn được ứng dụng, phục vụ cho việc học các môn học 
khác như Vật lí, Hóa học, Sinh học,...
 Do đó, ở trường phổ thông nói chung, việc dạy học môn Toán để đáp ứng 
được yêu cầu đổi mới trong giai đoạn hiện nay phải tập trung vào việc hình 
thành và phát triển các năng lực chung cũng như các năng lực chuyên biệt của 
môn Toán như: Năng lực tư duy (gồm: tư duy lôgic; tư duy phê phán; tư duy 
sáng tạo; khả năng suy diễn, lập luận toán học), Năng lực tính toán (gồm: năng 
lực sử dụng các phép tính; năng lực sử dụng ngôn ngữ toán; năng lực mô hình 
hóa; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện hỗ trợ tính toán). Phát triển trí 
tưởng tượng không gian, trực giác Toán học.
 2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
 Trường THPT Triệu Sơn 3 được thành lập năm 1979 trên cơ sở tách ra 
thành phân hiệu từ trường THPT Triệu Sơn 1 và đến năm 1984 chính thức mang 
tên như bây giờ. Là ngôi trường nằm ở phía Tây của huyện Triệu Sơn, trong 
vùng có điều kiện kinh tế khó khăn nhất của huyện Triệu Sơn với địa bàn tuyển 
sinh có đến 4/8 xã thuộc khu vực miền núi và vùng đặc biệt khó khăn V134, 
V135; số học sinh là con em các dân tộc ít người chiếm gần 15%, số học sinh 
thuộc diện được nhà nước hỗ trợ chi phí học tập, được miễn giảm học phí trong 
năm học 2015-2016 là 604 em, chiếm đến 2/3 số học sinh toàn trường. Chất 
lượng tuyển sinh đầu vào cũng khá thấp, với điểm chuẩn đầu vào trung bình 
khoảng từ 3,5 đến 4,0 điểm/môn. 
 Với điều kiện như thế thì từ những năm 2005 trở về trước, chất lượng giáo 
dục mũi nhọn của nhà trường xét trên hai tiêu chí là kết quả thi HSG cấp tỉnh và 
kết quả thi đại học còn khá thấp. Từ năm học 1999- 2000 đến năm học 2004- 
2005 chỉ có 6 giải HSG cấp tỉnh môn Toán (cao nhất là giải Ba), thậm chí năm 
học 2004-2005 nhà trường còn "trắng bảng" HSG đối với 4 môn tự nhiên Toán, 
Vật lí, Hóa học và Sinh học. Số lượng học sinh đậu đại học trong các năm từ 
 3 - Đây là dạng bài tập cơ bản trong SGK. Học sinh dễ dàng xác định được 
thiết diện là tam giác IEF. 
 - Nếu chỉ dừng lại ở việc dựng A
 thiết diện thì đây là bài toán khá 
 đơn giản đối với học sinh và thông 
 thường các học sinh có học lực từ I
 trung bình khá trở lên không có E
 hứng thú lắm với bài tập này.
 F
 - Để rèn luyện kỹ năng sử K D
 dụng các hệ thức lượng trong tam B
 giác và kỹ năng tính toán, tạo thêm 
 hứng thú học tập cho học sinh, ta bổ 
 sung thêm giả thiết vào cho bài toán C
 và thêm nhiệm vụ cho học sinh như 
 sau:
 “Hãy tính diện tích của thiết diện 
 khi biết độ dài tất cả các cạnh của J
 tứ diện bằng a ?”
 Hình 1.1
 - Đứng trước yêu cầu này, học sinh phải đi tìm cách tính diện tích tam 
giác IEF. Ta có thể vạch ra cho học sinh một số hướng suy nghĩ như sau:
 1. Hãy đi tìm cách tính độ dài các cạnh của tam giác IEF. 
 2 2a
 - Tính được EF BC 
 3 3
 - Áp dụng Định lí Côsin trong tam giác AIE và AIF có thể tính được 
 a 13
 IE IF 
 6
 2. Để tính diện tích tam IEF có thể lựa chọn cách dựng đường cao từ đỉnh 
I và áp dụng Định lí Pitago để tính độ dài đường cao, hoặc có thể sử dụng trực 
tiếp Công thức Hêrông S p p a p b p c để suy ra diện tích 
 a2
 S .
 TD 6
 Nhận xét 1.1: 
 1. Khi thiết kế bài tập theo hướng ở trên trong quá trình dạy học Chương 
II- HHKG lớp 11, tôi nhận thấy có một số hiệu quả rõ rệt như sau:
 Thứ nhất, các tiết dạy học HHKG phong phú và đa dạng hơn, học sinh có 
hứng thú hơn trong quá trình học tập bộ môn HHKG.
 5 3a 2
 - Sử dụng Định lí Pitago để suy ra EF 3NP . Từ đó tính được 
 2
 3a2 11
diện tích tam giác S .
 MEF 8
 1
 - Chứng minh S S S . 
 KNE PQF 6 MEF
 2 a2 11
 - Từ đó suy ra S S .
 TD 3 MEF 4
 Cách 2: S
 - Có thể chia việc 
 tính diện tích thiết diện 
 thành việc tính diện tích M
 tam giác MKQ và hình 
 thang KNPQ. 
 Q
 - Bằng cách tính độ 
 dài 3 cạnh của tam giác K
 F
 MKQ theo định lí Côsin A D
 và sau đó áp dụng công P
 thức Hêrông để tính diện 
 tích tam giác này.
 B N C
 - Tính các cạnh của 
 hình thang KNPQ, thấy E
 được đây là hình thang 
 cân, từ đó cũng tính được Hình 1.2
 diện tích hình thang.
 Nhận xét 1.2: 
 1. Bài toán xuất phát của Bài 1.2 ở trong SGK chỉ yêu cầu xác định thiết 
diện với giả thiết hình chóp có đáy là hình bình hành. Việc mở rộng và thiết kế 
thành Bài 1.2 đã giúp cho ta có thêm các phương án để rèn luyện các kỹ năng 
cần thiết trong môn Toán nói chung và môn HHKG nói riêng cho học sinh. 
 2. Thông qua việc tìm tòi và đề xuất các phương án tính diện tích thiết 
diện đã hình thành và phát triển ở học sinh mức độ tư duy cao hơn, phát triển 
tối đa các năng lực Toán học của học sinh, đặc biệt là các học sinh có học lực 
từ trung bình khá trở lên. 
 3. Trong quá trình thiết kế và tổ chức học động dạy học các bài tập như 
trên, chúng ta chỉ nên định hướng cho học sinh tìm tòi lời giải, còn việc tính 
toán, trình bày lời giải cụ thể là của học sinh. Ta nên đưa ra yêu cầu khác nhau 
 7 35
 - Sử dụng công thức Hêrông có thể tính được: S a2 .
 TD 24
 Bài 1.5. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M và N lần lượt là 
trung điểm của AB và BC, P là điểm trên cạnh CD sao cho CP = 2PD.
 a) Dựng thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP). Thiết diện 
là hình gì?
 b) Tính diện tích thiết diện theo a .
 Phân tích: (Hình 1.5) A
 - Thiết diện là tứ giác 
 MNPQ.
 M
 - Có thể chứng minh Q
 được AQ = 2QD, từ đó suy H
 ra thiết diện là hình thang D
 cân. B E
 - Sử dụng định lí Côsin P
 tính được các cạnh MQ và N
 NP của hình thang, sau đó C
 tính được đường cao QH của 
 hình thang. Hình 1.5
 1 5 51
 - Từ đó tính được diện tích thiết diện là: S MN PQ .QH a2
 TD 2 144
 Nhận xét 1.3:
 1. Bài “§1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng” thông thường được 
dạy trong từ 2-3 tiết lý thuyết và 1-2 tiết Câu hỏi & Bài tập. Trong số 16 câu hỏi 
và bài tập (SGK Hình học 11-NC), chỉ có 2 bài liên quan đến việc xác định thiết 
diện. Qua thực tế nhiều năm dạy học tôi thấy rằng, nếu chỉ dừng ở việc giải 
quyết các câu hỏi và bài tập trong SGK mà không thiết kế hoặc mở rộng hơn, thì 
các tiết học (kể cả lý thuyết và bài tập) sẽ rất tẻ nhạt và không gây được hứng 
thú học tập cho học sinh, nhất là học sinh các lớp thuộc Ban KHTN.
 2. Thực tế cho thấy, với việc thiết kế thêm các bài tập có nội dung định 
lượng như trên, các tiết học HHKG đã diễn ra sôi nổi ngay từ các tiết học đầu 
tiên; học sinh không những có cơ hội được phát triển năng lực tính toán của bản 
thân mà còn có cơ hội để ôn tập lại và vận dụng các kiến thức về Hệ thức lượng 
trong tam giác ở chương trình Hình học 10 vào giải quyết các vấn đề của 
HHKG lớp 11; các học sinh khá, giỏi có cơ hội để đề xuất nhiều phương án 
khác nhau trong việc tính diện tích một đa giác. Điều này rất có lợi khi các em 
 9